Một phương pháp thiết kế bộ điều khiển thích nghi ổn định tiệm cận toàn cục cho bài toán điều khiển thích nghi kháng nhiễu

Email xin phép d ch thuật từ thành viên c a chuyên san EXP, Võ Hoàng Tr ng: “I’ve known this site since i was in high school and i’m very impressed.. So, I want to translate some lessons

Tác gi ả: Murray Bourne, ng i s hữu trang www.intmath.com

Biên d ịch: Võ Hoàng Tr ng, thành viên chuyên san EXP, sinh viên khoa Toán – Tin h c,

tr ng Đ i h c Khoa h c Tự nhiên, Đ i h c Qu c gia Tp H Chí Minh

Ch ỉnh sửa: Đ ng Phúc Thiên Qu c, ch nhi m chuyên san EXP, cử nhân khoa Toán – Tin h c,

tr ng Đ i h c Khoa h c Tự nhiên, Đ i h c Qu c gia Tp H Chí Minh

Trình bày bìa: Công ty trách nhi m hữu h n Công ngh Thi t k DUKES, 30 Nguy n Văn Dung, Ph ng 6, Quận Gò V p, Tp H Chí Minh

Cu n sách nƠy đ c d ch từ 2 ph n: “Differentiation” vƠ “Integration” trên trang web

www.intmath.com, tiêu đ “Đ o hàm, Tích phân ng d ng đ c gì?” do ng i biên d ch tự ý đặt

(i) B n quy n v i trang web IntMath:

Xu t b n theo sự cho phép c a tác gi thông qua th đi n tử vƠo ngƠy 18 tháng 1 năm 2015

Email xin phép d ch thuật từ thành viên c a chuyên san EXP, Võ Hoàng Tr ng:

“I’ve known this site since i was in high school and i’m very impressed Your site so helpful for

me So, I want to translate some lessons of your site (like differentiation, intergral, etc ) into Vietnamese for studying and sharing to anyone who need The production is a book or a file type.PDF upload on the internet and sharing for free

No operation will be made But first, I need your agreement (for copyright) So, can I do this?”

Email ch p thu n d ch thuật từ qu n lý trang web IntMath, Murray Bourne:

(ii) B n quy n v i Chuyên san EXP:

Tôi, Đ ng Phúc Thiên Qu c, ch nhi m Chuyên san EXP, khoa Toán – Tin h c, tr ng Đ i h c Khoa h c Tự nhiên, Đ i h c Qu c Gia Thành ph H Chí Minh đ ng ý chỉnh sửa cu n sách

c a tác gi Murray Bourne do thành viên Võ Hoàng Tr ng biên d ch theo tiêu chuẩn c a Chuyên san EXP

Cu n sách nƠy đ c sử d ng mi n phí đ n b t kỳ ai có nhu c u đ c Chúng tôi không ng h

Các chỉnh sửa bao g m:

(i) Thay đ i màu sắc theo tiêu chuẩn c a EXP

(ii) Đánh s , đ nh d ng l i paragraph cho toƠn văn b n

(iii) Canh chỉnh kích th c hình nh, đóng khung, ầ

(iv) Sửa l i các đ nh d ng Toán h c cũ, MathType sang đ nh d ng Toán h c m i, Equation

(v) Đ nh d ng l i các biểu th c để t ng tác hoƠn toàn v i ph n m m Microsoft Mathematics (có thể sao chép - dán trực ti p công th c mà không c n đánh máy l i)

(vi) Kiểm tra chính t , lỗi tính toán, lỗi đánh máy sót

(vii) Tính toán l i, đ nh d ng sai s chữ s thập phơn (quy c cho toàn b bài)

Nhóm chúng tôi hoan nghênh m i sự góp ý, bình luận c a b n để cho cu n sách đ c hoàn thi n h n M i ph n h i v cu n sách này (ph n ti ng Vi t), đ c gi có thể gửi email v đ a chỉ:

hoangtrong2305@gmail.com tiêu đ ghi [Ph n h i Đ o hàm, Tích phân ng d ng đ c gì?]

Trân tr ng cám n!

