Chuyên đề 10 bài toán dựng hình

Timgiasuhanoi com Trung tâm Gia sư tại Hà Nội 0987 109 591 Chuyên đề 10 BÀI TOÁN DỰNG HÌNH Nói đến dựng hình phải nhớ là dựng bằng thước và compa Ta đã học những phép dựng hình cơ bản sau Dựng một đoạ[.]

Chuyên đề 10 :

BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

Nói đến dựng hình phải nhớ là dựng bằng thước và compa

Ta đã học những phép dựng hình cơ bản sau:

điểm của một đoạn thẳng cho trước

đường thẳng cho trước

song song với đường thẳng ấy

Ta đã vận dụng các phép dựng hình cơ bản để dựng tam giác biết ba cạnh ,hoặc biết hai cạnh và góc xen giữa,hoặc biết một cạnh và góc kề

Trong các bài toán dựng hình phức tạp hơn,ta phải tuân thủ các bước của phương pháp dựng hình như sau:

kiện ràng buộc không.Từ đó suy ra bài toán có mấy nghiệm hình

Thí dụ 1:Dựng tam giác ABC ,biết cạnh BC = a ,trung tuyến AM = m (a và m

thoả mãn yêu cầu của đề toán Phân tích hình đó theo hướng phát hiện một

bộ phận của hình hội đủ các điều kiện để dựng được một cách chính xác.Đó

là tam giác vuông AHM có cạnh huyền AM = m,và HAM =  cho trước.Tam giác đó hoàn toàn xác định nên dựng được Sau khi dựng xong

tam giác vuông AHM ,ta hoàn tất hình phải dựng chẳng khó khăn gì.Vậy ta

có cách dựng như sau :

2 Cách dựng:

Bây giờ chỉ còn dựng hai đỉnh B,C Cạnh BC nằm trên đường thẳng MH,nên trên đường thẳng MH ,ta lấy ở hai phía khác nhau đối với điểm M hai điểmB,C sao

a

(phép dựng cơ bản c và a)

 cho trước

với điều kiện này thì bài toán bao giờ cũng giải được và có một nghiệm hình

Thí dụ 2 :Dựng một tam giác ABC với trung tuyến AM có độ dài bằng một

và  cho trước

1 Phân tích :

mãn yêu cầu bài toán Hình vẽ trên cho thấy không có một bộ phận nào của hình hội đủ điều kiện để dựng được

= m ,nên không thể dựng được.Đây là lúc nhớ lại được những bài toán tương tự rất quí giá

 Thí dụ ,nhớ bài :nếu kéo dài trung tuyến AM thêm một đoạn MD =

đó ,hình thành tam giác ACD với A2= , D = A1= và AD = 2m Tam giác đó hội đủ điều kiện để dựng được Sau khi dựng được tam giác này ,ta sẽ dựng được điểm B,chẳng gì khó khăn

2 Cách dựng:

vẽ trung tuyến CA của tam giác ACD và kéo dài

thêm một đoạn MB =MC ,từ đó xác định đỉnh B

của tam giác ABC cần dựng

AD

= m , A1=D =  , A2= .Cho nên ,tam giác ABC dựng được thoả mãn đầy đủ các yêu cầu đề bài

4 Biện luận :Trên đây ta nói hai cạnh AC và DC giao nhau tại C.Thực ra là

một nghiệm hình

Thí dụ 3: Cho một góc xOy và một điểm M ở bên trong góc ấy Dựng một đoạn

Nếu kéo dài OM thêm đoạn MD = OM thì

AMO = BMD(c,g,c)  O1= D Từ đó ,

(B Oy ,rồi BM đến cắt Oxtại A thì AMO =BMD (g,c,g) với M1= M 2

AM = MB

2 Cách dựng :Kéo dài OM thêm đoạn MD= OM ,rồi từ D kẻ đường thẳng

song với Ox ,cắt Oy tại B.Tiếp đến kẻ BM cho đến cắt Ox tại A thì M là trung điểm của AB

M 1=M2 (đối đỉnh)

