CLB Vật Lý Và Tuổi Trẻ (P&Y Club – Http //vatlytuoitre com) I Động học chất điểm Động học là một bộ phận của cơ học nghiên cứu chuyển động theo quan điểm hình học, không xét đến các nguyên nhân gây ra[.]
Trang 1
I.Động học chất điểm
Động học là một bộ phận của cơ học nghiên cứu chuyển động theo quan điểm hình học, không xét đến các nguyên nhân gây ra chuyển động của nó
*Phương trình của 1 chất điểm trong hệ toạ độ 0xy có các vector đơn vị là ,i ,jk
Vị trí chất điểm là : r=x*i+y*j+z*k
Vận tốc chất điểm là : *k
t
z j
* t
y i
* t
x t
r v
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂
=
Gia tốc chất điểm là : *k
t
z j
* t
y i
* t
x t
v
2 2
2 2
2
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂
*Phương trình của 1 chất điểm trong chuyển động theo quỹ đạo cong có các vector đơn vị là
Khi đó vận tốc luôn luôn tiếp tuyến với quỹ đạo
Ta có
t
r lim v
0
Δ
=
→ Δ
*n
R
v
* dt
dv a
a t
v lim a
2 n
t 0
Δ
Δ
=
→ Δ
Xét các trường hợp cụ thể :
*Chuyển động theo thẳng
_ Chuyển động thẳng đều
Phương trình đường đi : s =v*t
Phương trình toạ độ : x = x0+v*(t− t0)
Công thức cộng vận tốc : v13 =v12 +v23
Do đó :v12 −v23 ≤v13 ≤ v12 −v23
Hai chuyển động có phương vuông góc : v v v2
23
2 12
Hai chuyển động cùng phương cùng chiều : v13 =v12 +v23
Hai chuyển động cùng phương ngược chiều : v13 = v13 −v23
_Chuyển động thẳng biến đổi đều
Gia tốc '
t
v dt dv
a = = = const
Trang 2Công thức vận tốc : vt = v0 +a*t
Phương trình đường đi : *a*t
2
1 t
* v
=
Phương trình toạ độ : ( ) *a*(t t )
2
1 t t
* v x
0 0
0
=
*Chuyển động theo đường tròn
_Chuyển động tròn đều
Vận tốc góc
t
ϕ
=
ω hay
T
*
=
ω Trong đó ϕ : Góc quay
T : là chu kì quay
Vận tốc dài là :
T
R
*
* 2 R
*
Đường đi : S=v*t=ϕ*R =ω*R* t
Gia tốc dài là : *R
R
v a
; 0
2 n
_Chuyển động tròn biến đổi đều
Gia tốc góc :
t
ω
=
γ =const
Phương trình vận tốc góc là : ω=γ*t+ω0
Pgương trình góc là : * *t
2
1 t
0
ϕ
= ϕ
Gia tốc dài : * *R*
dt
dv
at = τ=γ τ
*n
R
v a
2
n =
2 Động lực học chất điểm
* Ba định luật Niwton
Nền tảng của cơ học cổ điển là ba định luật là ba định luật Niwton.Như chúng ta đã biết,nó không hoàn toàn chính xác nhưng có thể coi là đó là một cách gần đúng khá tốt và được áp dụng rộng rãi cho các vật chúng ta quan sát hằng ngày
Nội dung ba định luật đó là :
_Định luật thứ 1(định luật quán tính) Mọi vật sẽ đứng yên hay chuyển động thẳng đều nếu các lực tác dụng vào nó cân bằng nhau
_Định luật thứ 2
m
F
a = hay dạng tổng quát hơn
dt
p d
F=
Trang 3_Định luật thứ 3:Lực và phản lực có cùng độ lớn nhưng ngựoc chiều F12 =−F21.
