Xác định biến cố và tính xác xuất của biến cố 1 Lý thuyết a) Phép thử ngẫu nhiên + Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà Kết quả của nó không đoán trước được[.]
Trang 1Xác định biến cố và tính xác xuất của biến cố
1 Lý thuyết
a) Phép thử ngẫu nhiên
+ Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:
- Kết quả của nó không đoán trước được;
- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó
+ Phép thử thường được kí hiệu: T
+ Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu
của phép thử
Kí hiệu: Số phần tử trong không gian mẫu kí hiệu là hoặc n
b) Biến cố
- Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của
A tùy thuộc vào kết quả của T
- Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là kết quả thuận lợi cho A
- Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là A hoặc A
c) Tính chất của biến cố
Giải sử là không gian mẫu, A và B là các biến cố
+ \ AA được gọi là biến cố đối của biến cố A
+ AB là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra
+ A B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra A B còn được viết là
AB
+ Nếu A B , ta nói A và B xung khắc
d) Xác suất của biến cố
* Định nghĩa cổ điển của xác suất:
Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu là một tập hữu hạn
Giả sử A là một biến cố được mô tả bằng A Xác suất của biến cố A, kí hiệu
bởi P(A), được cho bởi công thức
A
P(A)
Trong đó: A là số phần tử của biến cố A
là số phần tử của không gian mẫu
Phương pháp giải:
- Cách 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi đếm
- Cách 2: Sử dụng quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để đếm só phần tử của không gian mẫu và biến cố
A: “Lần gieo đầu xuất hiện mặt sấp”
B: “Ba lần xuất hiện các mặt như nhau”
C: “Đúng 2 lần xuất hiện mặt ngửa”
D: “Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt sấp”
Lời giải
a) Không gian mẫu SSS; SSN; SNS; SNN; NNN; NNS; NSN; NSS
Do đó: Số phần tử của không gian mẫu: 8 (Cách khác: Số phần tử được tính bằng: 2.2.2 = 8) b) A = {SSS; SSN; SNS; SNN}; |A| = 4
A: “4 viên bi lấy ra có đúng 2 màu vàng”
B: “4 viên bi lấy ra có ít nhất 1 màu xanh”
C: “4 viên bi lấy ra có đúng một màu”
D: “4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”
Lời giải
a) Số cách chọn 4 viên bi từ hộp đó: 4
25
C 12650
Trang 2Số phần tử của không gian mẫu là 12650
b) * Số cách chọn 4 viên bi trong đó có đúng 2 màu vàng: C C82 172 3808
Do đó: |A| = 3808
* Số cách chọn 4 viên bi trong đó không có màu xanh: C184
Số cách chọn 4 viên bi trong đó có ít nhất 1 màu xanh là: 4 4
* Số cách chọn 4 viên bi sao cho có đủ 4 màu
Trường hợp 1: 2 viên bi vàng, 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ: 2 1 1
8 7 10
C C C 1960Trường hợp 2: 1 viên bi vàng, 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ: 1 2 1
8 7 10
C C C 1680Trường hợp 3: 1 viên bi vàng, 1 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ: 1 1 2
Ví dụ 1 Gieo một con súc sắc 3 lần Tính xác xuất để
a) Ba lần đều xuất hiện mặt 1 chấm
b) Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm
c) Tổng số chấm trong 3 lần gieo bằng 6
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: 6.6.663216
a) Gọi A là biến cố: “Ba lần gieo đều xuất hiện 1 chấm”
b) Gọi B là biến cố: “Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm”
Số cách không xuất hiện mặt 6 chấm là: 5.5.5 = 125
Trường hợp 2: Xuất hiện 1 lần mặt 1 chấm, 1 lần mặt 2 chấm, 1 lần mặt 3 chấm có 3!
= 6 cách Trường hợp 3: Xuất hiện 3 lần mặt 2 chấm có 1 cách
Do đó: |C| = 3 + 6 + 1 = 10 Xác suất để có tổng số chấm trong 3 lần gieo bằng 6 là: C 10 5
Số phần tử của không gian mẫu là: 12!
a) Gọi A là biến cố: “Các học sinh nam ngồi cạnh nhau”
Số cách xếp các học sinh nam ngồi cạnh nhau là: |A| = 8! 5!