Thành ph H Chí Minh, ngƠy 05 tháng 02 năm 2016

TRANG BÌA 1

Đ O HÀM, TÍCH PHÂN NG D NG Đ C GÌ? 2

B N QUY N 3

M C L C 5

L I NịI Đ U 7

CH NG 1: T NG QUAN V NGÀNH VI TÍCH PHÂN 8

CH NG 2: VI PHÂN 11

PH N 2.1:VI PHÂN (TÌM Đ O HÀM) 11

Bài 2.1.1 M đ u 11

Bài 2.1.2 Gi i h n và vi phân 15

BƠi 2.1.3 Đ d c c a ti p tuy n v i đ ng cong (tính toán giá tr ) 20

BƠi 2.1.4 Nguyên lỦ c b n để tính đ o hàm 23

BƠi 2.1.5 Đ o hàm v i t c đ thay đ i t c th i 27

BƠi 2.1.6 Đ o hƠm đa th c 30

BƠi 2.1.7 Đ o hƠm tích vƠ th ng 35

Bài 2.1.8 Vi phân hàm s có lũy thừa 39

Bài 2.1.9 Vi phân hàm ẩn 43

BƠi 2.1.10 Đ o hàm c p cao 47

BƠi 2.1.11 Đ o hàm riêng 50

PH N 2.2: NG D NG C A VI PHÂN 54

Bài 2.2.1 Gi i thi u v vi phân ng d ng 54

Bài 2.2.2 Ti p tuy n và pháp tuy n 56

Bài 2.2.3 Công th c Newton 60

Bài 2.2.4 Chuyển đ ng cong 64

Bài 2.2.5 T c đ liên quan 73

Bài 2.2.6 Sử d ng vi phơn để vẽ đ th 77

Bài 2.2.7 Áp d ng vi phơn để xử lý những v n đ cực tr 90

Bài 2.2.8 Bán kính cong 94

PH N 2.3:Đ O HÀM HÀM S SIÊU VI T 103

Bài 2.3.1 M đ u 103

BƠi 2.3.2 Đ o hàm hàm s l ng giác và ng d ng 104

BƠi 2.3.3 Đ o hàm hàm s logarithm, hƠm mũ vƠ ng d ng 113

CH NG 3: TệCH PHÂN 126

PH N 3.1: TÍCH PHÂN 126

Bài 3.1.1: M đ u 126

Bài 3.1.2 Vi phân 128

Bài 3.1.3 Nguyên hàm và tích phân b t đ nh 130

Bài 3.1.4 Di n tích d i đ ng cong 138

BƠi 3.1.5 Tích phơn xác đ nh 146

Bài 3.1.6 Quy tắc hình thang 155

Bài 3.1.7 Quy tắc Simpson 159

Bài 3.2.2 ng d ng c a tích phân b t đ nh 166

Bài 3.2.3 Dùng tích phân tính di n tích d i đ ng cong 171

Bài 3.2.4 Dùng tích phân tính di n tích d i đ ng cong 177

Bài 3.2.5 Thể tích kh i tròn xoay 183

Bài 3.2.6 Tr ng tâm b mặt 199

Bài 3.2.7 Moment quán tính 207

Bài 3.2.8 Công sinh ra b i lực bi n thiên 211

BƠi 3.2.9 Đi n tích 216

Bài 3.2.10 Giá tr trung bình 217

Bài 3.2.11 Tiêu chuẩn ch n th ng đ u (HIC): Chỉ s nghiêm tr ng 219

Bài 3.2.12 Tiêu chuẩn ch n th ng đ u (HIC): Chỉ s HIC, ví d 224

Bài 3.2.13 Lực c a áp su t ch t l ng 228

Bài 3.2.14 Sử d ng tích phơn tính đ dƠi đ ng cong 231

BƠi 3.2.15 Đ dƠi đ ng cong: ph ng trình tham s , t a đ cực 238

PH N 3.3 CÁC CÔNG TH C TÍNH TÍCH PHÂN 244

Bài 3.3.1 M đ u 244

Bài 3.3.2 Công th c tính tích phơn hƠm lũy thừa t ng quát 245

Bài 3.3.3 Công th c tính tích phơn hƠm logarithm c b n 256

Bài 3.3.4 Công th c tính tích phân hàm mũ 262

Bài 3.3.5 Công th c tính tích phơn hƠm l ng giác c b n 269

Bài 3.3.6 M t s công th c khác tính tích phơn hƠm l ng giác 278

Bài 3.3.7 Công th c tính tích phơn hƠm l ng giác ng c 291

Bài 3.3.8 Tích phân từng ph n 298

Bài 3.3.9 Tính tích phân bằng cách đặt ẩn l ng giác 305

Bài 3.3.10 B ng m t s tích phơn th ng gặp 313

Bài 3.3.11 Tính tích phân bằng cách dùng b ng 315

Bài 3.3.12 Tính tích phân bằng công th c đ quy 317

Bài 3.3.13 Tính tích phân bằng phân s riêng ph n 319

CH NG 4: BÀI Đ C THÊM 325

Bài 4.1 Archimedes và di n tích m t ph n hình parabola 325

Bài 4.2 Thể tích mặt dây chuy n 330

BƠi 4.3 Newton đư nói gì v vi tích phân? 335

Bài 4.4 T ng Riemann 340

Bài 4.5 Đ nh lỦ c b n c a vi tích phân 344

Bài 4.6 Công th c Tanzalin tính tích phân từng ph n 349

Bài 4.7 Tích phân từng ph n 2 l n 353

GI I THI U TRANG WWW.INTMATH.COM 358

Chào b n, tôi tên Võ Hoàng Tr ng Khi hoàn t t cu n sách nƠy, tôi lƠ sinh viên năm 2, khoa Toán – Tin h c, tr ng Đ i h c Khoa h c Tự nhiên, Đ i h c Qu c gia Thành ph H Chí Minh