*Một số lực thông thường trong cơ học:
_Lực hấp dẫn : có biểu thức *r
r
m
* m
* G
hd =
Trong đó G là hằng số hấp dẫn và có giá trị
Kg
Nm 10
* 67 , 6
_Lực đàn hồi:
Định luật Húc: F=−kx
_Lực ma sát
Lực ma sát trượt Fmst =μ*N
Lực ma sát nghỉ Fmsn ≤Fmst =μ*N
trong đó N là phản lực tác dụng lên vật
Một đặc tính quan trọng là lực ma sát luôn ngược chiều chuyển động
_Lực cản của môi trường
Trường hợp vận tốc nhỏ : Fc =−k*S*v
Trường hợp vận tốc lớn : Fc =−k*S*v*v
Trong đó k là hằng số tỉ lệ
S là tiết diện đều
_Lực quán tính: Đây không phải là một lực có thực trong tự nhiên , do đó nó không tuân theo định lụât ba của Niwton Lực quán tính được thêm vào phương trình định luật 2 của Niwton khi vật chuyển động trong hệ quy chiếu phi quán tính
Trong chuyển động thẳng thì lực quán tính là Fqt =−m*a
Trong chuyển động cong thì có các lực quán tính
Lực quán tính li tâm F m* 2 *r
Lực Corriolis F 2*m*[ ],v'
Trong đó v'là vận tốc trong hệ quy chiếu phi quán tính
ω là vận tốc góc của hệ quy chiếu phi quán tính
Khi đó , định luật 2 của Niwton áp dụng cho vật ở trong hệ quy chiếu quay là ;
m*a =F+Fc +Flt
3 Hệ chất điểm
Hệ chất điểm là tập hợp của nhiều chất điểm
Trang 4Khi nghiên cứu về chất điểm thì có một điểm đặc biệt rất quan trọng,nó giúp ta nghiên cứu hệ chất điểm một cách đơn giản hơn nhiều , đó là khối tâm của hệ chất điểm(cũng chính là vị tri tâm quán tính và trọng tâm của hệ chất điểm)
Công thức tính trọng tâm là :
M
r
*
m r
n 1
c
∑
=
= trong đó M là khối lượng của của hệ M n m
1
∑
=
= Trong không gian ba chiều ta có :
M
x
*
m
x
n
1
c
∑
=
M
y
*
m y
n 1
c
∑
=
M
z
*
m z
n 1
c
∑
=
=
Nếu khối lượng liên tục và đồng đều thì ta có
V
dv
* r M
dm
* r
Khi đó ta có phương trình chuyển động của khối tâm là:
M*a Fn
c =
Trong đó Fn là tổng của các ngoại lực tác dụng vào hệ hạt
II.Các định luật bảo toàn
Trong vật lý nói riêng và trong các ngành khoa học khác nói chung , các định luật bảo toàn đóng một vai trò quan trọng Khi xét một hệ kín, các tính chất đặ điểm của tùng phần tử thay đổi nhưng tổng thể thì sẽ có một số đặc trưng không đổi Trong cơ cổ điển , có ba định luật bảo toàn là :Định luật bảo toàn xung lượng , định luật bảo toàn năng lượng , định luật bảo toàn momen động lượng, nó nền tảng để giải quyết nhiều bài toán
1 Định luật bảo toàn xung lượng(động lượng)
Động lượng của một vật là p=m*v
Động lượng của hệ vật là : P n m *v
1
∑
=
= Trong một hệ kín thì xung lượng của hệ là không đổi theo thời gian
Biểu thức : n m v const
i
=
∑
=
Nếu các lực tác dụng vuông góc với một phương nào đó thì ta có định luật bảo toàn theo một phương là : ∑ =const
=
n 1
v
* m
2 Định luật bảo toàn năng lượng
Nội dung : Trong hệ kín có sự chuyển hoá năng lượng từ dạng này sang dạng khác nhưng năng lượng tổng cộng được bảo toàn
Trang 5Đây là một nguyên lí tổng quát của tự nhiên Tuy nhiên trong cơ học chúng ta hay dung định luật bảo toàn cơ năng cho hệ kín khi không có sự chuyển hoá cơ năng thành dạng năng lượng khác
Biểu thức :Ecn1 =Ecn2
