Lý thuyết nhị thức niu tơn (mới 2022 + bài tập) – toán 11

Bài 3 Nhị thức Niu tơn A Lý thuyết I Công thức nhị thức Niu tơn Ta có 2 2 2 0 2 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 0 3 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 (a b) a 2ab b C a C a b C b (a b) a 3a b 3ab b C a C a b C a b C b[.]

Bài 3 Nhị thức Niu- tơn

A Lý thuyết

I Công thức nhị thức Niu- tơn

Ta có:

2 2 2 0 2 1 1 1 2 2

3 3 2 2 3 0 3 1 2 1 2 1 2 3 3

(a b) a 2ab b C a C a b C b

(a b) a 3a b 3ab b C a C a b C a b C b

- Công thức nhị thức Niu – tơn

n 0 n 1 n 1 k n k k n 1 n 1 n n

(a b) C a  C a b   C a  b   C ab  C b

- Hệ quả:

Với a = b = 1 ta có: 2n C0nC1n  Cnn

Với a = 1; b = – 1 ta có:

0 C C    ( 1) C    ( 1) C

- Chú ý:

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1):

a) Số các hạng tử là n + 1

b) Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0; số mũ của b tăng dần từ 0 đến

n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước

0 0

a b 1)

c) Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau

- Ví dụ 1 Khai triển biểu thức: (a – b)5

Lời giải:

Áp dụng công thức nhị thức Niu – tơn ta có:

5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5

(a b) C a C a ( b) C a ( b) C a ( b) C a( b) C ( b)

a 5a b 10a b 10a b 5ab b

- Ví dụ 2 Khai triển biểu thức: (3x – 2)4

Lời giải:

Áp dụng công thức nhị thức Niu – tơn ta có:

(3x 2) C (3x) C (3x) ( 2) C (3x) ( 2) C (3x)( 2) C ( 2)

81x 216x 216x 96x 16

II Tam giác Pa- xcan

Trong công thức nhị thức Niu – tơn ở mục I, cho n = 0; 1; … và xếp các hệ số thành

dòng, ta nhận được tam giác sau đây, gọi là tam giác Pa- xcan

- Nhận xét:

Từ công thức CknCk 1n 1 Ckn 1 suy ra cách tính các số ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước nó

Ví dụ 3 C26 C15 C25  5 10 15

B Bài tập tự luyện

Bài 1 Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu- tơn

a) (2x – 1)6

b) (2x + 2y)5

Lời giải:

Theo khai triển nhị thức Niu- tơn ta có:

a)

(2x 1) C (2x) C (2x) ( 1) C (2x) ( 1)

C (2x) ( 1) C (2x) ( 1) C (2x)( 1) C ( 1)

64x 192x 240x 160x 60x 12x 1

b)

( 2x 2y) C (2x) C (2x) (2y) C (2x) (2y)

C (2x) (2y) C 2x(2y) C (2y)

32x 160x y 320x y 320x y 160xy 32 y

Bài 2 Tìm hệ số chứa x4 trong khai triển biểu thức

10 1 x x

  

Lời giải:

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là:

k

k 10 k

k 1 10

k k 10 2k

10

1

T C x

x

C ( 1) x









 

 

Để số hạng này chứa x4 thì điều kiện là:

10 – 2k = 4 nên k = 3

Vậy hệ số chứa x4 trong khai triển đã cho là: C ( 1)103  3  120

Bài 3 Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển (2x + 3y)12

Lời giải:

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là:

T  C (2x)  (3y) C 2  3 (x)  y

Suy ra, số hạng thứ 8 trong khai triển ứng với k + 1 = 8 nên k = 7

Vậy số hạng thứ 8 trong khai triển là:

7 5 7 5 7 5 7

8 12

T C 2 3 x y 55427328x y

Bài 4 Biết hệ số của x3 trong khai triển của (2 – 4x)n là –10 240 Tìm n

Lời giải:

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là:

k n k k k n k k k

T  C 2  ( 4x) C 2  ( 4) x

Để số hạng này chứa x3 thì k = 3

Khi đó, hệ số đứng trước x3 là C 2 ( 4)3n n 3  3

Theo giả thiết ta có: C 2 ( 4)3n n 3  3 = – 10240

Suy ra; n = 6

Vậy n = 6