Tôi hi n đang lƠ thƠnh viên Chuyên san EXP Đơy lƠ m t trong các s n phẩm c a nhóm chuyên san EXP, trực thu c CLB h c thuật, khoa Toán - Tin h c, Đ i h c Khoa h c Tự nhiên – Đ i

h c Qu c gia Tp H Chí Minh Trong h n 3 năm qua nhóm chúng tôi đư thực hi n các dự án quy mô nh nhằm c i thi n tình tr ng giáo d c Vi t Nam, hút l i ch t xám từ n c ngoài tr v ,

và hi n đ i hóa các công c Toán h c trong n c

Tôi tự nhận tôi là m t đ a thích Toán Khi tôi h c c p 3, tôi đư có thể tự gi i những bài toán khó trên l p mà không ai trong l p gi i đ c cũng nh ch ng có ai h ng dẫn tôi cách làm,

nh t là tích phân Vào th i điểm y, tôi có thể ng i hàng gi li n chỉ để gi i m t bài tích phân nƠo đó vƠ ngƠy hôm sau đem lên l p n p l y điểm 10 Khi y, tôi đư bi t khá nhi u cách gi i các bài tích phân, tự mò có, tìm ki m trên m ng cũng có, đ ng nhiên tôi l y làm tự hào lắm Vào cu i năm 12, tôi tự h i: “Không bi t n c ngoài h h c đ o hƠm, tích phơn nh th nƠo?”

V i b n tính tò mò, tôi lên Google tìm ki m vƠ tôi đư ti p cận trang www.intmath.com Cùng

v i trang tra từ trực tuy n tratu.soha.vn để d ch từ vựng, tôi tò mò xem cách mà trang web này nói v đ o hƠm, tích phơn vƠ sau đó tôi đư b cu n hút, không ph i vì trang này có những cách

gi i hay, nhi u ph ng pháp m i mà là những ng d ng trong đ i s ng hàng ngày c a đ o hàm, tích phân, ví d nh ch n chỗ ng i d quan sát nh t trong r p phim, cách thi t k khúc cua c a con đ ng, xác đ nh tr ng tâm c a vật thể, tính công sinh ra, ầ NgoƠi ra, tôi còn bi t đ c b n

ch t thực sự c a tích phân là gì, d u ∫ từ đơu mƠ ra hay mang Ủ nghĩa gì Cách h ng dẫn

c a trang web này song hành lý thuy t lẫn ng d ng thực ti n, t o đ c sự thu hút đ i v i tôi và tôi quy t đ nh d ch các bƠi trong trong trang web đó nhằm làm ngu n tài li u cho riêng mình cũng nh chia s cho b t kỳ ai có nhu c u đ c và tìm hiểu những ng d ng c a đ o hàm, tích phân trong cu c s ng

Tr c kia, tôi nghĩ tích phơn lƠ cái gì đó ghê g m mà chỉ các b óc thiên tài m i nghĩ ra đ c,

nh ng sau khi bi t đ c l ch sử hình thành c a chúng, tôi đư nghĩ sai Sự thật thì Ủ t ng hình thành khái ni m tích phân r t đ n gi n và tôi tin ngay c những h c sinh l p 6, l p 7 cũng có

thể hiểu đ c Ủ t ng nƠy Đặc bi t h n, những đi u mà tôi nói trên hi m khi đ c đ cập trong những ti t toán trên l p Còn vi c tính tích phơn ? Trong lúc tôi còn không bi t nên tính tích phân từng ph n hay đặt ẩn nh th nƠo thì ng i ta đư nghiên c u ra ph ng pháp lập trình trên máy tính và gi i ra đáp s cho b t kỳ bài tích phân nào v i đ chính xác đ n kinh ng c

“Ng i ta” đơy chính lƠ những ng i đư s ng cách đơy g n c th kỷ Qua đó, tôi th y rằng trình đ toán c a mình đư t t hậu xa so v i Th gi i

Tôi đư nghe nhi u b n h i rằng: “Đ o hàm, tích phân có ng d ng gì trong cu c s ng?” Đáng

ti c đơy lƠ ph n thú v và h p dẫn nh t l i đ c đ cập quá ít trong sách giáo khoa Hi v ng

rằng qua cu n sách này, b n sẽ có câu tr l i

L i cu i cùng, tôi chơn thƠnh cám n ông Murray Bourne, tác gi trang www.intmath.com đư cho phép tôi d ch ngu n tài li u từ trang web này