Xác suất để các học sinh nam ngồi cạnh nhau là: A 8! 5! 1
P A
12! 99
b) Gọi B là biến cố: “Không có hai học sinh nam nào ngồi cạnh nhau”
Xếp 7 học sinh nữ vào bàn dài ta có: 7! cách xếp Khi đó tạo ra 8 chỗ trống (6 chỗ trống giữa 2 bạn nữ và 2 chỗ trống 2 bên) Xếp 5 bạn nam vào các chỗ trống đó (Mỗi chỗ trống chỉ được 1 bạn): có A58 cách xếp
Do đó số cách xếp để không có hai học sinh nam nào ngồi cạnh nhau là: 5
8
B7!.AXác xuất để không có hai học sinh nam nào ngồi cạnh nhau là:
Trang 3Câu 2 Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên 5
viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số
Câu 3 Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1; 2; 3; 4; … ; 9 Rút ngẫu nhiên đồng thời 2
thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau Tính xác suất để tích nhận được là số
Câu 4 Một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20 Lấy ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp
đó Tính xác suất thẻ lấy được ghi số lẻ và chia hết cho 3
Câu 5 Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20 Chọn ngẫu nhiên ra 8 tấm thẻ, tính
xác suất để có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1
tấm thẻ mang số chia hết cho 10
Câu 6 Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên 2 người Tính xác suất sao
cho 2 người được chọn đều là nữ
Câu 7 Một đội gồm 5 nam và 8 nữ Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca Tính xác
suất để trong bốn người được chọn có ít nhất ba nữ
Câu 8 Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ Chọn
ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó Xác suất để chọn ra 2 quả cầu cùng màu
Câu 9 Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Xác
suất để có được ít nhất hai viên bi xanh là bao nhiêu?
Câu 10 Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó 4 phế phẩm Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ
lô hàng đó Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm
Câu 11 Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất Tìm xác suất của biến cố:
“Hiệu số chấm xuất hiện trên 2 con xúc sắc bằng 1”
Câu 12 Thầy giáo có 10 câu hỏi trắc nghiệm, trong đó có 6 câu đại số và 4 câu hình
học Thầy gọi bạn Nam lên trả bài bằng cách chọn lấy ngẫu nhiên 3 câu hỏi trong 10 câu hỏi trên để trả lời Hỏi xác suất bạn Nam chọn ít nhất có một câu hình học là bằng bao nhiêu?
Câu 13 Cho hai đường thẳng song song d1; d2 Trên d1 có 6 điểm phân biệt được tô màu đỏ Trên d2 có 4 điểm phân biết được tô màu xanh Xét tất cả các tam giác được tạo thành khi nối các điểm đó với nhau Chọn ngẫu nhiên một tam giác, khi đó xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu đỏ là:
Câu 14 Danh sách lớp của bạn Nam đánh số từ 1 đến 45 Nam có số thứ tự là 21
Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp để trực nhật Tính xác suất để chọn được bạn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của Nam
Câu 15 Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người
tham gia trong đó có hai bạn Việt và Nam Các vận động viên được chia làm hai bảng
A và B, mỗi bảng gồm 4 người Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
C B D D A A A C D B C A B D D
Trang 4Công thức chỉnh hợp
1 Tổng hợp lý thuyết
- Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1 k n) Khi lấy k phần tử của A
và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A
(gọi tắt là một chỉnh hợp n chập k của A)
- Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là: kn n!
A(n k)!
