Chuyên đề phép tịnh tiến (2022) toán 11

C n n n Toán 11 A Lý I Đ n ng ĩa Đ n ng ĩa Trong mặt phẳng, cho vectơ v→ Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM''''→ = v→ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v→ Phép tịnh tiến theo vec[.]

C n n n - Toán 11

A Lý

I Đ n ng ĩa

- Đ n ng ĩa: Trong mặt phẳng, cho vectơ v→ Phép biến hình biến mỗi điểm M

thành điểm M’ sao cho MM'→  =  v→ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v→

- Phép tịnh tiến theo vectơ thường được kí hiệu là được gọi là vectơ tịnh tiến

Vậy: Tv→ (M)=  M' ⇔MM'→  =  v→

- Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất

- Ví dụ 1 Cho hình vẽ sau:

Ta có: Tv→ (A)=  A' ;   Tv→ (B)=  B' ;  Tv→ (C)=  C' 

II Tín c ấ

- Tín c ấ 1 Nếu Tv→ (M)=  M' ;  Tv→ (N)=  N' thì M'N' →  =  MN→ và từ đó suy

ra M’N’ = MN

Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

- Tín c ấ 2 Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc

trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

III B ể ức ọa ộ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v→ (a ;  b) Với mỗi điểm M(x ; y) ta có M’(x’

; y’) là ảnh của điểm M qua tịnh tiến theo vectơ v→

Khi đó:

MM'→  =  v→  ⇔x'−x =ay'  − y=b ⇒x'=x +ay'  = y+b

đây chính là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tv→

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1 ; – 2) Phép tịnh tiến theo vectơ

biến A thành điểm A’ có tọa độ là bao nhiêu?

Lờ g ả :

Gọi tọa độ điểm A’ = (x’; y’)

B Bà ậ

I Bà ậ rắc ng ệm

Bài 1: Trong mặt phẳng, hình nào sau đây có trục đối xứng?

A hình thang vuông

B hình bình hành

C hình tam giác vuông không cân

D hình tam giác cân

Lờ g ả :

Đáp án: D

Tam giác cân có trục đối xứng là đường cao (cúng là trung trực, phân giác)

Bài 2: Trong mặt phẳng, cho hình thang cân ABCD có AD = BC Tìm mệnh đề đúng

:

A có phép đối xứng trục biến AD→ thành BC→ nên AD→ = BC→

B có phép đối xứng trục biến AC→ thành BD→ nên AC→ = BD→

C có phép đối xứng trục biến AB thành CD nên AB // CD

D có phép đối xứng trục biến DA thành CB nên DA = CB

Lờ g ả :

Đáp án: D

Bài 3: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng a và b tạo với nhau góc 600 Có bao

nhiêu phép đối xứng trục biến a thành b

A một

B hai

C ba

D bốn

Lờ g ả :

Đáp án: B

Hai đường phân giác của góc tạo bởi a và b

Nhận xét: Giả thiết góc 600 chỉ để gây nhiễu

Bài 4: Cho hình vuông ABCD tâm I gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các

cạnh DA, AB, BC, CD Phép đối xứng trục AC biến:

A ∆IED thành ∆IGC

B ∆IFB thành ∆IGB

C ∆IBG thành ∆IDH

D ∆IGC thành ∆IFA

Lờ g ả :

Đáp án: C

Tìm ảnh của từng điểm qua phép đối xứng trục AC: điểm I biến thành I; B thành D; G thành H Chọn đáp án C

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-1;3) Phép đối xứng trục Ox biến M thành

M’ thì tọa độ M’ là:

A M’(-1;3)

B M’(1;3)

C M’(-1;-3)

D M’(1;-3)

Lờ g ả :

Đáp án: C

(x' = x; y' = -y) Chọn đáp án C

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình : x - 2y + 4 = 0

Phép đối xứng trục Ox biến d thành d’ có phương trình:

A x - 2y + 4 = 0

B x + 2y + 4 = 0

C 2x + y + 2 = 0

D 2x - y + 4 = 0

Lờ g ả :

Đáp án: B

Phép đối xứng trục Ox có

thay vào phương trình d được x'+ 2y' + 4 = 0 hay x + 2y + 4 = 0 Chọn đáp án B

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:

(x - 3)2 + (y - 1)2 = 6 Phép đối xứng trục Oy biến (C) thành (C’) có phương trình

A (x + 3)2 + (y - 1)2 = 36

B (x + 3)2 + (y - 1)2 = 6

C.(x - 3)2 + (y + 1)2 = 36

D (x + 3)2 + (y + 1)2 = 6

Lờ g ả :

Đáp án: B

Phép đối xứng trục Oy biến tâm I(3;1) của (C) thành I’(-3;1); bán kính không thay đổi Chọn đáp án B

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;3) Điểm M là ảnh của điểm nào trong

bốn điểm sau qua phép đối xứng trục Oy?

A A(3;2)

B B(2; -3)

C C(3;-2)

D D(-2;3)

Lờ g ả :

Đáp án: D

Bài 9: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A Tam giác đều có vô số trục đối xứng

B Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là đường tròn

C Hình gồm hai đường thẳng vuông góc có vô số trục đối xứng

D Hình tròn có vô số trục đối xứng

Lờ g ả :

Đáp án: D

Phương án A Tam giác đều chỉ có ba trục đối xứng là ba đường cao

Phương án B Đường thẳng cũng có vô số trục đối xứng (là đường thẳng bất kì vuông góc với đường thẳng đã cho)

Phương án C Hình gồm hai đường thẳng vuông góc có bốn trục đối xứng (là chính hai đường thẳng đó và hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đó)

Bài 10: Trong mặt phẳng, hình vuông có mấy trục đối xứng?

A một

B hai

C ba

D bốn

Lờ g ả :

Đáp án: D

Hai đường chéo và hai đường trung bình

II Bà ậ ự l ận có lờ g ả

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x - 8y + 11 = 0

Phép đối xứng trục Oy biến d thành d’ có phương trình?

Lờ g ả :

Phép đối xứng trục Oy có:

Thay vào phương trình d ta được -2x' - 8y' + 11 = 0 hay 2x + 8y - 11 = 0

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x-2y+2=0 và đường

thằng l có phương trình : x - y + 1 = 0 Phép đối xứng trục l biến d thành d’ có phương trình

Lờ g ả :

Gọi giao điểm của d và l là điểm I Tọa độ điểm I là nghiệm hệ:

Lấy A(4; 3) thuộc d Phương trình đường thẳng a qua A và vuông góc với đường thẳng l có vecto chỉ phương là: ua→ = nl→ = (1;-1) nên có vecto pháp tuyến là: na→

= (1;1)

Phương trình đường thẳng a: 1( x – 4) + 1.(y – 3) =0 hay x + y – 7 = 0

Gọi H là giao điểm của a và l.Tọa độ H là nghiệm hệ:

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua H Khi đó, H là trung điểm của AA’

Suy ra:

Phương trình đường thẳng IA’: đi qua I(0; 1) và có vecto chỉ phương IA'→(2;4) ⇒ n→(2;-1)

Phương trình IA’: 2( x- 0) - 1(y – 1) = 0 hay 2x – y + 1 = 0 chính là phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua l

Bài 3: Cho hai điểm A, B cùng phía với đường thẳng d gọi A’, B’ lần lượt là hình

chiếu của A, B trên đường thẳng d Tìm vị trí điểm C trên d để chu vi tam giác ABC nhỏ nhất

Lờ g ả :

Lấy A’’ đối xứng với A qua d

Chu vi tam giác ABC = AB + AC + BC = AB + CA’’+ CB

Vì độ dài AB không đổi nên để chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi và chỉ khi CA” +

CB nhỏ nhất

Lại có: CA” + CB ≥ A”B

Do đó, để chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi và chỉ khi CA” + CB = A”B Khi đó: B,

C, A’’ thẳng hàng

Bài 4: Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến một hình chữ nhật thành chính nó?

