Nguyễn Nam 11CT THPT chuyên Nguyễn Du SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2021 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi TOÁN Thời gian làm bài 120 phút, không kể[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐĂK LĂK KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2021-2022
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (1,5 điểm)
1) Giải phương trình: 2𝑥2+ 5𝑥 − 3 = 0
2) Cho hàm số 𝑦 = (𝑚 − 1)𝑥 + 2021 Tìm tất cả giá trị của tham số 𝑚 để hàm số đồng biến trên ℝ 3) Cho 𝑎 = 1 + √2 và 𝑏 = 1 − √2 Tính giá trị của biểu thức 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑏
Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức:
𝑃 = 2√𝑥 − 9
𝑥 − 5√𝑥 + 6−
√𝑥 + 3
√𝑥 − 2+
2√𝑥 + 1
√𝑥 − 3 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 4, 𝑥 ≠ 9
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tìm tất cả giá trị của 𝑥 để 𝑃 > 1
Câu 3 (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm 𝐴(1; −2) và song song với đường thẳng 𝑦 = 2𝑥 − 1
2) Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho Parapol (𝑃): 𝑦 = 𝑥2 và đường thẳng (𝑑): 𝑦 = 2(𝑚 − 1)𝑥 − 𝑚 + 3 Gọi 𝑥1, 𝑥2 lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng (𝑑) và Parapol (P) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝑀 = 𝑥1 + 𝑥2
Câu 4 (3,5 điểm) Trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB với 𝐴𝐵 = 2022, lấy điểm C (C khác A và B),
từ C kẻ CH vuông góc AB (𝐻 ∈ 𝐴𝐵) Gọi D là điểm bất kì trên đoạn CH (D khác C và H), đường thẳng AD cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai E
1) Chứng minh tứ giác BHDE là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh: 𝐴𝐷 𝐸𝐶 = 𝐶𝐷 𝐴𝐶
3) Chứng minh: 𝐴𝐷 𝐴𝐸 + 𝐵𝐻 𝐵𝐴 = 20222
4) Khi điểm C di động trên nửa đường tròn (C khác A,B và điểm chính giữa cung AB), xác định vị trí điểm C sao cho chu vi tam giác COH đạt giá trị lớn nhất
Câu 5 (1,0 điểm) Cho 𝑎 ≥ 1348, 𝑏 ≥ 1348 Chứng minh rằng: 𝑎2+ 𝑏2+ 𝑎𝑏 ≥ 2022(𝑎 + 𝑏)
-Hết -
Trang 2ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Câu 1 (1,5 điểm)
1) Xét phương trình 2𝑥2+ 5𝑥 − 3 = 0
Ta có ∆= 52− 4.2 (−3) = 49 > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm:
𝑥1=−5 + √49
1
2; 𝑥2=
−5 − √49 2.2 = −3 Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là 𝑆 = {−3:1
2}
2) Hàm số 𝑦 = (𝑚 − 1)𝑥 + 2021 đồng biến trên ℝ khi và chi khi 𝑚 − 1 > 0 hay là 𝑚 > 1
Kết luận: 𝑚 > 1
3) Ta có: 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 = (1 + √2) + (1 − √2) − 2(1 + √2) (1 − √2)
= 2 − 2 (1 − 2) = 4
Vậy: P=4
Câu 2 (2,0 điểm)