3 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một đôi bóng có 11 cầu thủ, chuẩn bị đá penalty Huấn luận viên muốn chọn
ra 5 cầu thủ lần lượt lên đá penalty Biết cả 11 cầu thủ đều có khả năng đá như nhau
Hỏi có bao nhiêu cách chọn cầu thủ lên đá bóng
Lời giải
Số cách chọn và sắp xếp 5 cầu thủ lần lượt lên đá penalty là A51155440 cách
Ví dụ 2: Từ các chữ số từ 0 đến 9 Có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên sao cho:
Vậy có A5915120 số
c) Gọi số abcdef là số lẻ có 6 chữ số khác nhau được lập từ chữ số 0 đến 9
Vì abcdef là số lẻ nên f1;3;5;7;9Chọn f: có 5 cách chọn
Chọn a từ các chữ số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: có 8 cách chọn Chọn b, c, d, e là chỉnh hợp chập 4 của 8 chữ số còn lại (khác f và a): có A48Vậy có 5.8A4867200 số
Trang 5Công thức hoán vị
1 Tổng hợp lý thuyết
- Cho tập A gồm n phần tử (n 1 ) Khi xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được
một hoán vị các phần tử của tập hợp A, (gọi tắt là một hoán vị của A)
Ví dụ 1: Xếp 10 bạn, trong đó có 5 bạn nam và 5 bạn nữ, vào một ghế dài Có bao
nhiêu cách xếp sao cho:
a) Xếp bất kì
b) Các bạn nam ngồi cạnh nhau
c) Các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ với nhau
Lời giải
a) Số cách xếp 10 bạn vào một ghế dài là một hoán vị của 10: 10!
b) Xếp các bạn nam ngồi cạnh nhau Ta ghép 5 bạn nam vào 1 “bó”: có 5! cách xếp
bên trong “bó”
Rồi xếp 5 bạn nữ cùng 1 “bó” vào ghế dài có: 6! cách xếp
Vậy có 5! 6! = 86400 cách xếp sao cho các bạn nam ngồi cạnh nhau
c) Giả sử xếp 10 bạn vào ghế dài có đánh số thứ tự từ 1 đến 10
+ Trường hợp 2: Các bạn nam ngồi vị trí chẵn, các bạn nữ ngồi vị trí lẻ
Tương tự như trường hợp trên ta có 5! 5! cách xếp
Các số a, b, c, d, e là hoán vị của 5 chữ số còn lại: 5! = 120 + Trường hợp 2: f 2;4
Chọn f: có 2 cách chọn Chọn a từ các số {1; 2; 3; 4; 5}\{f}: có 4 cách chọn Chọn b, c, d, e là hoán vị của các chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5}\{a; f}: có 4!
Do đó có 2 4 4! = 192 số
Vậy có 120 + 192 = 312 số chẵn có 6 chữ số khác nhau
c) Để lập được số có 6 chữ số khác nhau có số 1 và 2 đứng cạnh nhau
Ta ghép 1 và 2 với nhau coi như 1 vị trí
Giả sử số có 6 chữ số cần lập ở 5 vị trí như hình dưới (1) (2) (3) (4) (5)
Vị trí đầu tiên có 4 cách chọn (chữ số 1 ghép với 2; 3; 4; 5) Các vị trí còn lại là hoán vị của 4 chữ số: 4!
Ở vị trí chứa chữ số 1 và 2 có 2! cách xếp chúng
Vậy có 4 4! 2! = 192 số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau
Trang 6Công thức khai triển nhị thức Niu – tơn
- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
- Các hệ số có tính đối xứng: CknCn kn
- Quan hệ giữa hai hệ số liên tiếp: Ckn Ck 1n Ck 1n 1
- Số hạng thứ k + 1 của khai triển: Tk 1 C akn n kbk
Trang 7Công thức tìm hệ số trong khai triển
- Số hạng thứ k + 1 của khai triển: Tk 1 C akn n k b xk n kyk
- Hệ số của số hạng thứ k + 1 của khai triển: C akn n kbk
Vậy hệ số của số hạng chứa xm là: C akn n k .bk với giá trị k đã tìm được ở trên
* Với khai triển P(x) = (a + bxp + cxq)n (p,q là các hằng số)
Ta có: p qn
P x abx cx n k
k n k p q n
12xx
Trang 8Công thức tìm số hạng trong khai triển
- Số hạng thứ k + 1 của khai triển: Tk 1 C akn n k b xk n kyk
- Hệ số của số hạng thứ k + 1 của khai triển: C akn n kbk
Vậy số hạng chứa xm là: C akn n k.b xk m với giá trị k đã tìm được ở trên
* Với khai triển P(x) = (a + bxp + cxq)n (p, q là các hằng số)
Ta có: p qn
P x abx cx n k
k n k p q n
Trang 9Công thức tính tổng các hệ số trong khai triển
