Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác 1 Lý thuyết Nhắc lại công thức nghiệm phương trình lượng giác x 2k sin x sin k x 2k x 2k cosx cos k x[.]
Trang 1Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
1 Lý thuyết
Nhắc lại công thức nghiệm phương trình lượng giác
tan x tan x k k
cot x cot x k k
2 Các dạng bài tập
Dạng 1: Phương trình lượng giác sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử đưa
về phương trình tích
Phương pháp giải:
Sử dụng các biến đổi thích hợp để xuất hiện nhân tử chung như công thức nhân đôi, công thức nhân ba
- Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
2
2 tan a
tan 2a
1 tan a
- Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina – 4sin3a
cos3a = 4cos3a – 3cosa
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) cosx – 2sin2x = 0
b) 6sin4x + 5sin8x = 0
c) cos2x – sin2x = 0
Lời giải
a) cosx – 2sin2x = 0
cos x 2.2.sin x cos x 0
Trang 2
cos x 1 4sin x 0
cos x 0
1 4sin x 0
cos x 0
1 sin x
4
2
1
4 1
4
Vậy họ nghiệm của phương trình là
x k ;
2
x arcsin 1 k2 ;
4
x arcsin 1 k2 ;k
4
b) 6sin4x + 5sin8x = 0
6sin 4x 5.2.sin 4x cos4x 0
2sin 4x 3 5cos 4x 0
sin 4x 0
3 5cos 4x 0
sin 4x 0
3 cos 4x
5
4x k
3 4x arccos k2
5
k
x
4
k
c) cos2x – sin2x = 0
2
cos x 2sin x cos x 0
cos x cos x 2sin x 0
cos x 0
cos x 2sin x 0
2 2sin x cos x *
Giải phương trình (*)
Trường hợp 1: cosx = 0 Thay vào (*) ta được sinx = 0
Ta thấy sin2x + cos2x = 02 + 02 = 0 (Vô lí) (Loại)
Trang 3Trường hợp 2: cos x 0 x k ;k
2
Chia hai vế của phương trình cho cosx, ta được
sin x
cos x
2
x arctan 1 k ;k
2
(Thỏa mãn)
x k ; x arctan k ;k
Ví dụ 2: Giải phương trình: sinx.cos3x – sinx + 2cos3x – 2 = 0
Lời giải
Ta có: sinx.cos3x – sinx + 2cos3x – 2 = 0
sin x cos3x 1 2 cos3x 1 0
cos3x 1 sin x 2 0
cos3x 1 0
sin x 2 0
cos3x 1 sin x 2(Loai)
k2
3
Vậy họ nghiệm của phương trình là: k2
3
Dạng 2: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng
Phương pháp giải:
- Công thức biến đổi tổng thành tích
a b a b cosa cos b 2cos cos
a b a b cosa cos b 2sin sin
a b a b sin a sin b 2sin cos
a b a b sin a sin b 2cos sin
- Công thức biến đổi tích thành tổng
1 cosa.cos b cos a b cos a b
2
1 sin a.sin b cos a b cos a b
2
Trang 4
1 sin a.cos b sin a b sin a b
2
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) sin2x.sin5x = sin3x.sin4x
b) sin5x.cos3x = sin4x.cos2x
Lời giải
a) sin2x.sin5x = sin3x.sin4x
cos 5x 2x cos 5x 2x cos 4x 3x cos 4x 3x
cos3x cos7x cos x cos7x
cos3x cos x
3x x k2
3x x k2
2x k2 4x k2
k x 2
k
2
Vậy họ nghiệm của phương trình là: k
x ;k 2
b) sin5x.cos3x = sin4x.cos2x
sin 5x 3x sin 5x 3x sin 4x 2x sin 4x 2x
sin8x sin 2x sin 6x sin 2x
sin8x sin 6x
8x 6x k2
8x 6x k2
2x k2 14x k2
x
Vậy họ nghiệm của phương trình là: k
x k ; x ;k
14 7
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) sin3x + sin2x = sinx
b) sinx + sin3x = cos2x + cos4x
Lời giải
a) sin3x + sin2x = sinx
Trang 5sin3x sin x sin 2x 0
3x x 3x x
2cos sin sin 2x 0
2cos 2xsin x 2sin x cos x 0
2sin x cos 2x cos x 0
2x x 2x x 2sin x.2cos cos 0
3x x 4sin x.cos cos 0
sin x 0
3x
2
x
2
3x
k
x
k
k2 x
k
3
Vậy họ nghiệm của phương trình là: x k ; x k2 ;k
3
b) sinx + sin3x = cos2x + cos4x
x 3x x 3x 2x 4x 2x 4x
2sin 2x cos x 2cos3x cos x
sin 2x cos x cos3x cos x 0
cos x sin 2x cos3x 0
cos x 0
sin 2x cos3x
cos x 0
sin 2x sin 3x
2
Trang 6x k
2
2
2
2
2
2
2 k2 x
2
2
k k2 x
Dạng 3: Sử dụng công thức hạ bậc
Phương pháp giải:
Công thức hạ bậc hai:
2 1 cos 2a
cos a
2
2 1 cos 2a
sin a
2
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: sin2x + sin23x = 2sin22x
Lời giải
Ta có: sin2x + sin23x = 2sin22x
1 cos 2x 1 cos6x 1 cos 4x
2.
