đ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng đ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng N¨m häc 2011 2012 C©uI (1,5 ®iÓm) a/ Kh«ng dïng b¶ng sè hay m¸y tÝnh, h y so s¸nh vµ b/ Cho H y tÝnh C©uII (2,5 ®iÓm) a/ Rót[.]
Trang 1đđề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng
Năm học 2011-2012
CâuI: (1,5 điểm)
a/ Không dùng bảng số hay máy tính, hãy so sánh: và
Hãy tính:
CâuII: (2,5 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức sau:
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
với
CâuIII: (1,5 điểm)
Giải phơng trình sau:
CâuIV: (1,5 điểm)
Cho ba số dơng a, b, c
CMR:
CâuV: (3,0 điểm)
Cho ABC; P là điểm nằm trong tam giác sao cho
Vẽ PM và PN lần lợt vuông góc với AB và AC Gọi D là trung điểm của BC
Chứng minh rằng:
a/ MP.NC = MB.NP
b/ DM=DN
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 2§¸p ¸n, thang ®iÓm
C©u I: (1,5 ®iÓm)
a/ (1,0 ®iÓm)
so s¸nh: vµ Ta cã: ( ) 2 = = (0,25 ®iÓm)
b/ (0,5 ®iÓm)
Tacã:
(0,5 ®iÓm)
C©u II: (2,5 ®iÓm)
a/ (1,25 ®iÓm)
Rót gän biÓu thøc:
(0,25 ®iÓm)
(0,25 ®iÓm)
(0,5 ®iÓm)
(0,25 ®iÓm)
b/ (1,25 ®iÓm)
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
víi
Trang 3Đặt a -1 = x (x > 0); b -1 = y (y > 0) (0,25
điểm)
khi đó ta có: a = x + 1 và b = y + 1
M đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi: đạt giá trị nhỏ nhất
áp dụng bất đẳng thức cô si cho bộ 2 số dơng x, và y, ta có;
Suy ra maxM = 8. (0,5 điểm)
CâuIII: (1,5 điểm)
Đặt:
Khi đó (1) tơng đơng với:
(2) (0,5 điểm)
(0,25 điểm)
Do các hạng tử ở vế trái đều không âm nên:
Trang 4K I
D
N M
B
C
A
P
điểm)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là:
( x; y; z) = ( 2014; 2015; 2016)
CâuIV: (1,5 điểm)
Cho ba số dơng a, b, c
CMR:
Vì a, b, c là các số dơng nên:
áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số và
(0,25 điểm)
Cộng vế theo vế của các bất đảng thức trên ta đợc:
CâuV: (3,0 điểm)
a/ (1,0 điểm)
Chứng minh đợc hai tam giác BMP và CNP đồng dạng với nhau theo trờng hợp góc- góc rồi suy ra tỉ số đồng dạng
b/ (2,0 điểm)
Gọi I và K lần lơt lần lợt là
Trung điểm của PB và PC
MI=IB=IP ( Đờng trung tuyến
Trang 5ỉng với cạnh huyền) ( 0,25 điểm)
Ta có DB=DC (gt)
DK là đờng trung bình của
BPC DK=IP=IB=MI (1) ( 0,25 điểm)
Ta có: NK=KP=KC ( Đờng trung
Tuyến ứng với cạnh huyền)
Ta có ID là đờng trung bình của
BPC nên ID=KP=KC=NK (2) ( 0,25 điểm)
Do MIB cân tại I (có IM=IB)
Nên IMB=IBM
Ta có: MIP=IMB+IBM ( Góc ngoài của tam giác)
Chứng minh tơng tự: NKP=2NCK
Ta có Tứ giác IPKD là hình bình hành ( có 1cặp cạnh song song và bằng nhau)
Nên PID = PKD
MIP+ PID=NKP+PKD hay MID = NKD (3) ( 0,25 điểm)
Từ (1); (2) và (3) suy ra: MID = DKN (c.g.c) ( 0,25
điểm)