BÀI 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1 Định nghĩa Định nghĩa 1 Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0} Ta nói hàm số[.]
Trang 1BÀI 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A LÝ THUYẾT
I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
1 Định nghĩa
Định nghĩa 1
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn
K \{x0} và xn → x0, ta có f(xn) → L
Kí hiệu:
xlim f x L hay f(x) → L khi x → x0
xlim x x , lim cx c với c là hằng số
Ví dụ 1 Cho hàm số
3
f x
x 2 Chứng minh rằng limf xx 2 12
Giải
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn 2 và xn 2 khi n
Ta có:
2 3
n
Vậy
x 2
limf x 12
2 Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1
a) Giả sử
0
xlim f xx Lvà
0
xlim g xx M Khi đó:
Trang 20
xlim f x g xx L.M;
0
x x
f x L
g x M
0
xlim f xx L thì L 0 và
0
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với x x ) 0
Ví dụ 2 Cho hàm số f x 1 x 2
x 4 Tính limf x x 4
Giải
Ta có:
x 4
lim 1 x 3 0, 2
x 4
2
1 x lim f x lim
x 4
3 Giới hạn một bên
Định nghĩa 2
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b)
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất
kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L
Kí hiệu:
0
xlim f xx L
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0)
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất
kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L
Kí hiệu:
0
x x
lim f x L
Định lí 2
Trang 30 0 0
xlim f xx L xlim f (x)x xlim f xx L
Ví dụ 3 Cho hàm số f x x 1 khi x 0
2x khi x < 0 Tìm xlim f (x); lim f (x)0 x 0 và
x 0
lim f (x) (nếu có)
Giải
Ta có:
xlim f (x)0 xlim 2x0 0;
lim f (x) lim f x 0
Do đó
x 0
lim f (x) 0
Vậy
xlim f (x)0 xlim f x0 0 và
x 0
lim f (x) 0
II GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
Định nghĩa 3
a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞)
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a
và xn → +∞, ta có f(xn) → L
Kí hiệu:
xlim f x L
b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a)
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và
xn → –∞, ta có f(xn) → L
Kí hiệu:
xlim f x L
Chú ý:
a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:
lim c c; lim c c; lim 0; lim 0
Trang 4b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi xn → +∞ hoặc
x → –∞
III GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
1 Giới hạn vô cực
Định nghĩa 4
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞)
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và
xn → +∞, ta có f(xn) → –∞
Kí hiệu:
xlim f x
Nhận xét:
xlim f x xlim f x
2 Một vài giới hạn đặc biệt
xlim x với k nguyên dương
xlim x ;
xlim x
3 Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
0
xlim f xx
0
xlim g xx
0
xlim f x g xx
L > 0
L < 0
Trang 5b) Quy tắc tìm giới hạn của thương f x
g x
0
xlim f xx
0
xlim g xx Dấu của g(x)
0
x x
f x lim
g x
–
– (Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x x ) 0
Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:
Ví dụ 4 Tính các giới hạn sau:
xlim x 3x 8 ;
b)
x 1
5x 6
2x 2
c)
x 3
x
x 3
Giải
b)
5x 6
lim lim 5x 6 : lim 2x 2
2x 2
Trang 6(Vì
xlim 5x1 6 1 0; lim 2xx 1 2 0 và 2x – 2 < 0 với mọi x < 1)
c)
x
lim lim x : lim x 3
x 3
( Vì
xlim x3 3 0; lim xx 3 3 0 và x + 3 > 0 với mọi x > - 3 )
B BÀI TẬP
Bài 1 Tính giới hạn các hàm số sau:
a)
x 1
x 1
x 3 2
b)
3 3
x
x 0
d)
5 2
3 x
x 1 1 2x
x 9
Lời giải
a)
x 1 x 3 2
x 1
b)
3
3
3
9
x
Trang 7
d)
5 5
7
1 1
Bài 2 Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
a)
x 2
1 2x
lim
4x 1;
b)
2
2
x
lim
Lời giải
4x 1
4
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn 1
n n
n
Do đó
x 2
1 2x 1
4x 1 3
b) Xét
2 2
g x
2 n
n
3x 4
2
2
x
Trang 8Bài 3 Cho hàm số: 3
Với giá trị nào của m thì hàm số f(x) có giới hạn khi x 1? Tìm giới hạn này
Lời giải
Ta có:
2
2
2
lim f x lim mx 2 m 2
Để hàm số f(x) có giới hạn khi x 1 thì
xlim f x1 xlim f x1
Khi đó:
limf x lim f x lim f x 1
Vậy m = -1 thì hàm số f(x) có giới hạn khi x 1 và giới hạn đó bằng 1