Phương pháp tìm tổng các hệ số trong khai triển
Xét khai triển tổng quát: (với a,b là các hệ số; x,y là biến)
a) Định nghĩa cổ điển của xác suất:
Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu là một tập hữu hạn Giả sử A là một biến cố được mô tả bằng A Xác suất của biến cố A, kí hiệu bởi P(A), được cho bởi công thức
AP(A)
Trong đó: A là số phần tử của biến cố A
là số phần tử của không gian mẫu
* Tính chất
0P(A) 1
P( ) 1
P( ) 0b) Các quy tắc tính xác suất
* Quy tắc cộng
- Nếu A B thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc
- Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì P A B P A P B
- Nếu các biến cố A1 ; A2; A3 ; … An đôi một xung khắc với nhau thì
1 2 k 1 2 k
P A A A P A P A P A
- Công thức tính xác suất của biến cố đối: P A 1 P A
- Mở rộng : Với hai biến cố bất kì cùng liên quan đến phép thử thì:
- Nếu A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P A B P A P B
- Một cách tổng quát, nếu k biến cố A1,A2,A3, ,Ak là độc lập thì
1 2 3 k 1 2 3 k
P A A A A P A P A P A P A
Trang 102 Các công thức
* Công thức xác suất cổ điển: P(A) A
Trong đó: A là số phần tử của biến cố A
là số phần tử của không gian mẫu
* Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì P A BP A P B
* Công thức tính xác suất của biến cố đối: P A 1 P A
* Nếu A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P A B P A P B
Ví dụ 1: Một hộp có 8 viên bi xanh và 7 viên bi vàng Lấy ra 4 viên bi từ hộp đó Tính xác
suất lấy được:
a) 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu vàng
b) Có ít nhất 1 viên bi vàng
c) Có đủ 2 màu
Lời giải
Không gian mẫu: : “Lấy 4 viên bi ra từ hộp”
Số phần tử của không gian mẫu C154
a) Gọi A là biến cố: “Lấy được 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu vàng”
Số cách chọn được 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu vàng là: AC C82 27
Xác suất để lấy được 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu vàng là:
4 15
b) Gọi B là biến cố: “Có ít nhất 1 viên bi màu vàng”
Khi đó B là biến cố: “Không lấy được bi màu vàng”
Số cách chọn không có màu vàng là: BC48Xác suất để lấy được ít nhất 1 viên bi màu vàng là: 4
8 5 15
C 37
P B 1 P B 1
C 39
c) Gọi C là biến cố: “Có đủ 2 màu”
Khi đó C là biến cố: “Không có đủ 2 màu”
Trường hợp 1: Chọn được 4 viên bi cùng màu xanh: 4
8
C cách Trương hợp 2: Chọn được 4 viên bi cùng màu vàng: 4
8 7 4 15
Ví dụ 2: Hai người xạ thủ độc lập với nhau, bắn súng vào hai bia khác nhau Xác suất trúng
của người thứ nhất là 0,4 và của người thứ hai là 0,7 Tính xác suất để:
a) Cả 2 người cùng bắn trúng b) Có đúng một người bắn trúng c) Không ai bắn trúng
Lời giải
Gọi A là biến cố: “Người thứ nhất bắn trúng”; P(A) = 0,4
B là biến cố: “Người thứ hai bắn trúng”; P(B) = 0,7
A, B là hai biến cố độc lập Khi đó:
A là biến cố: “Người thứ nhất bắn không trúng”; P A 1 P A 1 0,40,6
B là biến cố: “Người thứ hai bắn không trúng”; P B 1 P B 1 0,70,3 a) Ta có: AB là biến cố: “Cả hai người cùng bắn trúng”
Trang 11Xác suất để cả hai người bắn trúng là: P A BP A P B 0,4.0,70,28
b) Gọi C là biến cố: “Có đúng một người bắn trúng”
Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1 k n) Mỗi tập hợp con của A
có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A
Ví dụ 1: Một tổ gồm 12 học sinh Có bao nhiêu cách:
a) Chọn ra 2 bạn đại diện cho nhóm b) Chọn ra 2 bạn, rồi phân công chứ vụ tổ trưởng và tổ phó c) Chia tổ thành 2 nhóm, trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm
5
C 1 cách
Vậy có 252.1 = 252 cách