Còn bây gi , m i b n bắt đ u hành trình khám phá những ng d ng c a đ o hàm, tích phân

Ngành vi tích phân nghiên c u v những đ i l ng bi n thiên phi tuy n tính, đ c sử d ng r ng rãi trong các ngành khoa h c và kỹ thuật, xu t phát từ những v n đ mƠ chúng ta đ c h c (nh

vận t c, gia t c, dòng đi n trong m ch) trong thực t không h đ n gi n, g n gƠng, đ p đẽ N u

những đ i l ng thay đ i 1 cách liên t c, chúng ta c n phép vi tích phơn để tìm hiểu xem chuy n gì đư x y ra v i đ i l ng đ y

NgƠnh vi tích phơn đ c phát triển b i m t nhà khoa h c ng i Anh tên Issac Newton và m t nhà khoa h c ng i Đ c là Gottfried Lebniz, 2 nhà khoa h c này nghiên c u 1 cách đ c lập v i nhau v những đ i l ng bi n thiên vào kho ng cu i th kỷ 17 Đư có 1 cu c tranh cãi rằng ai là

ng i đ u tiên phát triển ngƠnh vi tích phơn, nh ng do 2 nhƠ khoa h c này nghiên c u đ c lập

v i nhau nên chúng ta có sự hòa lẫn không đ c nh Ủ v ký hi u và cách di n đ t khi dùng vi tích phân Từ Lebniz ta có ký hi u và ∫

Isaac Newton (1642 ậ 1726) Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 ậ 1716)

Sự phát triển c a đ ng h ch y chính xác từng giây vào th kỷ 17 mang l i nhi u Ủ nghĩa quan

tr ng trong khoa h c nói chung và toán h c nói riêng, vƠ đỉnh cao c a sự phát triển đó lƠ ngƠnh

vi tích phân

Đ i v i các nhà khoa h c thì đơy lƠ đi u r t quan tr ng để có thể dự đoán v trí c a những ngôi sao, qua đó hỗ tr cho ngành hàng h i Thử thách l n nh t c a các th y th khi đi biển chính là xác đ nh kinh đ c a con tàu ngoƠi kh i, b t kỳ qu c gia nƠo đ a tƠu đ c đ n Th Gi i M i

đ u sẽ mang v r t nhi u vàng b c châu báu, thực phẩm, qua đó qu c gia trên sẽ tr nên giàu

có

Newton và Lebniz xây dựng trên các phép toán đ i s và hình h c c a Rene Descartes, ng i phát triển h t a đ Descartes mƠ chúng ta đư gặp trong ch ng trình ph thông

Ngành vi tích phân này có 2 m ng chính:

Vi phơn (hay đ o hàm) giúp chúng ta tìm ra t c đ thay đ i c a 1 đ i l ng v i 1 đ i l ng khác

Tích phơn, ng c v i vi phân Chúng ta có thể đ c cho tr c 1 giá tr bi n thiên nƠo đó vƠ ta

ph i lƠm đi u ng c l i, t c tìm m i quan h ban đ u (hay ph ng trình ban đ u) giữa 2 đ i

Ch ng 3: Tích phơn

Ba ph n trong ch ng nƠy lƠ:

Ph n 3.1 Tích phân: Ta sẽ khám phá m t s nét c b n c a tích phân

Ph n 3.2 ng d ng c a tích phơn: N i ta sẽ th y vài ng d ng c b n c a tích phân g m tính

di n tích, thể tích, tr ng tâm, moment quán tính, n p đi n tích và giá tr trung bình M t đi u thú v lƠ Archimedes đư nắm đ c vài y u t để hình thƠnh nên vi tích phơn tr c c Newton và Leibniz tận 2000 năm!

Ph n 3.3 Công th c tính tích phân: Ph n này sẽ cho các b n th y vài kỹ thuật tính tích phân

Ch ng 4: BƠi đ c thêm

Những câu chuy n l ch sử và m t s cách tính vi tích phân khác sẽ đ c nêu trong ch ng nƠy

N i dung trong ph n 2.1 này:

BƠi 2.1.6 Đ o hƠm đa th c

BƠi 2.1.7 Đ o hƠm tích vƠ th ng

Bài 2.1.8 Vi phân hàm s có lữu thừa

Chúng ta c n l u Ủ rằng quưng đ ng tính từ điểm xu t phát tăng v i hằng s c đ nh là

mỗi gi , vì vậy sau ℎ chi c xe đi đ c Chú ý rằng đ d c (gradient) luôn là =trong toàn b đ th Đơy chính lƠ t c đ thay đ i c đ nh c a quưng đ ng theo th i gian, đ

d c luôn d ng (vì đ th đi lên khi b n đi từ trái sang ph i)