MO = MD (cách xác` định điểmD)

O1= MDB (so le trong –DB  Ox)

 AM = MD

4.Biện luận : Bài toán luôn có một nghiệm

Phụ chú :Bài toán có thể phân tích cách khác :

OA

.Ngược lại,

sao cho OA = 2MN,rồi kẻ AM đến cắt Oy tại B

thì có AM =MB.Quả vậy ,gọi B là trung điểm

= MB

Qua phân tích này ta thấy rõ cách dựng và chứng minh Bài toán luôn có một nghiệm

Thí dụ 4 :Cho một góc xOy và hai điểm A,B Dựng một điểm cách đều hai

cạnh Ox,Oy và cách đều hai điểm A,B

1 Phân tích :

Giả sử bài toán đã giải xong và ta đã

dựng được điểm M cách đều hai cạnh

Ox, Oy và cách đều hai điểm

MA=MB

Vậy M vưà thuộc tia phân giác Ot

của xOy, vừa thuộc đường trung trực

d của AB

nên M là giao điểm của Ot và d

2 Cách dựng :

Dựng tia phân giác Ot của góc xOy và đường trung trực d của AB ,d cắt Ot tại M

M là điểm cần dựng

3.Chứng minh :

4.Biện luận :

a d cắt Ot nếu AB không vuông góc với Ot Bài toán có một nghiệm hình

kỳ điểm nào của Ot cũng vừa cách đều hai cạnh Ox và Oy,vừa cách đều A

và B

Thí dụ 5 :Cho một góc nhọn xOy và một điểm A trên Oy.Tìm một điểm M trên

đoạn OA sao cho nếu kẻ MP = MA

theo yêu cầu của đề bài

thì AN  NP ,

Mặt khác PN = AM = OP

nên tam giác OPN cân :

O1=N1

Mà O2 = N1(góc so le

NênO1=O2.

Điều đó có nghĩa là N nằm trên tia phân giác của góc xOy

Theo (1) thì N nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox hạ từ A.Vậy N là giao điểm của đường thẳng đó với tia phân giác của góc xOy Vị trí N hoàn toàn xác định ,do đó dựng được

kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, cắt Oy tại điểm N cần dựng

3 Chứng minh :NP Oy nên N1= O2 (so le trong )

Mà Ot là tia phân giác :O1=O2.

Từ đó :O1=N1 Tam giác OPN cân tại P : OP = PN

Do đĩ: PN = AM (đoạn thẳng song song bị chắn bởi hai đường thẳng song song).(2)

Từ (1),(2) suy ra: OP = AM

A vuơng gĩc với Ox tại một điểm N duy nhất.Do đĩ bài tốn cĩ một nghiệm hình

BÀI TẬP

Bài 1:Cho tam giác ABC vuơng cân, cạnh huyền BC = 2a khơng đổi Gọi H là trung điểm

của BC

1.Hãy dựng điểm M trên đoạn AH sao cho khoảng cách từ M đến BC bằng tổng khoảng cách đến AB và AC

2.Tính theo a độ dài của HM tương ứng

HD: 1/ Gọi N là điểm đối xứng của M qua AB.

1 Phân tích :Giả sử đã dựng được M thuộc AH mà khoảng cách từ M đến BC

bằng tổng khoảng cách từ M đến AB và AC.

Ta cĩ N AP  MH = MK + ML =MN.

 MNH cân tại M  MNH = MHN  MHN =

PHN.

2 Cách dựng :+Dựng điểm P là đối xứng của điểm H qua AB.

+Dựng phân giác HN của AHB.

+DỰng NM  PH , M AH thì ta cĩ M là điểm cần

dựng

3 Chứng minh: Thật vậy :MHN cân tại M  MH = MN = MK+ ML.

4 Biện luận:BaØi tốn cĩ một nghiệm hình

2/Đặt MH = x.TA cĩ : AH = AM + MH

 MA = a – x

MH = 2MK  x = 2 (a – x)

2

2  x =

2

1 2

a

  x = a(2- 2).