Lờ g ả :

Hai đường thẳng đi qua tâm hình chữ nhật và vuông góc với hai cặp cạnh đối diện của nó

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y - 2 = 0 Phép

đối xứng trục Oy biến d thành d’ có phương trình?

Lờ g ả :

Phép đối xứng trục Oy có:

Thay vào phương trình d ta được -x' + y'- 2 = 0 hay - x + y - 2 = 0 ⇔ x - y + 2 = 0

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P) có phương trình :y = 6x2 - 3x + 13

Phép đối xứng trục Ox biến (P) thành (P’) có phương trình:

Lờ g ả :

Phép đối xứng trục Ox có:

Thay vào phương trình (P) ta được :-y' = 6x'2 - 3x' + 13 hay y = -6x2 + 3x - 13

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 - 4x + 5y

+ 1 = 0 Phép đối xứng trục Oy biến (C) thành (C’) có phương trình:

Lờ g ả :

Phép đối xứng qua trục Oy có :

Thay vào phương trình (C) ta được x'2 + y'2 + 4x' + 5y' + 1 = 0 hay x2 + y2 + 4x + 5y + 1 = 0

Bài 8: Trên tia phân giác ngoài Cx của góc C của tam giác ABC lấy điểm M không

trùng với C tìm mệnh đề đúng nhất:

Lờ g ả :

Lấy A’ đối xứng A qua Cx Ta có:

MA + MB = MA’ + MB > BA’ = CB + CA’ = CB + CA

Nhận xét: Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác bất kì luôn có tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba (chú ý giả thiết : M không trùng với C)

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P) có phương trình y = 4x2 - 7x + 3 Phép

đối xứng trục Oy biến (P) thành (P’) có phương trình?

Lờ g ả :

Phép đối xứng trục Oy có:

Thay vào phương trình (P) được y = 4x'2 + 7x' + 3 hay y = 4x2 + 7x + 3

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1; -2) và B(3; 1) Tìm ảnh của A, B và đường

thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox

Lờ g ả :

+ A’(x1; y1) đối xứng với A(1; -2) qua trục Ox

+ B’(x2; y2) đối xứng với B(3; 1) qua trục Ox

* Qua phép đối xứng trục Ox, biến điểm A và B lần lượt thành 2 điểm A’ và B’ Nên biến đường thẳng AB thành đường thẳng A’B’

+ Đường thẳng A’B’ đi qua A’(1;2) và nhận vecto chỉ phương là A'B'→(2,-3) nên vecto pháp tuyến là: (3; 2)

Phương trình đường thẳng A’B’ là:

3(x-1)+ 2( y-2) = 0 hay 3x+ 2y- 7=0

III Bà ậ vận dụng

Bài 1 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x – y + 2 = 0 Viết

phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy

Bài 2 Trong các chữ cái sau, chữ nào là hình có trục đối xứng ?

Bài 3 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1;-2) và B(3;1) Tìm ảnh của A, B và

đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox

Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x-y+2=0 Viết

phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy

Bài 5 Trong các chữ cái sau, chữ nào là hình có trục đối xứng?

Bài 6 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm Điểm M (2;3) là ảnh của điểm nào trong bốn

điểm sau qua phép đối xứng trục ?

Bài 7 Trong mặt phẳng Oxy cho A(1; -2) và B(3; 1) Tìm ảnh của A, B và đường

thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox

Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến a thành b

Bài 9 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình : x - 2y + 4 = 0 Phép

đối xứng trục Ox biến d thành d’ có phương trình

Bài 10 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;3) Điểm M là ảnh của điểm nào trong

bốn điểm sau qua phép đối xứng trục Oy?