III T C Đ THAY Đ I KHÔNG C Đ NH

Bây gi ta quăng qu bóng lên tr i D i tác d ng c a tr ng lực thì qu bóng di chuyển chậm

d n, sau đó bắt đ u đi ng c chi u chuyển đ ng ban đ u và r t xu ng Trong su t quá trình chuyển đ ng thì vận t c qu bóng thay đ i từ d ng (khi qu bóng đi lên), chậm v 0, sau đó v

âm (qu bóng r i xu ng) Trong quá trình đi lên, qu bóng có gia t c ơm vƠ khi nó r i xu ng thì

có gia t c d ng

Ta có đ th m i liên h giữa đ cao ℎ và th i gian

Lúc nƠy đ d c c a đ th thay đ i trong su t quá trình chuyển đ ng Ban đ u đ d c khá l n,

có giá tr d ng (biểu th vận t c l n khi ta ném bóng), sau đó khi qu bóng chậm d n, đ d c ngày càng ít và bằng (khi qu b ng điểm cao nh t và vận t c lúc đó bằng ) Sau đó qu bóng bắt đ u r t xu ng vƠ đ d c chuyển sang âm ( ng v i gia t c ơm) sau đó ngƠy cƠng d c

h n khi vận t c tăng lên

Đ d c c a m t đ ng cong t i điểm cho ta bi t t c đ thay đ i c a đ i l ng t i điểm đó

IV KHÁI NI M QUAN TR NG: TÍNH X P X C A Đ NG CONG

Bây gi ta hãy phóng to m t ph n đ th g n v trí = (n i tôi đánh d u hình chữ nhật phía trên), quan sát m t đo n ngắn giữa v trí = và = , nó sẽ trông gi ng nh th này:

L u Ủ rằng khi ta phóng to đ g n đ ng cong, nó bắt đ u gi ng nh đ ng th ng Chúng ta

có thể tìm giá tr x p xỉ đ d c c a đ ng cong t i v trí = (chính lƠ đ d c c a ti p tuy n

c a đ ng cong đ c vẽ mƠu đ ) bằng cách quan sát những điểm mƠ đ ng cong đó đi qua g n

= (ti p tuy n là đ ng th ng ti p xúc v i đ ng cong t i duy nh t điểm)

Quan sát đ th , ta th y rằng đ ng cong y đi qua ; và ; Vậy đ d c c a ti p tuy n t i v trí = kho ng:

Cho đ n th i đ i c a Newton và Lebniz thì vẫn ch a có 1 cách chắc chắn để dự đoán hay miêu

t v hằng s bi n đ i c a vận t c Có sự c n thi t thực t để hiểu lƠm nh th nào ta có thể phân tích và dự đoán các đ i l ng có hằng s bi n thiên Đó lƠ lỦ do h phát triển phép tính vi phân

VI T I SAO PH I NGHIÊN C U PHÉP TÍNH VI PHÂN?

Có r t nhi u ng d ng c a phép vi phân trong khoa h c và kỹ thuật

Vi phơn còn đ c dùng trong vi c phân tích v tƠi chính cũng nh kinh t

M t ng d ng quan tr ng c a vi phơn đó lƠ t i u hóa ph m vi, t c tìm đi u ki n giá tr l n

Tập h p những quy luật c a vi phân

B n có thể b qua ph n ng d ng n u b n chỉ c n quan tơm đ n cách tính vi phơn, nh ng đơy sẽ

là m t thi u sót l n vì b n sẽ không bi t đ c t i sao l i có cách đó

Ti p theo bƠi “M đ u”, để hiểu rõ h n v ngƠnh nƠy, tr c tiên chúng ta ph i hiểu v gi i h n

I GI I H N

Trong vi c nghiên c u v ngành vi tích phân, chúng ta sẽ c m th y thú v v đi u gì sẽ x y ra

v i m t hàm s khi các giá tr khác nhau thay vƠo hƠm thì hƠm đó đ n g n để m t giá tr c thể Chúng ta đư bắt gặp đi u nƠy trong bƠi “Vi phơn (đ o hƠm)” khi phóng to đ ng cong để tìm giá tr x p xỉ c a đ d c đ ng cong

II GI I H N KHI TI N Đ N M T CON S C TH

Thỉnh tho ng vi c tìm giá tr gi i h n c a m t biểu th c chỉ đ n gi n là th s

Đi u này h p lý vì hàm = + là hàm liên t c

Tuy nhiên có m t vƠi tr ng h p ta không thể áp d ng cách này

Ví d : Trong biểu th c sau thì hiển nhiên không thể bằng (do mẫu s ph i khác ), hãy tìm gi i h n biểu th c khi ti n đ n :

