Lý thuyết ôn tập chương 1 (mới 2022 + bài tập) toán 11

Ôn tập chương 1 A Lý thuyết 1 Định nghĩa phép biến hình Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng Nếu[.]

Ôn tập chương 1

A Lý thuyết

1 Định nghĩa phép biến hình

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy

nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng

- Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) và gọi M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F

- Nếu ℋ là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu ℋ ' = F(ℋ) là tập các

điểm M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc ℋ Khi đó, ta nói F là biến hình ℋ thành

hình ℋ ', hay hình ℋ ' là ảnh của hình ℋ qua phép biến hình F

- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất

Ví dụ Cho trước đường thẳng d, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M’ là điểm

sao cho M’ đối xứng với M qua d

Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ nêu trên là một phép biến hình vì chỉ

có duy nhất 1 điểm M’ thỏa mãn yêu cầu

Ta có: T (A)v A'; T (B)v B'; T (C)v C'

3 Tính chất của phép tịnh tiến

- Tính chất 1 Nếu T (M)v M'; T (N)v  N'thì M ' N '  MN và từ đó suy ra M’N’ = MN

Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

- Tính chất 2 Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc

trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

4 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v (a ; b) Với mỗi điểm M(x ; y) ta có M’(x’ ; y’) là ảnh của điểm M qua tịnh tiến theo vectơ v

Ví dụ.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1 ; – 2) Phép tịnh tiến theo vectơ

v (1;3)biến A thành điểm A’ có tọa độ là bao nhiêu?

Vậy tọa độ điểm A’(2 ; 1)

5 Định nghĩa của phép đối xứng trục

- Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của

đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản là trục đối xứng

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd

- Nếu hình ℋ ' là ảnh của hình ℋ qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói ℋ đối xứng với ℋ ' qua d, hay ℋ và ℋ ' đối xứng với nhau qua d

1) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với đường thẳng d Với mỗi điểm M = (x ; y), gọi M’ = Đd(M) = (x’ ; y’) thì x ' x

y ' y





  

 , đây là biểu thức tọa độ

của phép đối xứng qua trục Ox

2) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với đường thẳng d Với mỗi điểm M = (x ; y), gọi M’ = Đd(M) = (x’; y’) thì x ' x

y ' y

 



 , đây là biểu thức tọa độ

của phép đối xứng qua trục Oy

Ví dụ Cho điểm M(2 ; 4) Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng qua trục Ox và

trục Oy

Lời giải:

Gọi ĐOx(M) = A(x ; y) và ĐOy(M) = B(a; b)

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Ox ta có:

- Tính chất 1 Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

- Tính chất 2 Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn

thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

Ví dụ.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, qua phép đối xứng trục Ox, đường tròn (C) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 36 biến thành đường tròn (C’) Tìm phương trình đường tròn (C’) ?

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(2 ; 3) và bán kính là R = 6

Qua phép đối xứng trục Ox, biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’), biến tâm I thành tâm I’(x’; y’) và bán kính R’ = R = 6

Áp dụng biểu thức phép đối xứng trục Ox ta được I’(2; – 3)

Do đó, phương trình đường tròn (C’) là:

(x – 2)2 + (y + 3)2 = 36

8 Trục đối xứng của một hình

- Định nghĩa Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình ℋ nếu phép đối

xứng qua đường thẳng d biến ℋ thành chính nó

Khi đó, ta nói ℋ là hình có trục đối xứng

- Ví dụ Các hình sau có trục đối xứng

9 Định nghĩa của phép đối xứng tâm

- Cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác điểm I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là

phép đối xứng tâm I

Điểm I được gọi là tâm đối xứng

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là ĐI

- Nếu hình ℋ ' là ảnh của hình ℋ qua ĐI thì ta còn nói ℋ đối xứng với ℋ ' qua tâm I, hay ℋ và ℋ ' đối xứng với nhau qua I

Từ định nghĩa trên ta suy ra, M’ = ĐI(M) IM '  IM

- Ví dụ Cho hình vẽ sau Các điểm A và B là ảnh của điểm A’ và B’ qua phép đối

xứng tâm I và ngược lại

10 Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

Trong hệ tọa độ Oxy, cho M(x ; y), M’= ĐO(M) = (x’; y’) Khi đó:

 , đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

- Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(7 ; – 4) Tìm ảnh của điểm A

qua phép đối xứng tâm O

Lời giải:

Gọi A’(x’; y’) là ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có:

x ' 7

A '( 7 ; 4)y' ( 4) 4

Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

- Tính chất 2 Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song

hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

- Ví dụ.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0 Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I(1; 2)

Lời giải:

Giả sử phép đối xứng tâm I(1 ; 2) biến điểm M(x ; y) d thành điểm M’(x’ ; y’)

Khi đó I là trung điểm của MM’ Áp dụng công thức tọa độ trung điểm ta có:

Vì điểm M thuộc d nên: x + y – 2 = 0 (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

(2 – x’) + (4 – y’) – 2 = 0 hay – x’ – y’ + 4 = 0

Do đó, phương trình đường thẳng d’ là – x – y + 4 = 0 hay x + y – 4 =0

12 Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình ℋ nếu phép đối xứng tâm I

biến hình ℋ thành chính nó

- Khi đó, ta nói ℋ là hình có tâm đối xứng

- Ví dụ Các hình sau đây đều có tâm đối xứng:

13 Định nghĩa của phép quay

- Định nghĩa: Cho điểm O và góc lượng giác α Phép biến hình biến O thành chính

nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác

(OM; OM’) bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α

- Điểm O được gọi là tâm quay, α được gọi là góc quay của phép quay đó

Phép quay tâm O góc α được kí hiệu là Q(O, α)

- Nhận xét:

1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ

2) Với k là số nguyên ta luôn có:

Phép quay Q(O, k2 ) là phép đồng nhất

Phép quay Q(O, (2k 1) )  là phép đối xứng tâm O

14 Tính chất của phép quay

- Tính chất 1 Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Phép quay tâm O, góc (OA, OA’) biến điểm A thành A’, B thành B’ Khi đó ta có A’B’ = AB

- Tính chất 2 Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng

thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

- Nhận xét: Phép quay góc α với 0   , biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ sao cho góc giữa d và d’ bằng α (nếu 0

15 Khái niệm về phép dời hình

- Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm

- Ví dụ Vì phép tịnh tiến và phép đối xứng tâm là phép dời hình nên thực hiện liên

tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v và phép đối xứng tâm O ta được một phép dời hình

(3) Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó

(4) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

- Chú ý:

a) Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’

b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh

- Ví dụ Cho đường tròn (C) có phương trình (x + 4)2 + (y – 3)2 = 49 Thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục qua đường thẳng d và phép quay tâm O góc quay 900

ta được đường tròn (C’)

Bán kính đường tròn (C’) là: R’ = R = 7

17 Khái niệm hai hình bằng nhau

- Định nghĩa Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình

này thành hình kia

- Ví dụ

a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ v biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ Sau đó, ta thực hiện tiếp phép đối xứng trục qua đường thẳng d biến tam giác A’B’C’ thành tam giác A”B”C” Khi đó: ∆ABC = ∆A”B”C”

b) Hình ảnh dưới đây cho ta hai hình bằng nhau:

18 Định nghĩa của phép vị tự

- Cho điểm O và số k ≠ 0 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho

OM 'k.OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k

Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là V(O, k)

- Nhận xét:

(1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó

(2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất

(3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự

(4) M’ = V(O, k)(M) 1

O, k

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó

d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R

20 Tâm vị tự của hai đường tròn

- Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này

thành đường tròn kia

Tâm của phép vị tự được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn

- Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn

Cho hai đường tròn (I ; R) và (I’; R’) có ba trường hợp xảy ra:

+ Trường hợp I trùng với I’

Khi đó, phép vị tự tâm I tỉ số R '

R và phép vị tự tâm I tỉ số

R 'R

 biến đường tròn (I ; R) thành đường tròn (I ; R’)

Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng II’ tại điểm O nằm ngoài đoạn thẳng II’, còn đường thẳng MM” cắt đường thẳng II’ tại điểm O1 nằm trong đoạn thẳng II’

Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn O1 là tâm vị tự trong của hai đường tròn nói trên

Ví dụ Cho hai đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4 và (C’): (x – 8)2 + (y – 4)2 =

16 Xác định tâm vị tự của hai đường tròn?

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(2 ; 1),bán kính R = 1;

Đường tròn (C’) có tâm I’(8 ; 4), bán kính R’ = 4

Do I ≠ I’ và R ≠ R’ nên có hai phép vị tự V(J, 2) và V(J, -2) biến (C) thành (C’) Gọi J(x ; y)

Tương tự với k = – 2, tính có J’(4; 2)

Vậy có 2 phép vị tự thỏa mãn đầu bài

21 Định nghĩa phép đồng dạng

- Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với

hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = kMN

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính kR

- Chú ý

a) Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’

b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thảng đỉnh, biến cạnh thành cạnh

Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho 2 đường tròn (C) và (C’) có

phương trình x2 + y2 – 4y – 5 = 0 và x2 + y2 – 2x + 2y – 14 = 0 Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng tỉ số k, khi đó giá trị k là ?