cos 2x cos6x 2cos 4x
cos6x cos2x 2cos4x 0
6x 2x 6x 2x
2cos cos 2cos 4x 0
2cos 4x cos 2x 2cos 4x 0
2cos 4x cos 2x 1 0
Trang 7cos 4x 0
cos 2x 1
2 2x k2
k x
k
Vậy họ nghiệm của phương trình là: k
x ; x k ;k
8 4
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
Lời giải
Ta có: cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos6x 1 cos8x
2
cos 2x cos 4x cos6x cos8x 0
cos8x cos 2x cos6x cos 4x 0
8x 2x 8x 2x 6x 4x 6x 4x
2cos5x cos3x 2cos5x cos x 0
2cos5x cos3x cos x 0
3x x 3x x 2cos5x.2cos cos 0
4cos5x cos 2x cos x 0
cos5x 0
cos 2x 0
cos x 0
2
2
2
k x
10 5 k
4 2
2
Vậy họ nghiệm của phương trình là k
10 5
4 2
2
3 Bài tập tự luyện
Câu 1 Nghiệm của phương trình cos2x – cosx = 0 thuộc khoảng 0 x là:
A x
6
2
4
2
Câu 2 Giải phương trình cos2x – sin2x = 0
Trang 8A x 2 k
k 1
x arctan k
3
k 1
x arctan k
4
k 1
x arctan k
5
k 1
x arctan k
2
Câu 3 Nghiệm của phương trình sin2x – sinx = 2 – 4cosx là:
A x 4 k2 k
3
k
3
C x 3 k k
4
3
Câu 4 Nghiệm của phương trình sin x.cos x.cos2x = 0 là:
A x k B k
x 2
x 8
x 4
Câu 5 Nghiệm của phương trình cos3x – cos5x = sinx là:
24
x
x k2
k
x
k
x
k x 2 k
x
Câu 6 Phương trình cos5x.cos3x = cos 4x.cos2x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm
của phương trình nào sau đây?
Trang 9A sinx = cos x B cosx = 0 C cos8x = cos6x D sin8x =
cos6x
Câu 7 Phương trình cosx + 3cos2x + cos3x = 0 có nghiệm là:
16 4
6
4 2
3
Câu 8 Nghiệm của phương trình cos3x – cos4x + cos5x = 0 là:
A
k x
8 4
, k
3
B
k x
8 4
, k
3
C
k x
8 4
, k
3
8
, k
3
Câu 9 Phương trình 2sinx + cosx – sin2x – 1 = 0 có nghiệm là:
6
5
6
x k
B
6 5
6
x k2
, k
6
x k2
6
, k
Câu 10 Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin23x – cosx = 0 là :
;k
6 3
;k
6 3
C k
;k 2
D k
;k 4
Câu 11 Các nghiệm của phương trình sin2x + sin23x = cos2x + cos23x là:
A x k2 ;k
4
Trang 10C k , k
4 2
Câu 12 Các nghiệm của phương trình 1
cos x cos5x cos6x
2
(với k ) là:
A x k
8
x 2
x 4
k
x
8 4
Câu 13 Họ nghiệm của phương trình sin2x + cos24x = 1 là:
k
x
13
k k
x
15
k x 23 k k x 25
k x 3 k k x 5
D
k
x
33
k
k
x
35
Câu 14 Họ nghiệm của phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x là:
A k
;k
4
B k
;k 8
;k
8 4
D
k
;k
8 2
Câu 15 Phương trình sin23x – cos24x = sin25x – cos26x có các nghiệm là:
k
x
12
k k
x
4
k x 9 k k x 2
C x k6 k
D
k
x
k
3
x k2
Bảng đáp án