50 bài tập về cách giải phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án 2022) – toán 11

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản 1 Lý thuyết a) Phương trình sin x = m Trường hợp 1 |m| > 1 Phương trình vô nghiệm Trường hợp 2 m 1 Phương trình có nghiệm Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin c[.]

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

1 Lý thuyết

a) Phương trình sin x = m

Trường hợp 1: |m| > 1 Phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: m  1 Phương trình có nghiệm

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

   



           

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

x arcsin m k2



        

- Các trường hợp đặc biệt:

sin x      0 x k k

2



2



       

b) Phương trình cos x = m

Trường hợp 1: |m| > 1 Phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: m  1 Phương trình có nghiệm

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

   



           

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

x arccos m k2

x arccos m k2



        

- Các trường hợp đặc biệt:

2



     

cos x 1    x k2   k

  cos x       1 x k2   k

c) Phương trình: tan x = m Điều kiện: x k  k 

2



   

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

tan x   m tan x  tan        x k k

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

tan x    m x arctan m    k k

d) Phương trình: cot x = m Điều kiện: x    k  k 

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

cot x   m cot x  cot        x k k

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

cot x    m x arccot m    k k

e) Chú ý:

Nếu gặp bài toán yêu cầu tìm số đo độ của góc lượng giác sao cho sin (cos, tan, cot) của chúng bằng m

Ví dụ:   1

sin x 20

2

   ta có thể áp dụng các công thức nghiệm nêu trên, lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ trong công thức nghiệm

Đối với ví dụ trên ta viết: x 20 30 k360  k 

     





      

chứ không viết x 20 30 k2  k 

     





        



2 Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác

Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x

in u x si

k

n v

2

x

x)









c os u x  cos v x  x   v x  k 2  k 

tan u x  tan v x  u x  v x   k k 

         

cot u x  cot v x  u x  v x   k k 

3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

sin x



  

b) 3cos(x+1) = 1

c) tan 3x 15      3

d) cot x 1 0

3



   

Lời giải

a)

3 sin x



  

 

    



 

      



2

k 3



   





   



Vậy họ nghiệm của phương trình là: 2

3



       

b) 3cos(x+1) = 1

cos x 1

3

 

3

3

Vậy họ nghiệm của phương trình là: 1

3

c) Điều kiện xác định: cos 3x 15      0

      

3x    75 k180 



Ta có: tan 3x 15      3

tan 3x 15 tan 60

3x 15 60 k180

      

      (Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x 15    k60 ; k  

d) Điều kiện xác định: sin x 0

3



  



3



    

3



   

3



    

12



     (Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x k ;k

12



   

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

b) cos5x – sinx = 0

d) cot x cot 2x

3



Lời giải

3

 



 

       



11

12 19

12





 





x

k 19

24





   



Vậy họ nghiệm của phương trình là: 11 k 19

b) cos5x – sinx = 0  cos5x  sin x cos5x cos x

2



2

2





 



     



2

2





 



    



k x

k k x

  



   



Vậy họ nghiệm của phương trình là: k k

      



 

       



13

12 7

12





 



    



x

7

12





    



Vậy họ nghiệm của phương trình là 13 k2 7

d) Điều kiện xác định:

3

   

    





3 2x k



   



 

  



3

k k

x

2



    





  



Ta có: cot x cot 2x

3



3



     

3



    

k

     (Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: k

   

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0

b) (cotx + 1)sin3x = 0

c) sin 3x

0 cos3x 1 



d) tanx.tan2x = 1

Lời giải

a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) =

3 – cos x 0







1 cos x

2 cos x 3 Loai















2

3



Vậy họ nghiệm của phương trình là 2

3



    

b) Điều kiện xác định: sin x      0 x k  k 

Ta có: (cotx + 1)sin3x = 0

cot x 1 0

sin 3x 0

 





cot x 1 3x k

 



   

k k

x 3



    





 



Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là:

4



    x k ;k

3



    

c) Điều kiện xác định: cos3x 1 0    cos3x 1   3x  k2  k2  

3



Ta có: sin 3x

0 cos3x 1 

3



Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là:

k2

d) Điều kiện xác định: cos x 0

cos 2x 0







2

2



   



   



2

k k x



   



  



tanx.tan2x = 1 (*)

Trường hợp 1: tanx = 0 Thay vào (*) (vô lí)

Trường hợp 2: tan x      0 x k  k 

tan 2x

tan x

tan 2x cot x

2



2



2



k

Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là

6



    

4 Bài tập tự luyện

Câu 1 Họ nghiệm của phương trình tan x 3 0

5



A 8

k ;k

15

   

B 8

k ;k 15



    C 8

k2 ;k 15



    D

8

k2 ;k

15



Câu 2 Số nghiệm của phương trình: 2 cos x 1

3



  

  với 0    x 2 là :

Câu 3 Các nghiệm phương trình 1

sin 2x



A

5

12



    





   



B

5

12



   





   



C

12



   





    



k x

4 2 , k k x

   





  



Câu 4 Các nghiệm của phương trình   3

cos 3x 15

2

   là:

A x 25 k.120

, k





    

, k

x 15 k.120

   





C x 25 k.120

, k

x 15 k.120





, k

   





    

Câu 5 Nghiệm của phương trình 2sinx.cosx = 1 là:

A xk2 ;k  B x k ;k

4



    C k

2



x  k ;k

Câu 6 Phương trình x

tan x tan

2

 có họ nghiệm là:

A xk2 ;k  B x  k ;k C x  k2 ;k  D

2



   

Câu 7 Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là:

2



C x k ; x k ;k

4



2



Câu 8 Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin 4x + cos5x =

0 theo thứ tự là:

A x ; x

   C x ; x

Câu 9 Giải phương trình sin 4x sin 2x 0

x

k

24

  









   



x

k 11

24

  











x

k 11

4

  









   



x

k 11

24

  









   



Câu 10 Nghiệm của phương trình sin x 2cos x  30 là:

A x k k 

6

 



    



B x k k 

6

 



    



C x k2 k 

3



    



6



    

Câu 11 Nghiệm của phương trình tanx = cotx

4



    

C x k ;k

4



Câu 12 Nghiệm của phương trình tan3x.cot2x = 1 là

A k

, k

2

 

B k

, k

nghiệm

Câu 13 Phương trình sin x 1 sin x    20 có các nghiệm là:

2



4



   ,x k ;k

8



    

2



2



    

Câu 14 Giải phương trình cos 2x

0

1 sin 2x 



A x k , k  

4



14



C 3  

4



4



Câu 15 Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin 5x cos 2x

[0; ]

A 7

18



B 4 18



C 47 8



D 47 18



Bảng đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

B B C D B A B C D A A D A D D