Lý thuyết quy tắc tính đạo hàm (mới 2022 + bài tập) toán 11

BÀI 2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A LÝ THUYẾT I Đạo hàm của một hàm số thường gặp 1 Định lý 1 Hàm số y = xn n ,n 1 có đạo hàm tại mọi x và (xn)’ = n xn 1 2 Định lý 2 Hàm số y x có đạo hàm tại mọi x dương và[.]

BÀI 2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

A LÝ THUYẾT

I Đạo hàm của một hàm số thường gặp

1 Định lý 1

2 Định lý 2

Ví dụ 1

a) Tính đạo hàm y = x3;

Lời giải

a) Ta có: y’ = 3x2;

2 x

2 5

II Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

1 Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

(u + v)’ = u’ + v’;

(u – v)’ = u’ – v’;

(uv)’ = u’.v + u.v’;

'

2

u u ' v u.v '

v v(x) 0

2 Hệ quả

Hệ quả 2

'

2

1 v '

Ví dụ 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x5 – 2x2 + 3x + 6;

b) y = (x2 + 1)(2x – 3);

c)

2

7x

y

Lời giải

a) y = x5 – 2x2 + 3x

y’ = (x5 – 2x2 + 3x)’

= (x5)’ – (2x2)’ + (3x)’

= 5x4 – 4x + 3

b) y = (x2 + x).2x

y’ = (x2 + x)’.2x + (x2 + 1)(2x)’

= [(x2)’ + x’].2x + (x2 + 1).2

= (2x + 1).2x + 2x2 + 2

= 4x2 + 2x + 2x2 + 2

= 6x2 + 2x + 2

c)

2

7x

y

2 3

7x x 2x 7x x 2x y

x 2x

2 3

14x x 2x 7x 2x 2

x 2x

2 3

14x 28x 14x 14x

x 2x

2 3

28x 14x

x 2x

III Đạo hàm hàm hợp

Định lý 4 Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x là '

x

u và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là

'

x

y thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: y'x y u 'u 'x

Ví dụ 3 Tính đạo hàm của hàm số: y x2 2x

Lời giải

2

x 2x '

y'

2 u 2 x 2x 2 x 2x

B BÀI TẬP

Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau:

3

4

2

x

4

2

5 y 2x 1

6

2

x 2x 2

y

x 1

Lời giải

1 Ta có: y' x3 3x 1 ' 3x2 6x 2

2 Ta có: y' x3 3x 1 ' 3x2 3

3 Ta có:

' 4

x

4 Ta có:

'

2

5 Ta có: y ' (2x 1) '(x 3) (x2 3) '(2x 1) 7 2

6 Ta có:

2

(x 2x 2) '(x 1) (x 2x 2)(x 1) '

y '

(x 1)

2 2

Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y x7 x 2

b) y 2x2 3x 1

Lời giải

a) Đặt u = (x7 + x)2

'

b) Đặt u = 2x2 + 3x + 1

' 2

2x 3x 1

y' u

2 u 2 2x 3x 1 2 2x 3x 1

Bài 3 Cho f (x) 2x3 x2 32 và

3 2

x x

f’(x) > g’(x)

Lời giải

'

3 2

2

x x

3 2

Xét bất phương trình: f’(x) > g’(x)

2

x 0

3

x

5

5

Bài 4 Cho f(x) = x5 + x3 – 2x – 3 Chứng minh rằng:

f’(1) + f’(-1) = -4f(0)

Lời giải

Ta có: f’(x) = (x5 + x3 – 2x – 3)’ = 5x4 + 3x2 – 2

Khi đó:

f’(1) = 5.14 + 3.12 – 2 = 5 + 3 – 2 = 6

f’(-1) = 5.(-1)4 + 3.(-1)2 – 2 = 5 + 3 – 2 = 6

f(0) = 05 + 03 – 2.0 – 3 = 0 + 0 – 0 – 3 = - 3

f’(1) + f’(-1) = 6 + 6 = 12 và -4f(0) = -4.(-3) = 12

Vậy f’(1) + f’(-1) = -4f(0)