Trong thế năng trọng trọng trường ta có (trường hợp một vật)
mv
2
1 mgh mv
2
1
2 2
2 1
3 Định luật biến thiên và bảo toàn momen động lượng
Momen lực của chất điểm đối với điểm O là : m0 =[ ]r,F
Momen ngoại lực của hệ chất điểm đối với điểm O là : ∑ [ ]
−
= n
1
n
M Momen động lượng của chất điểm đối với điểm O : lo r,mv
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
Momen động lượng của hệ chất điểm đối với điểm O : ∑ [ ]
=
= n
1
L Định lý biến thiên momen động lượng đối với 1 chất điểm
_Với một chất điểm : m
dt
l d
o
_Với hệ chất điểm : M
dt
L
o
o =
Khi Fn =0thi ta có định luật bảo toàn momen động lượng Lo =const
III.Vật rắn
Vật rắn là một hệ chất điểm đặc biệt , trong đó vị trí tương đối giũa các chất điểm không thay đổi trong qua trình chuyển động.Trứơc khi nghiên cứu chuyển động của vật rắn , chúng ta hãy xem xét một đại lượng quan trọng là momen quán tính
1 Momen quán tính
Momen quán tính là một đại lượng đặc trưng cho mức độ quán tính của vật đối với chuyển động quay Nó đóng vai trò và tích chất tương tự như khối lượng trong chuyển động của chất điểm
Momen quán tính của hệ chất điểm đối với trục quay cố định được tính theo công thức: I n m r
1 i
2 i i
∑
=
Nếu khối lượng của vật rắn là liên tục thì ta có : I r dm
M
2 i
o = ∫ ⊥
Trong đó là khoảng cách tư chất điểm tới trục quay ri⊥
Một số momen quán tính của vật có hình dạng đơn giản với trục quay là trục đối xứng qua tâm là :
Trang 6_Hình vành, nhẫn hay trụ rỗng : I m*R2.
0 =
_Hình đĩa hay hình trụ đặc : m*R
2
1
o =
_Hình cầu rỗng : m*R
3
2
o =
_Hình cầu đặc : m*R
5
2
o =
_Thanh dài có trục quay đi qua trung điểm và vuông góc với thanh m*L
12
1
o =
Định lý Huyghen-Stainer : I I Md2
o +
=
Δ
Trong đó : O là trục quay đi qua khối tâm
Δ là trục quay cùng phương với trục qua O
d la khoảng cách giữa hai trục
Bằng cách chia nhỏ vật đang xét , sử dụng tính chất cộng được và định lý Huyghen-stainer ta có thể tính được momen quá tính của nhiều vật đối với một trục bất kỳ
2 Chuyển động của vật rắn
Chuyển động của vật rắn được coi là kết quả chuyển động của chuyển động tịnh tiến kết hợp với chúyển động quay xung quanh một trục cố định Thông thường ta xét chuyển động tịnh tiến của khối tâm và chuyển động quay quanh khối tâm
Phương trình chuyển động quay của vật rắn đối với một trục quay cố định là :
I * Mn
o
Ta thấy phương trình này có dạng giống với phương trình định luật 2 của
Niwton.Trong đó là gia tốc góc của vật rắn, là momen quán tính của vật rắn đối với trục cố định ,
n o
M là momen của ngoại lực tác dụng vào vật đối với trục quay trên
3.Điền kiện cân bằng của vật rắn
Vật rắn cân bằng khi và chỉ khi nó thoả mãn hệ điều kiện sau:
F 0 n F 0
1 i
n i
=
M 0 n M 0
1 i
n i
=
Tức là tổng các ngoại lực và tổng các momen ngoại lực đối với một điểm bất kì ,tác dụng vào vật bằng không
IV Một số dạng chuyển động quan trọng
1.Dao động
* Dao động điều hoà
Phương trình vi phân của dao động điều hoà : X// +ω2 *X=0
Phương trình có nghiệm là : X=Xocos(ωot+ϕ)
Trang 7Đối với con lắc lo xo : x 0.