Tr l i ví d Chúng ta có thể th y hàm s ti n đ n g n m t giá tr c thể khi ti n đ n từ bên trái:

… …

Ti p t c ti n g n đ n giá tr = :

… …

Đơy lƠ ví d c b n nhằm gi i thi u vi c nghiên c u gi i h n Nó có v khá ng ngẩn vì những

gì ta làm ch khác gì bài toán c p , nh ng l i r t quan tr ng vì nó thể hi n rằng hàm không t n

t i giá tr thực nào khi = , nh ng khi ta cho ngày càng d n t i thì giá tr hƠm cƠng đi v

m t giá tr thực (nh trong ví d trên là )

III GI I H N KHI TI N Đ N

Chúng ta ph i nh rằng chúng ta không thể chia cho s

Nh ng có m t vƠi đi u r t thú v và quan tr ng, đó lƠ gi i h n khi ti n đ n vƠ n i mƠ giá tr

gi i h n xu t hi n khi ta có mẫu s bằng

Ví d : Tìm gi i h n khi ti n đ n c a i

Tr l i ví d

Ta không thể thay s vào biểu th c vì i không xác đ nh

Không có ph ng pháp đ i s nƠo để tìm gi i h n nƠy, nh ng ta có thể tìm bằng cách cho ti n

g n đ n từ bên trái và ph i và có k t luận rằng:

l�m→ s�n =

M t cách để kiểm ch ng k t qu nƠy đó lƠ dựa vƠo đ th và ta th y rằng giá tr hàm s khi

g n đ n là

Có chỗ tr ng n i = trong đ th nh ng nó quá nh để chúng ta th y đ c

IV GI I H N KHI TI N Đ N VÔ C C

Ví d : Cho biểu th c , chuy n gì sẽ x y ra v i biểu th c khi ti n ra vô cực?

và c th )

Hoặc ta có thể sắp x p biểu th c và dùng công th c:

Chú ý rằng ta không thay ký hi u ∞ vào biểu th c � −

+�vì nó không có nghĩa trong toán h c Đừng vi t − ∞∞+ , đi u nƠy không đúng đơu nhé!

Ví d 6: Tìm gi i h n:

l�m→∞ −+

Tr l i ví d 6 Cách th s : Thay các giá tr l n d n vào biểu th c nh , r i , r i , ầ vƠ

ta nhận th y biểu th c ti n v −

Cách đ i s : Chia tử và mẫu cho r i l y gi i h n:

l�m→∞ −+ = l�m→∞ −

VI TÍNH LIÊN T C VÀ VI PHÂN

Trong ph n này ta sẽ l y vi phân c a đa th c, sau đó ta sẽ gi i quy t nhi u hƠm khó h n, có khi

ta không thể l y vi phơn đ c Ta c n ph i hiểu đi u ki n nƠo để m t hàm có thể l y vi phân

M t hàm s nh = − − + là hàm liên t c v i m i giá tr c a nên có thể l y

vi phân v i m i giá tr c a

Tuy nhiên, hàm s nh = − không xác đ nh t i = và =

Hàm không liên t c t i điểm đó, vì vậy ta không thể l y vi phân v i những giá tr nh vậy

VII HÀM S NHI U PH NG TRỊNH VẨ VI PHỂN

Hàm s nhi u ph ng trình l y đ c vi phân v i m i n u hàm s y liên t c v i m i

Ví d 7:

= {− ++ <

Hàm s này không liên t c t i = , nh ng vẫn t n t i giá tr t i = (c thể = ) Hàm

s này có vi phân v i m i trừ giá tr = vì hàm không liên t c t i điểm trên

Trong bài vi t này, tôi sẽ cho b n th y m t trong những v n đ có từ lơu, đó lƠ tìm đ d c ti p tuy n c a đ ng cong V n đ nƠy có tr c khi vi phơn ra đ i

Khi chúng ta mô hình hóa nhi u v n đ vật lý bằng cách sử d ng đ ng cong, ta ph i hiểu v

đ d c c a đ ng cong nhi u điểm khác nhau vƠ Ủ nghĩa c a đ d c trong những ng d ng

thực t

Hãy nh rằng: Ta đang c gắng tìm t c đ thay đ i c a 1 đ i l ng này so v i đ i l ng khác

Những ng d ng bao g m:

