GT 12 - Bài giảng khác - Phạm Quốc Khánh - Thư viện Bài giảng điện tử

Slide 1 BAØI 3 CÖÏC ÑAÏI VAØ CÖÏC TIEÅU BAØI TAÄP 1) KIEÅM LAÏI Tính ñaïo haøm caáp 1 vaø caáp 2 cuûa 1 ) Ñònh nghóa Cho y = f(x) lieân tuïc treân (a;b) vaø x0  (a;b) a) Khoaûng (x0  ; x0 + ) = ()[.]

BÀI 3 : CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU

BÀI TẬP

1) KIỂM LẠI : Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của :

4

x x

f

)

24

; 23 Tiết

 x x 4 x ; f '' 3 x 4 'f

: quả

x

3 x

3 x

f

)

x

6 ''

f

; x

3 3

x



 x sin x

f

)

3  2  'f x  2 sin x cos x  sin 2 x ; f ''  2 cos 2 x

1 ) Định nghĩa :

Cho y = f(x) liên tục trên (a;b) và x 0  (a;b)

a) Khoảng (x 0 -  ; x 0 + ) = ()  gọi là 1 lân cận của x 0 b) Điểm x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x)

Nếu x ()  (a;b) ; x  x 0 thì f(x) < f(x 0 )

Ký hiệu : f cđ = f(x 0 ) ; M(x 0 ; f(x 0 )) : điểm cực đại

c) Tương tự : … f(x) > f(x 0 )

 f ct = f(x 0 ) ; hàm số đạt cực tiểu tại x 0

d)Các điểm cực đại ; cực tiểu được gọi chung là điểm

cực trị

Giá trị cực đại , cực tiểu gọi là giá trị cực trị

2 ) Điều kiện để hàm số có cực trị :

* Định lý Fermat (Pháp : 1601 – 1665)

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị

tại điểm đó thì f’(x 0 ) = 0 (cm s.g.k)

* Ý nghĩa hình học của định lý Fermat

f(x) có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại điểm đó thì

tiếp tuyến đồ thị tại đó song song với trục Ox.

* Hệ quả :

Mọi điểm cực trị của hàm số y = f(x) đều là điểm tới

hạn của hàm số

( Chú ý:Mọi điểm tới hạn thì nhất thiết không là điểm cực

trị)

Ví dụ : Hàm số : y = x 3 thì x = 0 là điểm tới hạn nhưng hàm không cực trị tại đó

3 ) Điều kiện đủ (Dấu hiệu) để hàm số có cực trị :

1 Dấu hiệu I :

* Định lý 1:

Giả sử y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận x 0

1 Nếu f’(x) > 0 / (x 0 -  ; x 0 ) ; f’(x) < 0 / (x 0 ; x 0 + ) thì

x 0 là một điểm cực đại

2 Nếu f’(x) < 0 / (x0 -  ; x 0 ) ; f’(x) > 0 / (x 0 ; x 0 + ) thì

x 0 là một điểm cực tiểu

Tóm tắt : Qua x 0 đạo hàm bậc nhất đổi dấu thì

x 0 là 1 điểm cực trị

* Minh hoạ bằng bảng biến thiên :

x x 0 x x 0

y’ + 0 - y’ - 0 +

cđ

y y ct

* Quy tắc I :

a) Tìm f’(x)

b) Tìm các điểm tới hạn

c) Xét dấu đạo hàm

d) Lập bảng biến thiên , rút ra điểm cực trị

* Ví dụ I :

Tìm cực trị của hàm số :

a) Tìm f’(x) :

b) Tìm điểm tới hạn :

c) Xét dấu đạo hàm

d) Lập bảng biến thiên , rút ra điểm cực trị

x

3 x

3 x

f   

  ; f (' x ) 0 x 1

x

3 3

x

'f   2    

1 x

: hạn tới

điểm 2

x - -1 0 1 +

y’ + 0 - || - 0 +

cđ

y || ct

* Ví dụ 2 :

Tìm cực trị của hàm số :

a) Tìm f’(x) :

b) Tìm điểm tới hạn :

c) Xét dấu đạo hàm

d) Lập bảng biến thiên , rút ra điểm cực trị

3

x

y 

0 x

0 '

y

; x 3 '

y  2   

0 x

: hạn tới

điểm 1

x - 0 +

y’ + 0 +

y 0

trị cực có

không số

hàm



* Ví dụ 3 :

Tìm cực trị của hàm số :

a) Tìm f’(x) :

b) Tìm điểm tới hạn :

c) Xét dấu đạo hàm

d) Lập bảng biến thiên , rút ra điểm cực trị

 x 5 

x

y 3 2 

2 x

và 0

x : hạn tới

điểm 2

x - 0 2 +

y’ + || - 0 +

0

y

0 ; 0 ; cực tiểu 2 ; 3 3 4 

tại đại

cực có

số



x 3

2 x

5 x

3

5 x

2 x

y'

*

3 3

3 2

















2 Dấu hiệu II :

* Định lý 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x 0 và f’(x 0 ) = 0 ; f’’(x 0 )  0 :

1 Nếu f’’(x 0 ) > 0 thì x 0 là một điểm cực tiểu

2 Nếu f’’(x0 ) < 0 thì x 0 là một điểm cực đại

* Quy tắc II : Cm s.g.k

a) Tìm f’(x) Giải f’(x) = 0 tìm x 1 ; x 2

b) Tính f’’(x)

c) Xét dấu f’’ (x)  điểm cực trị

* Ví dụ 1 : Tìm cực trị hàm số :

a) Tìm f’(x) = x 3 – 4x = 0  x = 0 ; x = ± 2

b) Tính f’’(x) = 3x 2 – 4

c) Xét dấu f’’ (x i )  +) f’’(0) = -4 < 0  x = 0 cực đại +) f ‘’ (± 2) = 8 > 0  x = ± 2 là 2 cực tiểu

  2x 6

4

x x

* Ví dụ 2 :

Tìm cực trị của hàm số :

a) Tìm f’(x) :

b) Tính f’’(x) = 2.cos2x

c) Xét dấu f’’

x sin

0 x

2 sin 0

' y

; x 2 sin x

cos

x sin 2 '





















tiểu cực

chẵn :

k 1

đại cực

ẻ l : k với

1 k

cos

2 k

'' f )

  ;1 .

2

1 n

2 tại

đại cực

có số









  







 2 x k

  ;1 . với n Z

2

n

2 tại

tiểu cực

có số









 



Củng cố và dặn dò :

Làm các bài tập còn lại s.g.k.trang 60

Kính chào !

Làm bài tại lớp :

Tìm cực trị hàm số : y = x 2 lnx +) Tính y’ và cho y’ = 0 tìm nghiệm

0 2

3 e

ln 2 e

'' y Xét

1 2

1















































: tại tiểu

cực có

số hàm

y’= 2x.lnx + x ; y’ = 0  x = 0 và x = e -1/2

+) Tính y’’  y’’ = 2.lnx + 3

* Xét y’’(0) = ||  không có cực trị tại x = 0

PHA Ï M QUO Á C KHA Ù NH

Quyết phen này theo nàng một phen Ơùi là bạn tình ơi … ?

Quyết phen này theo nàng một phen Ơùi là bạn tình ơi … ?