Lý thuyết giới hạn của dãy số (mới 2022 + bài tập) – toán 11

BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A LÝ THUYẾT I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1 Định nghĩa Định nghĩa 1 Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tu[.]

BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A LÝ THUYẾT

I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1 Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một

số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu: n

nlim u 0 hay un → 0 khi n → +∞

Ví dụ 1 Cho dãy số (un) với

n

1 u

n Tìm giới hạn dãy số

Giải

Xét un 12 12

Với n > 10 n2 > 102 = 100

u

n n 100

n

nlim u 0

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu n

nlim v a 0

Kí hiệu: n

nlim v a hay vn → a khi n → +∞

3 2n Chứng minh rằng n

n

1 lim v

2

Giải

Ta có n

Do đó: n

n

1 lim v

2

2 Một vài giới hạn đặc biệt

lim 0, lim 0

n n với k nguyên dương;

b) n

nlim q nếu |q| < 1;

c) Nếu un = c (c là hằng số) thì n

nlim u nlim c c

nlim u a ta viết tắt là lim un = a

II ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì

lim (un + vn) = a + b

lim (un – vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

n

n

u a

lim

v b (nếu b 0)

Nếu un 0 với mọi n và limun = a thì:

n

lim u a và a 0

lim n

n 1

Giải

2

1 2 1

3 2 3

lim1 lim lim : lim lim

1 4n

Giải

2

2

1

n

III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

1

u

Ví dụ 5 Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

n 1

1; ; ; ; ; ;

Giải

Ta có dãy số

n 1

1; ; ; ; ; ;

2 4 8 2 là một số cấp số nhân lùi vô hạn với công bội 1

q

2

Khi đó ta có:

n 1

n

1

1

2

IV GIỚI HẠN VÔ CỰC

1 Định nghĩa

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞

- Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞

Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞

Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞

2 Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim nk = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qn = +∞ nếu q > 1

3 Định lí 2

a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì n

n

u lim 0 v

b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì n

n

u lim v c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì limu vn n

lim 2

n

Giải

lim 2 lim 2 lim

Vì lim2n và lim1 0

n

lim 2

n

B BÀI TẬP

Bài 1 Tính các giới hạn sau:

a) lim2n 8;

n 9

b)

3

4 n 12n

1 2n

c)

3 4 1

2.4 2

Lời giải

a)

8 2

9

n

b)

3

3

1

1

n

c)

n

1

2 2

Bài 2 Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là 2

3 và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Lời giải

Số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là:

n

n

2 u

3 Suy ra số hạng đầu tiên của dãy là: u1 1

Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: u1 1 1

2 1

1 q 1

3 3

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là:

n

n

2 u

3 và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là 3

Bài 3 Biết dãy số (un) thỏa mãn un 1 13

n với mọi n Chứng minh rằng limun = 1

Lời giải

Đặt vn = un - 1

Chọn số dương bé tùy ý d, tồn tại 3

0

1

d với mọi n n sao cho: 0

0

1

Theo định nghĩa ta có: limvn = 0

Do đó lim (un – 1) = 0

n

limu 1

Bài 4 Tính các giới hạn sau:

a) lim n2 n n2 1 ;

b) lim(n3 + 2n2 – n + 1)

Lời giải

a)

lim n n n 1 lim

2

1 1

1 1 2

b) lim(n3 + 2n2 – n + 1) = lim n 13 2 12 13 lim n lim 13 2 12 13

(Vì lim n3 ,lim 1 2 12 13 1

n n n )