+ Nhi t đ thay đ i trong th i gian nh t đ nh

+ Vật t c c a 1 vật thể r i tự do trong kho ng th i gian nh t đ nh

+ Dòng đi n qua m ch trong th i gian nh t đ nh

+ Sự bi n thiên c a th tr ng ch ng khoán trong kho ng th i gian nh t đ nh

+ Sự gia tăng dơn s trong kho ng th i gian nh t đ nh

+ Nhi t đ gia tăng theo tỉ tr ng trong bình gas

Sau đó, ta sẽ khám phá ra t c đ thay đ i c a những đi u trên bằng cách l y vi phân hàm s và thay th giá tr thích h p vào Bây gi , ta bắt đ u tìm t c đ thay đ i m t cách g n đúng (có nghĩa lƠ ta thay s vƠo cho đ n khi ta tìm đ c giá tr x p xỉ phù h p)

Ta quan sát tr ng h p t ng quát và vi t ph ng trình phù h p bao g m ẩn (đ c lập) và giá

v i ;

Ta th y đơy lƠ giá tr x p xỉ phù h p v i đ d c ti p tuy n t i , nh ng ta có thể tìm đ c giá

vậy phân s c a có mẫu, đi u này là vô lý

Ta đư tìm đ c t c đ thay đ i c a theo là t i điểm =

Trong bƠi nƠy, chúng ta sẽ tính vi phơn c a m t hƠm bằng “nguyên lỦ c b n” T c lƠ chúng ta

sẽ bắt đ u từ m t m hỗn t p vƠ sau đó dùng đ i s để tìm công th c t ng quát cho đ d c

đ ng cong ng v i m i giá tr c a

“Nguyên lỦ c b n” có thể hiểu lƠ “công th c Δ “vì nhi u bài vi t sử d ng ký hi u Δ ( ng v i

sự thay đ i c a ) và Δ ( ng v i sự thay đ i c a ) Đi u nƠy vô tình lƠm cho đ i s thêm

ph c t p, nên chúng ta dùng ℎ thay th cho Δ , ta vẫn g i lƠ “công th c Δ”

Ta tìm ki m m t cách th c đ i s để tìm đ d c c a = t i theo cách thay s mƠ ta đư

xem trong bƠi “Độ dốc c a tiếp tuyến với đường cong (tính toán giá trị)”

Ta có thể tính x p xỉ giá tr này bằng cách l y 1 điểm nƠo đó g n ( ; ), gi sử nh ( + ℎ; + ℎ )

Giá tr ℎ lƠ giá tr x p xỉ c a đ d c ti p tuy n ta đư yêu c u

Ta có thể vi t đ d c nƠy lƠ:

=ΔΔ

N u ta di chuyển ngày càng g n t i , đ ng sẽ g n trùng v i ti p tuy n t i vƠ đ d c

c a g n bằng v i đ d c ta c n tìm

N u ta để trùng v i (t c ℎ = ) thì ta sẽ có chính xác đ d c ti p tuy n

Bơy gi ℎ có thể vi t thƠnh:

ℎ =

+ ℎ −ℎ

Đi u nƠy t ng đ ng v i đi u sau (n i tr c đó ta đư dùng ℎ thay cho Δ ):

= l�m

Δ →

ΔΔ

Chúng ta đư tìm ra biểu th c cho ta đ d c ti p tuy n b t kỳ n i nƠo c a đ ng cong

N u = thì đ d c lƠ − + = − (đ ng mƠu đ trong hình d i)

N u = thì đ d c lƠ + = (xanh lá cây)

a) Tìm ′ c a = +

b) Tìm đ d c ti p tuy n t i = và = −

c) Vẽ đ ng cong vƠ c ti p tuy n

Tr l i ví d a) Chú ý: ′t c “đ o hƠm bậc ”, có thể vi t thƠnh

Đ o hàm cho ta bi t t c đ thay đ i c a m t đ i l ng so v i đ i l ng khác vài v trí hay điểm riêng bi t (nên ta g i lƠ “t c đ thay đ i t c th i”) Khái ni m này có nhi u ng d ng trong đi n từ h c, đ ng lực h c, kinh t h c, tràn ch t l ng, kiểu mẫu dân s , lý thuy t sắp hàng

và còn nhi u nữa

B t c khi nào m t s l ng luôn thay đ i giá tr , ta đ u có thể dùng vi tích phân (vi phân và tích phơn) để mô t tr ng thái c a nó

Trong bài này, ta sẽ bàn luận v những sự vi c x y ra trong những kho ng th i gian r t nh , nên

ta sẽ dùng Δ thay vì Δ nh ta th y bƠi “Nguyên lý cơ bản để tính đạo hàm”

Chú ý: Bài vi t này là m t ph n c a bài vi t “Tổng quan về ngành vi tích phân” Ta sẽ nghiên

c u vài quy luật d h n nhi u trong cách tính vi phân trong bài vi t ti p theo “Đạo hàm đa

th c”