Trang 12Ví dụ 2: Một hộp có 15 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, 10 viên bi vàng Có bao nhiêu
cách chọn ra 5 viên sao cho
b) Chọn được 5 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ
+ Trường hợp 1: có 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng: 1 1 3
5 15 10
C C C 9000cách
+ Trường hợp 2: có 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng: 2 2 1
5 15 10
C C C 10500cách
- Nếu A B thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc
- Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì P A B P A P B
- Nếu các biến cố A1 ; A2; A3 ; … An đôi một xung khắc với nhau thì
1 2 k 1 2 k
P A A A P A P A P A
- Công thức tính xác suất của biến cố đối: P A 1 P A
- Mở rộng: Với hai biến cố bất kì cùng liên quan đến phép thử thì:
P AB P A P B P ABb) Công thức nhân xác suất
- Hai biến cố gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia
- Nếu A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P A B P A P B
- Một cách tổng quát, nếu k biến cố A1,A2,A3, ,Ak là độc lập thì
1 2 3 k 1 2 3 k
P A A A A P A P A P A P A
* Chú ý:
Nếu A và B độc lập thì A và B độc lập, B và A độc lập, B và A độc lập Do đó nếu A và B độc lập thì ta còn có các đẳng thức
Phương pháp giải:
+ Tính gián tiếp xác suất thông qua biến cố đối
- Xác định phép thử T và tính số phần tử của không gian mẫu
- Xác định biến cố A, từ đó suy ra biến cố A
Trang 13- Tính số phần tử tập mô tả biến cố A và tính xác suất P A A
Ví dụ 1 Một hộp gồm 20 viên bi, trong đó có 12 viên bi xanh, 8 viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên
3 viên bi ra khỏi hộp Tính xác suất để:
a) Lấy được ít nhất một viên bi màu vàng
b) Lấy được đủ 2 màu
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu: C320
a) Gọi A là biến cố: “Lấy được ít nhất một viên màu vàng”
Thì A là biến cố: “Không lấy được màu vàng”
Số cách lấy 3 viên bi không có màu vàng là: AC123
Xác suất để lấy được ít nhất một viên màu vàng là: 3
12 3 20
C 46
P A 1 P A 1
C 57
b) Gọi B là biến cố: “Lấy được 1 viên bi xanh và 2 viên bi vàng”
C là biến cố: “Lấy được 2 viên bi xanh và 1 viên bi vàng”
Khi đó BC là biến cố: “Lấy được 3 viên đủ 2 màu”
Ta thấy B và C là hai biến cố xung khắc P B C P B P C
Số cách lấy được 1 viên bi xanh và 2 viên bi vàng: BC C112 82336
Số cách lấy được 2 viên bi xanh và 1 viên bi vàng: CC C212 18528
Xác suất để lấy được đủ 2 màu là: 3 3
Ví dụ 2 Trong một hộp có 20 thẻ, được đánh số thứ tự từ 1 đến 20 Tính xác suất để chọn ra
được 2 thẻ sao cho
2 20
C C 10
P A
C 19
b) Gọi B là biến cố: “Tích hai số trên thẻ là số chẵn”
Khi đó B là biến cố: “Tích hai số trên là số lẻ”
Số cách chọn sao cho tích hai số là số lẻ, tức là chọn được cả hai thẻ đều là lẻ: BC102Xác suất để chọn sao cho tích hai số trên thẻ là số chẵn: 2
10 2 20
Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa các biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố trung gian và quan
trọng nhất là biến cố đề bài đang yêu cầu tính xác suất thông qua các biến cố ở bước 1
Bước 3: Sử dụng các mối quan hệ vừa xác định ở bước 2 để chọn công thức cộng hay công
thức nhân phù hợp
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1 Gieo một con súc sắc 3 lần liên tiếp Tính xác suất để
a) Xuất hiện mặt 6 chấm trong cả ba lần b) Xuất hiện các mặt có số chấm giống nhau c) Xuất hiện mặt 3 chấm ít nhất 1 lần
Lời giải
a) Xác suất để 1 lần súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm là 1
6
Trang 14Xác suất để 3 lần liên tiếp xuất hiện mặt 6 chấm là:
3
1 1 1 1 1
(dựa vào câu a)
c) Xác suất để 1 lần súc sắc không xuất hiện mặt 3 chấm là 5
6
Xác suất để 3 lần liên tiếp không xuất hiện mặt 3 chấm là:
3
5 5 5 5
6 216
Ví dụ 2 Một cuộc thi bắn súng, có 3 người tham gia thi Trong đó xác suất bắn trúng của
người thứ nhất là 0,9; người thứ 2 là 0,7 và người thứ 3 là 0,8 Tính xác xuất để:
Gọi A là biến cố: “Người thứ nhất bắn trúng”; P(A) = 0,9
B là biến cố: “Người thứ hai bắn trúng”; P(B) = 0,7
C là biến cố: “Người thứ ba bắn trúng”; P(C) = 0,8
A, B, C là ba biến cố độc lập
Khi đó:
A là biến cố: “Người thứ nhất bắn không trúng”; P A 1 0,90,1
B là biến cố: “Người thứ hai bắn không trúng”; P B 1 0,70,3
C là biến cố: “Người thứ ba bắn không trúng”; P C 1 0,80,2
c) E A B C là biến cố: “Không người nào người bắn trúng”
Xác suất để không người nào người bắn trúng là:
P E P A B C P A P B P C 0,1.0,3.0,20,006 d) E là biến cố: “Ít nhất một người bắn trúng”
Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng là: P E 1 P E 1 0,0060,994
3 Bài tập tự luyện Câu 1 Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất Gọi A là biến cố : “ Tích số chấm xuất hiện trên hai mặt con súc sắc là một số lẻ” Tính xác suất của A
P(A)2
P(A)8
P(A)8
P A4
Câu 3 Gieo 3 đồng xu cùng một lúc Gọi A là biến cố “có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt
ngửa” Xác suất của biến cố A là
Câu 4 Trong một hộp gồm 8 viên bi xanh và 6 viên bi trắng, chọn ngẫu nhiên 5 viên bi Xác
suất để 5 viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng
Câu 5 Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 5, lập số gồm 4 chữ số khác nhau Tính xác xuất để chọn
được 1 số có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5?
Câu 6 Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm
Tính xác suất để 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt
Trang 15Câu 7 Một hộp chứa 20 viên bi xanh và 15 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 4 bi Tính xác suất để
4 bi lấy được có đủ hai màu
Câu 8 Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp học gồm 25 nam và 20 nữ Gọi A là biến
cố “Trong 5 học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh nữ” Xác suất của biến cố A là
C
P A 1
C
Câu 9 Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên 2 người Tính xác suất sao cho 2
người được chọn có ít nhất một người nữ là:
Câu 10 Có 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau
Xác suất để rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng
Câu 11 Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần, tính xác suất để biến cố có tổng 2 lần
số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn
Câu 12 Hai khẩu pháo cao xạ cùng bắn độc lập với nhau vào một mục tiêu Xác suất bắn
trúng mục tiêu lần lượt là 0,6 và 0,7 Tính xác suất để mục tiêu bị trúng đạn
Câu 13 Ba xạ thủ A, B, C độc lập với nhau cùng nổ súng vào một mục tiêu Xác suất bắn
trúng mục tiêu của A, B, C tương ứng là 0,4; 0,5 và 0,7 Tính xác suất để có ít nhất một người
bắn trúng mục tiêu
Câu 14 Ba xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia, xác suất trúng đích lần lượt là 0,5; 0,6 và 0,7
Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng bia là:
Câu 15 Trong phòng làm việc có hai máy tính hoạt động độc lập với nhau, khả năng hoạt
động tốt trong ngày của hai máy này tương ứng là 75% và 85% Xác suất để có đúng một
máy hoạt động không tốt trong ngày là
Bảng đáp án
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
D C C A C C D D C D D A B B B