1) 𝑉ớ𝑖 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 4, 𝑥 ≠ 9 thì biểu thức P xác dịnh và ta biến đổi P như sau:
𝑃 = 2√𝑥 − 9
𝑥 − 5√𝑥 + 6−
√𝑥 + 3
√𝑥 − 2+
2√𝑥 + 1
√𝑥 − 3 =
2√𝑥 − 9 (√𝑥 − 2)(√𝑥 − 3)−
(√𝑥 + 3)(√𝑥 − 3) (√𝑥 − 2)(√𝑥 − 3)+
(2√𝑥 + 1)(√𝑥 − 2) (√𝑥 − 2)(√𝑥 − 3)
=2√𝑥 − 9 − (√𝑥 + 3)(√𝑥 − 3) + (2√𝑥 + 1)(√𝑥 − 2)
2√𝑥 − 9 − (𝑥 − 9) + (2𝑥 − 3√𝑥 − 2)
(√𝑥 − 2)(√𝑥 − 3)
= 𝑥 − √𝑥 − 2
(√𝑥 − 2)(√𝑥 − 3)=
(√𝑥 + 1)(√𝑥 − 2) (√𝑥 − 2)(√𝑥 − 3)=
√𝑥 + 1
√𝑥 − 3 2) 𝑉ớ𝑖 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 4, 𝑥 ≠ 9 thì
𝑃 > 1 ⇔ 𝑃 − 1 > 0 ⇔√𝑥 + 1
√𝑥 − 3− 1 > 0 ⇔
4
√𝑥 − 3> 0 ⇔ √𝑥 − 3 ⇔ 𝑥 ≥ 9 Kết hợp với điều kiện 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 4, 𝑥 ≠ 9 ta được 𝑥 > 9 là tất cả giá trị 𝑥 cần tìm
Câu 3 (2,0 điểm)
1) Vì đường thẳng (Δ) song song với đường thẳng 𝑦 = 2𝑥 − 1 nên phương trình đường thẳng (Δ) có dạng
(Δ): 𝑦 = 2𝑥 + 𝑎 với a là hằng số Vì điểm 𝐴(1; −2) thuộc đường thẳng điểm (Δ) nên −2 = 2.1 + 𝑎 hay
𝑎 = −4
Vậy: Phường trình đường thẳng (Δ): 𝑦 = 2𝑥 − 4
2) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
𝑥2− 2(𝑚 − 1)𝑥 + 𝑚 − 3 = 0 (∗)
Vì 𝑥1, 𝑥2 là hoành độ giao điểm của (P) và (d) nên 𝑥1, 𝑥2 là nghiệm của phương trình (*) Do đó
Trang 3Δ′∗= (𝑚 − 1)2− (𝑚 − 3) ≥ 0 ⇔ (𝑚 −3
2) +
7
4≥ 0 (𝐿𝑢ô𝑛 đú𝑛𝑔) Theo hệ thức Viet ta có: {𝑥1+ 𝑥2= 2(𝑚 − 1)
𝑥1𝑥2= 𝑚 − 3 Khi đó:
𝑀 = 𝑥1+ 𝑥2 = (𝑥1+ 𝑥2)2− 2𝑥1 𝑥2= 4(𝑚 − 1)2− 2 (𝑚 − 3) = (4𝑚 − 5)2+15
4 ≥
15 4 Dấu “=” xảy ra khi và chi khi 𝑚 =54
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 15
4 khi 𝑚 =5
4
Câu 4 (3,5 điểm)
1) Xét tứ giác BHDE có: ∡𝐷𝐻𝐴 = 90𝑜 (𝑔𝑡) ; ∡𝐷𝐸𝐵 = 90𝑜 (𝑔ó𝑐 𝑛ộ𝑖 𝑡𝑖ế𝑝 𝑐ℎắ𝑛 𝑛ử𝑎 đườ𝑛𝑔 𝑡𝑟ò𝑛)
nên ∡𝐷𝐻𝐴 = ∡𝐷𝐸𝐵 do đó tứ giác BHDE nội tiếp
2) Xét hai tam giác ∆𝐴𝐷𝐶 𝑣à ∆𝐴𝐶𝐸 có: ∡𝐶𝐴𝐷 𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔; ∡𝐴𝐶𝐷 = 90𝑜− ∡𝐶𝐴𝐻 = ∡𝐶𝐸𝐴
Nên ∆𝐴𝐷𝐶 ~ ∆𝐴𝐶𝐸 (𝑔 𝑔) do đó 𝐴𝐷
𝐷𝐶=𝐴𝐶
𝐶𝐸 hay AD.EC= CD AC 3) HD: Dựa vào ý (1) để chứng minh ∆𝐴𝐷𝐻 ~ ∆𝐴𝐵𝐸 (𝑔 𝑔) khi đó:
𝐴𝐷 𝐴𝐸 + 𝐵𝐻 𝐵𝐴 = 𝐴𝐵 𝐴𝐸 + 𝐴𝐵 𝐵𝐻 = 𝐴𝐵2= 20222
4) Tam giác CHO vuông tại H nên theo định lí Pytago ta có:
𝑂𝐶2= 𝑂𝐻2+ 𝐻𝐶2=1
2(𝑂𝐻 + 𝐻𝐶)
2+1
2(𝑂𝐻 − 𝐻𝐶)
2≥1
2(𝑂𝐻 + 𝐻𝐶)
2
Hay là 𝑂𝐻 + 𝐻𝐶 ≤ 𝑂𝐶√2 nên 𝐶𝑣𝐶𝐻𝑂 = 𝑂𝐶 + 𝑂𝐻 + 𝐻𝐶 ≤ (1 + √2)𝑂𝐶 = (1 + √2) 1011 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi điểm C nằm trên nửa đường tròn O sao cho ∡𝐴𝐶𝐷 = 45𝑜
Câu 5 (1,0 điểm)
Để ý rằng
(𝑎2+ 𝑎𝑏 + 𝑏2) −3
4(𝑎 + 𝑏)
2=1
4(𝑎 − 𝑏)
2≥ 0 ∀𝑎, 𝑏 ≥ 1348
Nên ta có
E
A
C
D
Trang 4(𝑎2+ 𝑎𝑏 + 𝑏2) ≥3
4(𝑎 + 𝑏)
2≥3
4 (1348 + 1348) (𝑎 + 𝑏) ∀𝑎, 𝑏 ≥ 1348 Hay là
𝑎2+ 𝑎𝑏 + 𝑏2≥ 2022(𝑎 + 𝑏) ∀𝑎, 𝑏 ≥ 1348 Vậy, bất đẳng thức được chứng minh xong