I V N T C

Nh ta đư bi t, vận t c chính lƠ th ng s giữa quưng đ ng và th i gian vật đi h t quãng

đ ng đó, nh ng đi u này chỉ đúng khi vận t c là hằng s c đ nh (hay vật chuyển đ ng đ u)

Ta c n m t công th c khác khi vận t c thay đ i theo th i gian

N u ta có biểu th c cho (quưng đ ng) theo (th i gian) thì vận t c b t kỳ th i điểm nh nƠo đ c tính b i:

đ ng v i đ d c ti p tuy n c a đ ng cong) không c đ nh Ban đ u, đ d c là (đ ng cong

nằm ngang), theo th i gian, vật thể tăng t c, đ d c đ ng cong tr nên d c h n (th ng đ ng

h n)

Bây gi vận t c đ c tính b i:

= l�m

ℎ→

+ ℎ −ℎNên ta có:

= l�m

ℎ→

+ ℎ −ℎ

+ Đ d c ti p tuy n c a đ ng cong b t kỳ điểm nào

+ Vận t c khi ta bi t biểu th c quưng đ ng là =

+ Gia t c khi ta bi t biểu th c vận t c là =

II CÂU H I Đ C GI

M t ng i đ c th ng hay h i:

“ụ nghĩa c a lƠ gì?”

Đơy lƠ cơu tr l i c a tôi:

M t cách đ n gi n, nghĩa lƠ “sự thay đ i c a so v i sự thay đ i c a giá tr chính xác

c a ”

Khái ni m trên đ c dùng khi đ i l ng ph thu c vào m t hằng s thay đ i Để d hiểu h n,

ta hãy l y nhi t đ môi tr ng làm ví d Gi sử b n đang Melbourne, Úc (n i có nhi t đ chênh l ch khắc nghi t), và ta mu n bi t bây gi nhi t đ gia tăng nhanh đ n m c nào

mùa đông, v đêm, nhi t đ thông th ng là ° , mùa hè ( tháng sau) v đêm, nhi t đ có

thể lên đ n ° T c đ thay đ i trung bình là:

−

= = ° t��ng⁄Đơy lƠ giá tr trung bình xa, không ph i

Nh ng bơy gi hưy nghĩ v m t ngày trong hè Lúc : sáng nhi t đ có thể là ° , và : chi u lên đ n ° , giá tr thay đ i trung bình là:

Trong bài “Nguyên lý cơ bản để tính đạo hàm”, ta th y cách ti p cận đ i s mà Newton và

Leibniz đư phát triển Bây gi ta có thể tìm giá tr dự đoán c a bằng các quy trình toán h c

dựa trên hàm s mà không c n ph i thay s trong m i v trí

bài vi t ti p theo ta sẽ th y nhi u quy luật d h n cho vi phơn Ta sẽ ít dùng “nguyên lỦ c

b n” nh ng sẽ r t là t t để nắm rõ vi phân xu t phát từ đơu vƠ nó giúp ích gì cho ta

Ta có thể tìm đ o hàm m t đa th c mà không c n dùng công th c Δ ta đư gặp trong bài

“Nguyên lý cơ bản để tính đạo hàm”

Isaac Newton vƠ Gottfried Leibniz đư thu đ c những quy luật d i đơy vƠo đ u th kỷ 18, h

đư theo cái “c b n” để ti n đ n vi phân, từ đó lƠm cho cu c s ng chúng ta tr nên thuận ti n

đ o hàm c a cái đ u tiên c ng v i đ o hàm c a cái th hai

Nh ng đi u này sẽ không còn đúng v i đ o hàm tích s mà ta

− = − ∙ = −Chú ý: Ta có thể lƠm b c sau:

Vậy ph ng trình c n tìm là:

= − + Hay vi t d i d ng t ng quát:

=Và:

Ta đư vi t là hàm s theo , vƠ t ng tự là hàm s theo

Đơy lƠ khái ni m quan tr ng trong vi phơn Những ph ng trình ta gặp đ n bơy gi sẽ lƠ

ph ng trình trong ph ng trình vƠ ta c n ph i nhận di n chúng để có thể tính vi phơn m t cách chính xác

II QUY T C XệCH

Để tìm đ o hƠm hƠm h p, ta c n sử d ng quy tắc xích:

=

Đi u nƠy có nghĩa ta c n ph i:

(i) Nhận di n (luôn luôn ch n biểu th c nằm trong cùng, th ng nằm trong ngoặc hay d i

d u căn)

(ii) Sau đó ta c n ghi l i biểu th c theo

(iii) Đ o hàm (theo ) sau đó ta biểu di n l i m i th theo

Ta nhận th y rằng:

+ là hàm s theo

Theo quy tắc xích, đ u tiên ta c n tìm và

=Vậy: