CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HỌC PHẦN TOÁN ĐẠI CƯƠNG CHƯƠNG 2 GIẢI TÍCH Giảng viên T S Trịnh Thị Hường Bộ môn Toán Email trinhthihuong@tmu edu vn NỘI DUNG CHÍNH 1 Hàm số thực nhiều biến 2 Đạo h[.]

HỌC PHẦN TOÁN ĐẠI CƯƠNG

CHƯƠNG 2: GIẢI TÍCH

Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường

Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn

NỘI DUNG CHÍNH

1 Hàm số thực nhiều biến

2 Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán cực trị

a Cực trị tự do

b Cực trị có điều kiện

Cho tập 𝑋 ⊂ ℝ2 Một quy luật 𝑓, đặt tương ứng mỗi cặp 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 với một số thực 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ được gọi là một hàm của hai biến độc lập 𝑥 và 𝑦

Kí hiệu:

𝑓: 𝑋 → ℝ

𝑥, 𝑦 ⟼ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

Ví dụ:

a 𝑧 = 𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 𝑦3,

b 𝑧 = ln 𝑥2 + 𝑦2 − 1 + 4 − 𝑥2 − 𝑦2

1 Khái niệm hàm số

Định nghĩa 1:

Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định trong lân cận của điểm (𝑥0, 𝑦0) Đạo hàm riêng cấp 1 theo 𝑥 tại điểm

(𝑥0, 𝑦0) nếu có được kí hiệu và xác định như sau:

𝑓𝑥′ 𝑥0, 𝑦0 = lim

∆𝑥→0

𝑓 𝑥0+∆𝑥,𝑦0 −𝑓(𝑥0,𝑦0)

∆𝑥

2 Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán cực trị

- Tương tự có đạo hàm riêng cấp 1 theo 𝑦 tại

(𝑥0, 𝑦0) là 𝑓𝑦′ 𝑥0, 𝑦0 .

Nhận xét: Trong thực hành muốn tính ĐHR cấp 1

theo 𝑥 thì coi 𝑦 là hằng số và đạo hàm như đối với hàm một biến Tương tự, tính đạo hàm riêng theo 𝑦 thì coi 𝑥 là hằng số

Ví dụ: Tính các đạo hàm cấp riêng cấp 1 của hàm số:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 3𝑦4 + 2𝑥 − 3𝑦 + 1

Định nghĩa 2: Đạo hàm riêng cấp 2

𝑓𝑥𝑥′′ = (𝑓𝑥′)𝑥′ 𝑓𝑦𝑦′′ = (𝑓𝑦′)𝑦′

𝑓𝑥𝑦′′ = (𝑓𝑥′)𝑦′ 𝑓𝑦𝑥′′ = (𝑓𝑦′)𝑥′

Nhận xét: Trong chương trình học

𝑓𝑥𝑦′′ 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥′′ 𝑥, 𝑦 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋

Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng đến cấp hai của hàm sau:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑥2 − 2𝑥𝑦3 + 8

Ứng dụng ĐHR tìm cực trị của hàm hai biến:

a Cực trị tự do

Định nghĩa:

Hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm 𝑀(𝑥0, 𝑦0) nếu tồn tại một lân cận của M sao cho trên đó

𝑓 𝑥0, 𝑦0 ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦) (tương ứng 𝑓 𝑥0, 𝑦0 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦))

Kí hiệu: 𝑓𝐶Đ; 𝑓𝐶𝑇

Điều kiện cần của cực trị

Định lý:Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực trị tại điểm 𝑀(𝑥0, 𝑦0)

và tại đó có các ĐHR thì

൝𝑓𝑥

′ 𝑥0, 𝑦0 = 0

𝑓𝑦′ 𝑥0, 𝑦0 = 0

Mỗi điểm M thoả mãn hệ thức trên được gọi là một điểm dừng (hay điểm tới hạn) của hàm số

Điều kiện đủ của cực trị:

Định lý:Giả sử điểm 𝑀(𝑥0, 𝑦0) là một điểm dừng của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) và tại đó hàm số có các ĐHR cấp hai:

𝐴 = 𝑓𝑥𝑥′′ 𝑥0, 𝑦0 ; 𝐵 = 𝑓𝑥𝑦′′ 𝑥0, 𝑦0 ; 𝐶 = 𝑓𝑦𝑦′′ 𝑥0, 𝑦0

- Nếu 𝐵2 − 𝐴𝐶 > 0 thì M không là cực trị

- Nếu 𝐵2 − 𝐴𝐶 < 0 thì M là cực trị, khi đó:

Nếu 𝐴 > 0 thì M là cực tiểu,

Nếu 𝐴 < 0 thì M là cực đại

- Nếu 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 0 thì chưa kết luận được về tính cực trị của M

b Cực trị có điều kiện

Bài toán: Tìm cực trị của hàm 𝑍 = 𝑓(𝑥, 𝑦) với điều kiện 𝑔 𝑥, 𝑦 = 0

Phương pháp giải: Phương pháp nhân tử lagrang.

Xét bài toán tìm cực trị của hàm hai biến có ràng

buộc:

ቊ𝑍 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑔 𝑥, 𝑦 = 0 . Lập hàm lagrang:

𝐿 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝜆𝑔(𝑥, 𝑦)

Điều kiện cần của cực trị

Nếu hàm số đạt cực trị tại 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) thì tồn tại 𝜆0 sao cho bộ ba (𝑥0, 𝑦0, 𝜆0) thỏa mãn:

൞

𝐿′𝜆 𝑥0, 𝑦0, 𝜆0 = 0

𝐿′𝑥 𝑥0, 𝑦0, 𝜆0 = 0

𝐿′𝑦 𝑥0, 𝑦0, 𝜆0 = 0 Khi đó 𝑥0, 𝑦0, 𝜆0 được gọi là một điểm dừng của

hàm Lagrang

Điều kiện đủ của cực trị

Giả sử 𝑥0, 𝑦0, 𝜆0 là một điểm dừng của hàm Lagrang

Đặt 𝐻 =

0 𝑔𝑥′ 𝑔𝑦′

𝑔𝑥′ 𝐿′′𝑥𝑥 𝐿′′𝑥𝑦

𝑔𝑦′ 𝐿′′𝑥𝑦 𝐿′′𝑦𝑦

𝑥0,𝑦0,𝜆0

Khi đó:

+) Nếu 𝐻 > 0 thì 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) là điểm cực đại của bài toán đã cho

+) Nếu 𝐻 < 0 thì 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) là điểm cực tiểu của bài toán đã cho

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm

𝑎 𝑍 = 𝑥 + 𝑦 với điều kiện 𝑥2 + 𝑦2 = 8

b 𝑍 = 𝑥3 + 𝑦3 − 3𝑥𝑦 với điều kiện 𝑥 + 𝑦 = 2