Bài 2: Dựng một tam giác ,biết hai gĩc và một đường phân giác

Biết hai gĩc của một tam giác tức là biết cả gĩc thứ ba ,nên cho biết đường phân giác thuộc gĩc nào cũng vậy thơi.Do vậy ta sẽ dựng tam giác ABC,biết gĩc B bằng ,gĩc C bằng  và đường phân giác BD bằng một đoạn thẳng a cho trước

1 Phân tích :Giả sử bài tốn đã giải xong và ta đã dựng được tam

giác ABC theo yêu cầu của đề bài Ta hãy tìm khâu” đột phá’tức là tìm một tam giác hội đủ các điềåu kiện để dựng được.Dễ dàng phát hiện được tam giác BDA cĩ BD =a ,ABD = 2

B

= 2

 và

BDA =2

B

+ C = 2

 + 

2 Cách dựng :

 Trước hết dựng một gĩc xBy

= .

 Dựng tia phân giác Bt của gĩc đĩ.Trên tia Bt dựng đoạn BD = a.

 Từ D dựng đường thẳng song song với By cắt Bx tại E.Dựng gĩc EDv =.

 Cạnh Dv cắt Bx tại A và tia đối của tia Dv cắt By tại C.

3 Chứng minh : BDE = DBC = 2

 (so le trong ).

Vậy BDA = BDE + EDA = 2

 +  Từ đĩ suy ra C = . Vậy tam giác ABC đã dựng cĩ B =  , C =  và tia phân giác BD = a

4.Biện luận :bài tốn luơn cĩ nghiệm hình nếu  +  < 2v

Bài 3 :Dựng tam giác cân ABC (AB = AC ),biết chu vi bằng 2p và chiều cao AH=h

1 Phân tích :Giả sử bài tốn đã giải xong và ta dựng được tam giác ABC theo yêu cầu đề bài

Nếu trên tia đối của tia CB ta dựng đoạn thẳng CD = AC ,và trên tia đối của tia BC dựng đoạn thẳng BE = AB thì được đoạn DE = 2p,và đường cao AH=h là dựng được Sau khi dựng được tam giác cân DAE ,ta xác định vị trí hai đỉnh B và C chẳng khĩ khăn

gì ,bằng cách dựng đường trung trực của AE và AD.

2 Cách dựng :Dựng đoạn thẳng DE = 2p.Dựng đường trung trực d của DE ,vuơng gĩc với DE tại H.Dựng điểm A trên d sao cho AH =

h Dựng đường trung trực của AE và AD lần lượt cắt DE tại đỉnh B và C cần dựng

3 Chứng minh : RoÕ ràng AB = BE , AC = CD nên tam giác ABE và ACD là tam giác cân.ABC = 2 E , ACB = 2D Mà tam

giác AED là tam giác cân(AE = AD) nên E = D TưØ đĩ ABC = ACB ,và tam giác ABC là tam giác cân với đường cao AH

= h MaËt khác , chu vi tam giác ABC = AB +AC +BC =EB + BC + CD = 2p Vậy là tam giác cânABC đã dựng đáp ứng các yêu cầu của đề bài.

4 Biện luận :

Bài tốn luơn cĩ một nghiệm hình

Bài 4:Dựng tam giác ABC biết chu vi bằng 2p và B =  , C =.

1 Phân tích :Giả sử bài tốn đã giải xong và ta đã dựng được tam giác ABC theo yêu cầu đề bài.

Nếu trên tia đối của tia BC ta dựng đoạn thẳng BE = AB , và trên tia đối của tia CB dựng đoạn thẳng CD = AC thì ta được đoạn thẳng DE

= 2p Hai tam giác ABE và ACD là tam giác cân nên: E =

1

2 B = 2



và D =

1

2 C = 2

 Vậy là tam giác ADE hội đủ các điều kiện để dựng được.