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(0 ; 2) bán kính R = 3

Đường tròn (C’) có tâm I’(1 ; – 1) bán kính R’ = 4

Ta có (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng tỉ số k nên : 4 = 3k

- Định nghĩa Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng

dạng biến hình này thành hình kia

- Ví dụ Các hình sau đôi một đồng dạng với nhau

B Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho phép tịnh tiến Tu biến điểm M thành M1 và phép tịnh tiến Tv biến M1

thành M2 Hỏi tịnh tiến theo vectơ (u v) biến điểm M thành điểm nào?

Vậy tịnh tiến theo vectơ (u v) biến điểm M thành điểm M2

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 điểm A(2; 1); B(– 1; – 4) Gọi C và D

lần lượt là ảnh của A và B qua phép tịnh tiến theo vectơ v (1 ; 5) Tính độ dài đoạn thẳng CD?

Lời giải:

Ta có: AB ( 1 2)  2   ( 4 1)2  34

Vì T (A) C; T (B) Dv  v  nên theo tính chất của phép tịnh tiến ta có:

Vậy CD  34

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v (1;3)và đường thẳng d có phương trình 2x – 3y + 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến Tv

Lời giải:

Cách 1 Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Lấy điểm M(x ; y) tùy ý thuộc d, ta có: 2x – 3y + 5 = 0 (1)

Thay vào (1) ta được phương trình:

2(x’ – 1) – 3(y’ + 3) + 5 = 0 hay 2x’ – 3y’ – 6 = 0

Vậy ảnh của d là đường thẳng d’: 2x – 3y – 6 = 0

Cách 2 Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Do T (d) d'v  nên d’ song song hoặc trùng với d

Suy ra, phương trình đường thẳng d’ có dạng: 2x – 3y + c = 0 (2)

Lấy điểm M(– 1; 1) thuộc d

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình

x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v(1;1)

Do đó, phương trình của đường tròn (C’) là x2 + (y – 3)2 = 9

Bài 5 Mỗi hình sau có bao nhiêu trục đối xứng?

a) Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau

b) Hình gồm hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau

c) Hình gồm 3 đường tròn có bán kính bằng nhau và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau

Lời giải:

Một đường tròn có vô số trục đối xứng đi qua tâm của đường tròn đó

Do đó, trục đối xứng thỏa yêu cầu của bài toán là đường thẳng nối hai tâm của đường tròn đã cho

Vậy hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có 1 trục đối xứng b) Có bốn trục đối xứng gồm đường thẳng d; d’ và hai đường phân giác của hai góc tạo bởi d, d’

c) Có 3 trục đối xứng là 3 đường trung trực của các đoạn nối tâm

Bài 6.Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2 ; 3) Tìm ảnh của M qua phép đối

xứng qua đường thẳng d: x – y = 0?

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d

Ta có đường thẳng MH vuông góc với d nên đường thẳng MH có vectơ chỉ phương

là uMH nd ( 1; 1) nMH(1 ; 1)

Phương trình đường thẳng MH: 1.(x – 2) + 1.(y – 3) = 0 hay x + y – 5 = 0

Hai đường thẳng MH và d cắt nhau tại H nên tọa độ H là nghiệm hệ:

Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng trục Ox biến đường thẳng d: x + y – 2 = 0 thành đường thẳng d’ Viết phương trình d’

Suy ra, phương trình đường thẳng d’ : x – y – 2 = 0

Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng đường tròn (C):

x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính 2 2

R 1 2   ( 4) 3 Gọi I’ và R’ là tâm và bán kính của (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy

Ta có: R’ = R = 3

Ta tìm tọa độ tâm I’

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Oy ta được I’(– 1; 2)

Vậy ảnh của M qua phép đối xứng tâm I là M’(0 ; – 7)

Bài 10 Cho điểm I(2 ; 0)và đường thẳng d: 2x – 5y + 1 = 0 Tìm ảnh của d qua

Thay (2) vào (1) ta được:

2.(4 – x’) – 5.(– y’) + 1 = 0 hay – 2x’ + 5y’ + 9 = 0

Vậy ảnh của d là đường thẳng d’: – 2x + 5y + 9 = 0

Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh của đường tròn (C): (x – 3)2 + (y + 1)2 = 16 qua phép đối xứng tâm O(0; 0)

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(3 ; – 1) bán kính R = 4

Đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm O(0 ; 0) nên đường tròn (C’) có bán kính R’ = R = 4 và tâm I’(– 3; 1) (tâm I’ đối xứng với tâm I qua O)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là (x + 3)2 + (y – 1)2 = 16

Bài 12 Cho hình vuông tâm O Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay α với

0  2 biến hình vuông trên thành chính nó?