m
k
x// + = với
m
k
2
ω
Đối với con lắc toán học : 0
l
g
l
g
2
0 = ω
Đối với con lắc vật lý : 0
I
mga
I
mga
2
0 = ω
Đối với mạch điện LC : q 0
LC
1
q// + = với
LC
1
2
o = ω
Có hai phương pháp chính để chứng minh dao động điều hoà là phưong phápđộng lực học và phương pháp năng lượng.Muốn chứng minh dao động điều hòa thì chúng ta phải biến đổi ra được phương trình vi phân cấp hai trên, trong đó biến X ở đây là một đại lượng nào đó liên quan điến chuyển động của vật
* Dao động tắt dần
Phương trình dao động của vật chịu lực cản của môi trường tỉ lệ với vận tốc là :
X 2 X 2X 0
o /
Trong đó β là hệ số tắt dần
ωo là tần số dao động riêng của hệ khi không có lực cản
_Nếu β〈ω0 thì vật dao động tắt dần theo phương trình
X=Ae β tsin(ωt+ϕ)
Trong đó : 2 2
0 −β ω
= ω _Nếu β≥ω0 thì không có dao động tắt dần ,vật chuyển động ngay vê vị trí cân bằng 2.Bài toán hai hạt
Trong vật lý, ngững bài toán có lời giả chính xác là bài toán một hạt và hai hạt
Ở đây ta xét bài toán 2 hạt tương tác với nhau bằng một lực tỷ lệ với
r
1
2
Bằng các tính toán ta có :
2
2 2
2 1
2 2
L 2
m m G ) e 1 (
−
−
=
Từ đó có :
m m G
EL 2 1
2
2 1 2
2
μ +
Trong đó
2 1
2 1
m m
m m +
=
μ là khối lượng rút gọn của hệ hai hạt
L=μr2ω=const là momen động lượng của hệ
e là tâm sai của quỹ đạo
ta có nhận xét sau:
Trang 8*nếu E〈0⇔0〈e〈1 thì quỹ đạo là đường elip
*Nếu thì quỹ đạo là đường prabol E=0⇔e=1
*Nếu E〉0⇔e〉1 thì quỹ đạo là đường hypebol
Hệ quả trực tiếp của bài toán hai hạt là ba định lwtj Kepler về chuyển động của hành tinh quay xung quanh mặt trời Trong đó một hạt là mặt trời có khối lượng rất lớn so với hạt con lại(hạt còn lại là hành tinh)
*Định luật 1 : tất cả các hành tinh đều chuyển động theo các hình elip,một trong các tiêu điểm của chúng là mặt trời
*Định luật 2 : Bán kính vector vạch từ mặt trời tới các hành tinh quét những diện tích bằng nhau trong những thời gian bằng nhau
*Định luật 3 : Bình phương thời gian quay của các hành tinh tỷ lệ với nhau như các lập phương những bán trục lớn của các elip do các hành tinh vẽ ra
Ta có thể tính được tỷ lệ đó ;
GM
4 ) m M ( G
4 a
3
+
π
= 3.Bài toán va chạm
Khi hai vật rắn va chạm với nhau thì chỉ có vận tốc tương đối giữa hai vật mới giữ vai trò quan trọng.Do thời gian va chạm ngắn nên ta có thể áp dụng định luật bảo toàn xung lượng cho hệ, còn định luật bảo toàn cơ năng chỉ áp dụng cho trường hợp va chạm tuyệt đối đàn hồi
Xét trường hợp va chạm xuyên tâm của hai vật, người ta đưa ra khái niệm hệ số va chạm là k: v v k(v v/)
2
/ 1 2
* k=0 ứng với trường hợp va chạm mềm
* k=1 ứng với trường hợp va chạm hoàn toàn đàn hồi
* 0〈k〈1 ứng với trường hợp tổng quát