2 Cách dựng : Dựng đoạn thẳng DE = 2 p , dựng gĩc E = 2



và gĩc D =2

 ,hai cạnh EA và DA của hai gĩc E và D cắt nhau tại

A Dựng đường trung trực của AE và AD , cắt DE tại B và C cần dựng

3 Chứng minh : Các tam giác ABE vàACD là tam giác cân vì B thuộc đường trung trực của AE(AB = BE ) và C thuộc đường trung

trực của AD (AC = CD ).Từ đĩ ,B =2E = và gĩc C =2D =.

Mặt khác , chu vi tam giác ABC = AB+AC+BC=BE+CD +BC = 2p.

Vậy tam giác ABC thoả mãn yêu cầu đề bài

4 Biện luận : Bài tốn cĩ một nghiệm hình nếu  +  < 2v.

BÀI TẬP

Bài 1:Dựng tam giác ABC ,biết vị trí của ba điểm : Đỉnh A ,trung điểm M của cạnh AC và trọng tâm G của tam giác

Hướng dẫn :Trường hợp dựng hình như thế nầy là rất thuận lợi ,vì ngay từ đầu đã cĩ tam giác AGM làm cơsở để hồn tất hình cần dựng Bài 2:Dựng tam giác ABC ( A = 1v) ,biết đường cao AH và trung tuyến AM ứng với cạnh huyền.

Bài 3: Dựng một tam giác vuơng biết cạnh huyền và trung tuyến ứng với một cạnh gĩc vuơng.

Hướng dẫn :Chú ý rằng trong tam giác vuơng ,nếu biết cạnh huyền thì biết luơn trung tuyến ứng với nĩ,thành ra biết hai trung tuyến và trọng

tâm của tam giác

Baì 4: Dựng một tam giác biết một cạnh và hai trung tuyến xuất phát từ hai mút của cạnh đĩ

Bài 5:Dựng tam giác ABC biết cạnh BC và trung tuyến AM,BN.

Hướng dẫn :Bài 4,5 biết hai trung tuyến tức là biết trọng tâm của tam giác

Bài 6:Dựng một tam giác biết độ dài ca ûba trung tuyến

Hướng dẫn :Kéo dài AD thêm một đoạn DI = GD =

1

3AD.

Chứng minh CI = BG Vậy tam giác CIG là hồn tồn xác định,dựng được Từ đĩ hồn tất hình cần dựng

Bài 7: Dựng tam giác ABC biết giao điểm của ba đường cao với đường trịn ngoại tiếp

là D,E,F.

Hướng dẫn : Giả sử tam giác ABC đã dựng xong ,gọi H là trực tâm của tam giác ABC ,khi đĩ ,D,E,F là các điểm đối xứng của H qua BC, CA và AB

 DA,BE, CF là ba đường phân giác của tam giác DEF cắt (O) tại

A,B,C.Tam giác ABC là tam giác cần dựng.

BaØi 8: Dựng hình thoi ABCD ,biết E là điểm trên AC ,M là một điểm trên BD, E cách giao điểm hai đường chéo là a ( cm ) và Q là điểm đối xứng của M qua cạnh AD

Hướng dẫn : Giả sử hình thoi ABCD đã dựng xong ,tâm O của nĩ là giao điểm của:-Đường trịn đường kính ME (vì MOE=1v)

-Đường trịn (E; a) ,(vì EO = a (cm) )

Các đường thẳng EO và MO là những đường thẳng chứa các đường chéo AC và BD.

A và D là giao điểm của EO và MO và đường trung trực của MQ Từ đĩ xác định C và B đối xứng với A và D qua O.

Bài 9: Cho hai điểm A và B ở cùng một phía đối với đường thẳng xy Dựng một điểm M sao cho từ M nhìn đoạn AB dưới một gĩc  cho trước và hai cạnh AM và MB chắn trên xy một đoạn thẳng cĩ độ dài bằng m cho trước

Hướng dẫn : Giả sử bài tốn đã dựng xong.

Vẽ BC 

xy và BC = m

 AEC = M = 

 E ở trên cung chứa gĩc  dựng trên đoạn AC và E thuộc xy.

Lấy đoạn ED trên xy để cĩ ED = m

M là giao điểm của AE và BD.