A Saùng kieán kinh nghieäm A ĐẶT VẤN ĐỀ Như ta đã biết, mục tiêu giáo dục và đào tạo là “nâng cao mặt bằng dân trí, đảm bảo những tri thức cần thiết để mọi người gia nhập cuộc sống xã hội và kinh tế,[.]
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ:
Như ta đã biết, mục tiêu giáo dục và đào tạo là “nâng cao mặt bằng dân
trí, đảm bảo những tri thức cần thiết để mọi người gia nhập cuộc sống xã hội và
kinh tế, theo kịp tiến trình đổi mới của đất nước, đào tạo bồi dưỡng và nâng cao
chất lượng nguồn nhân lực để đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá, hiện đại hoá
đất nước”
Môn toán với vị trí là môn học có tiềm năng phát triển trí tuệ và hình
thành các phẩm chất trí tuệ “linh hoạt, độc lập, sáng tạo” Hoạt động học toán
góp phần phát triển đạo đức và nhân cách cho học sinh như: say mê và có hoài
bão trong học tập, mong muốn góp phần mình cho sự nghiệp chung của đất
nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự
tin, khiêm tốn… Ngoài ra môn toán cũng là môn công cụ để giúp học sinh học
tốt các môn học khác
Trong chương trình Đại số 8, dạng toán “phân tích đa thức thành nhân
tử” là nội dung rất quan trọng Việc áp dụng dạng toán này rất phong phú, đa
dạng cho việc học sau này như: rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều
phan thức, giải phương trình…
Qua thực tế giảng dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử thì tôi nhận thấy rằng: Đa số học sinh làm sai do chưa nắm vững phương
pháp giải, chưa vận dụng kỹ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo cho
từng bài toán cụ thể Đây cũng là vấn đề băn khoăn của rất nhiều giáo viên dạy
toán 8 Nhằm đáp ứng nhu cầu này và tháo gỡ những vướng mắc trong học tập
của học sinh Từ đó đã thúc đẩy tôi suy nghĩ chọn đề tài : “Một số sai lầm học
sinh thường mắc phải khi phân tích đa thức thành nhân tử và biện pháp
khắc phục”
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
Trang 2Năm học 2008 – 2009 được sự phân công của Ban giám hiệu tôi đảm
nhận giảng dạy môn toán 8 Sau khi tôi dạy xong các “phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử” tôi cho học sinh làm bài kiểm tra (nội dung phần tự luận
như sau):
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
b) (x + y)2 – 9 x2
c) x2y – xy2 – 5x + 5y
d) x4 – 9x3 + x2 – 9x
Qua việc chấm bài và chữa bài cho học sinh, tôi thống kê điểm làm bài
kiểm tra của học sinh ở bài tự luận như sau:
Chất lượng làm bài (tự luận) Tỉ lệ (%)
Trước kết quả thu được của lần kiểm tra ny tôi thấy rằng nhiều học sinh
thường mắc sai lầm trong cách giải Vì vậy mà tôi luôn trăn trở, luôn đạt ra
những câu hỏi: Tại sao học sinh thường mắc phải sai lầm trong lời giải?
Nguyên nhân là do đâu? Làm thế nào để học sinh không mắc phải sai lầm trong
lời giải? … Rất nhiều vấn đề đặt ra cho bản thân tôi và những câu hỏi không ai
trả lời này trong suốt quá trình giảng dạy tôi đã tìm ra sai lầm học sinh mắc
phải trong giải tóan “phân tích đa thức thành nhân tử” và biện pháp khắc phục
Cụ thể như sau:
2 Giải quyết vấn đề:
2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân
tử chung:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức: 5x3y + 15x2y – 10xy2 thành nhân tử:
Học sinh phân tích thiếu sót như sau:
Để khắc phục thiếu sót trên trong giảng dạy giáo viên cần nhấn mạnh
cho học sinh cách tìm nhân tử chung như sau:
Nhân tử chung của tất cả các hạng tử trong một đa thức là “một tích”
được chọn như sau:
-Nhân tử chung bằng “hệ số” là ước chung lớn nhất (ƯCLN) của các
hệ số nguyên dương của các hạng tử
-Nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất)
Giáo viên gợi ý học sinh làm ví dụ 1 cụ thể như sau:
Trang 3-Tìm nhân tử chung của các hệ số 5, 15,10 trong các hạng tử trên là?
-Học sinh: ƯCLN (5,15,10) = 5
Học sinh: xy.
Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức là 5xy
Lời giải đúng (ví dụ 1):
5x3y + 15x2y – 10xy2 = 5xy x2 + 5xy 3x – 5xy 2y
= 5xy (x2 + 3x – 2y)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 12(x – y) – 6x (y – x) thành nhân tử.
Học sinh tìm nhân tử chung của các hệ số 12 và 6 là 6, vì:
ƯCLN (12,6) = 6
Đến tìm nhân tử chung của (x – y) và x(y – x) thì nhiều học sinh lúng
túng không biết chọn như thế nào Bên cạnh đó một số học sinh nghĩ rằng:
“(x – y) và (y – x) là như nhau” nên đã phân tích đa thức trên như sau:
12(x – y) – 6x (y – x)
Để sửa sai cho học sinh, giáo viên cần nhấn mạnh rằng: x – y ≠ y – x
(phép trừ không có tính giao hóan)
Vậy để xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử theo tính
chất: A = - (-A)
Do đó trong giảng dạy giáo viên cần hướng dẫn học sinh áp dụng tính
chất trên để làm ví dụ 2 theo hai cách:
Cách 1: Đổi dấu x – y để xuất hiện nhân tử chung của biến là y – x:
Ta có: (x – y) = - [-(x – y)] = -( -x + y) = -(y – x)
Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức là: 6(y – x)
Giải:
12(x – y) – 6x (y – x)
= 12[-(y – x)] – 6x(y – x)
=-12(y – x) – 6x(y – x)
=-6(y – x).2 – 6(y – x).x
= -6(y – x)(2 + x)
Cách 2: Đổi dấu y – x để xuất hiện nhân tử chung của biến là x – y
Ta có: (y – x) = -[-(y – x)] = -(-y + x) = -(x - y)
Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức là: 6(x – y)
Giải:
12(x – y) – 6x (y – x)
= 12(x – y)- 6x[-(x - y)]
= 12(x – y) + 6x(x – y)
Trang 4= 6(x – y).2 + 6(x – y).x
=6(x – y)(2 + x)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức 3x(x – y) – 5(y – x)2 thành nhân tử
Học sinh thường giảisai lầm như sau:
= (x – y)[3x + 5(x – y)]
=(x – y)(3x + 5x – 5y)
Để khắc phục sai lầm trên của học sinh, giáo viên cần nhắc lại kiến
thức cơ bản sau cho học sinh khắc sâu:
= A2 – 2AB + B2
Nên ở ví dụ 3 thì nhấn mạnh rằng: (x – y)2 = (y – x)2
Lời giải đúng:
= (x – y)[3x – 5(x – y)]
= (x – y)(3x – 5x + 5y)
= (x – y)(5y – 2x)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức x(x – y)2 – 3(y – x)3 thành nhân tử
Học sinh thường mắc phải sai lầm trong lời giải như sau:
x(x – y)2 – 3(y – x)3
= (x – y)2[x – 3(x – y)]
= (x – y)(x – 3x + 3y)
Hiểu nhầm của học sinh ở đây là: (y – x) 3 = (x – y) 3
Để khắc phục sai lầm trên giáo viên cần nhấn mạnh:
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
(B – A)3 = B3 – 3B2A + 3BA2 – A3
= -A3 + 3A2B – 3AB2 + B3 = -(A3 – 3A2B + 3A2B – B3) = -(A – B)3
Hoặc (B – A)3 = -(A – B)3
Trang 5Nên ở ví dụ 4 giáo viên kết luận: (y – x) 3 = -(x – y) 3
Lời giải đúng:
x(x – y)2 – 3(y – x)3
= x(x – y)2 + 3(x – y)3
= (x – y)2 [x + 3(x – y)]
= (x – y)2 (x + 3x – 3y)
= (x – y)2(4x – 3y)
Tóm lại, Qua các ví dụ trên khi giảng dạy dạng toán “phân tích đa
thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung” giáo viên cần nhấn
mạnh cho học sinh những điều sau:
a) Cách tìm nhân tử chung:
Nhân tử chung của các hạng tử trong một đa thức là “một tích” được
chọn như sau:
-Nhân tử chung bằng “hệ số” chính là ƯCLN của các hệ số nguyên
dương của các hạng tử
-Nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất)
b) Nhiều khi làm xuất hiện nhân tử chung của các hạng tử cần lưu ý:
A = - (-A)
2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng
hàng đẳng thức:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức (x + y)2 – 9x2 thành nhân tử
Học sinh thường giải sai lầm như sau:
(x + y)2 – 9x2
= (x + y – 9x)(x + y + 9x)
số 9”
Để khắc phục sai lầm trên của học sinh, trong giảng dạy giáo viên
cần lưu ý cho học sinh như sau:
Do đó áp dụng hằng đẳng thức trên cần biến đổi đa thức đã cho về
dạng bình phương của từng biểu thức Cụ thể như sau:
(x + y)2 đóng vai trò là A2
đổi thành: 9x2 = 9.x2 = 32.x2 = (3x)2
Trang 6(3x)2 đóng vai trò là B2
Lời giải đúng:
(x + y)2 – 9x2
= (x + y)2 – (3x)2
= (x + y – 3x)(x + y + 3x)
= (y – 2x)(4x + y)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử
Học sinh thường giải sai lầm như sau:
-Trường hợp 1:
(x + y)2 – (x – y)2
= 0 (2x)
-Trường hợp 2:
(x + y)2 – (x – y)2
= [(x + y) – (x – y)][(x + y) + (x – y)]
Để khắc phục sai lầm trên của học sinh Trong giảng dạy giáo viên
cần hướng dẫn học sinh “lấy dấu ngoặc, bỏ dấu ngoặc” cho chính xác Cụ thể
làm như sau:
+Trong đa thức (x + y)2 – (x – y)2:
(x + y)2 đóng vai trò là A2
(x – y)2 đóng vai trò là B2
Lúc này A là biểu thức x + y, còn B là biểu thức x – y Nên khi áp
và x – y trong dấu ngoặc
Tức là: (x + y)2 – (x– y)2
=[(x + y) – (x – y)][(x + y) + (x – y)]
+Khi bỏ dấu ngoặc:
.Phía trước dấu ngoặc là dấu “+” những hạng tử trong ngoặc không
đổi dấu
Ví dụ: (x + y) = x + y
.Phía trước dấu ngoặc là dấu “_” những hạng tử trong ngoặc thay đổi
dấu
Ví du: -(x - y) = - x + y
Lời giải đúng cho ví dụ 2:
(x + y)2 – (x– y)2
Trang 7= [(x + y) – (x – y][(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y)
= (2y) (2x)
= 4xy
2.3 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm
hạng tử:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 +xy – x – y thành nhân tử:
Học sinh thường mắc sai lầm trong lời giải như sau:
x2 + xy – x – y
= (x2 + xy) – (x + y)
= x(x +y) – (x + y)
Để khắc phục sai lầm trên, trong giảng dạy giáo viên cần nhấn mạnh:
Đối với nhóm hạng tử (x + y) thì nhân tử chung của nhóm Này là 1, nên có thể
viết thành: (x + y) = 1.(x +y)
Từ đó giáo viên dẫn dắt học sinh làm bài toán như sau sẽ tránh
được sai sót (bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung):
x2 + xy – x – y = (x2 + xy) – (x + y)
= x(x + y) – 1.(x + y)
= (x + y)(x – 1)
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2y – xy2 – 5x + 5y
b) x2 – 2x – 4y2 – 4y
Học sinh thường giải sai lầm như sau:
a) x2y – xy2 – 5x + 5y
= x(xy – 5x) + y(xy – 5)
b) x2 – 2x – 4y2 – 4y
= (x – 2y)(x + 2y) – 2(x – 2y)
Để khắc phục sai lầm trên Trong giảng dạy giáo viên cần lưu ý cho
học sinh “quy tắc dấu ngoặc” như sau:
Trang 8+ Khi nhóm hạng tử mà đặt dấu “ _” trước ngoặc thì phải đổi dấu tất
cả các hạng tử trong ngoặc
Ví dụ: – 2x – 4y = -(2x + 4y)
+ Khi nhóm hạng tử mà đặt dấu “+” trước ngoặc thì không đổi dấu
các hạng tử trong ngoặc (tức là giữ nguyên dấu của các hạng tử)
Ví dụ: –2x – 4y = +(–2x – 4y)
Giáo viên dẫn dắt học sinh giải đúng hai bài toán trên như sau:
a) x2y – xy2 – 5x + 5y
= (xy – 5)(x – y)
b)x2 – 2x – 4y2 – 4y
=(x + 2y)(x – 2y – 2)
2.4 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều
phương pháp:
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 - 9x3 + x2 – 9x
Đối với bài này có nhiều cách phân tích nhưng học sinh thường phân
tích thiếu sót như sau:
o Cách 1:
x4 - 9x3 + x2 – 9x
o Cách 2:
x4 - 9x3 + x2 – 9x
= (x4 – 9x3) + (x2 – 9x)
Đối với cách làm như thế đã đúng yêu cầu “phân tích đa thức thành
nhân tử” nhưng chưa triệt để vì còn phân tích tiếp tục được trong cả hai cách
trên Do đó, trong giảng dạy giáo viên cần dẫn dắt học sinh làm như sau:
Cách 1 : Sau khi học sinh viết được đến bước 2:
phương pháp nhóm hạng tử
Trang 9Học sinh làm: x3 – 9x2 + x – 9
= (x3 – 9x2) + (x – 9)
= x2 (x – 9) + 1(x – 9)
= (x – 9)(x2 + 1)
Dẫn dắt học sinh giải hoàn chỉnh cách 1:
x4 - 9x3 + x2 – 9x
Cách 2: Sau khi học sinh viết đến (x – 9)(x3 + 1) Giáo viên
nên gợi ý:
chung là x ( x3 + x = x(x2 + x) )
Dẫn dắt học sinh giải hoàn chỉnh cách 2:
x4 - 9x3 + x2 – 9x
= x(x – 9)(x2 + 1)
*Tóm lại, Để học sinh làm bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
một cách triệt để, khi giảng dạy giáo viên cần lưu ý học sinh làm theo những
bước sau:
-Bước 1: Quan sát đặcđiểm của bài toán xem các hạng tử có nhân tử
chung hay không (về các hệ số và các biến) Nếu có nhân tử chung thì dùng
“phương pháp đặt nhân tử chung” để phân tích; nếu không có nhân tử chung thì
ta chuyển sang bước 2
-Bước 2: Nếu đa thức có dạng hằng đẳng thức thì áp dụng “phương
pháp dùng hằng đẳng thức” nếu không có dạng hằng đảng thức thì ta chuyển
sang bước 3
-Bước 3: Dùng phương pháp nhóm hạng tử (thường thì nhóm “mỗi
nhóm” có nhân tử chung hoặc “mỗi nhóm” có dạng hằng đẳng thức)
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy
Giải:
2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy
Trang 10=2xy[x2 – (y2 + 2y + 1)] (Nhóm hạng tử có dạng hằng đẳng thức)
=2xy(x – y – 1)(x + y + 1)
3 Kết quả:
Từ việc phát hiện sai lầm của học sinh trong cách giải toán “phân tích
đa thức thành nhân tử” trong năm học 2008 – 2009 và tôi đã đưa ra một số biện
pháp khắc phục sai lầm Năm học 2009 – 2010 tôi lại được đảm nhận dạy môn
toán 8, nên tôi mạnh dạn áp dụng một số biện pháp sửa chữa sai lầm đã nêu
trên trong suốt quá trình giảng dạy toán “phân tích đa thức thành nhân tử” thì
tôi nhận thấy được kết quả trước tiên là “học sinh không bị mắc sai lầm” Điều
đó thể hiện rõ nét hơn tôi cho học sinh làm bài kiểm tra cuối chương I Kết quả
như sau:
C KẾT LUẬN:
Thông qua việc phát hiện sai lầm và khắc hục sai lầm của học sinh
trong giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, mặc dù đã đạt được kết quả khả
quan Qua đó bản thân tôi rút ra một số kinh nghiệm như sau:
-Cần phải khảo sát chất lượng đầu năm học để nắm được năng lực học
tập của học sinh
-Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần nhấn mạnh, lưu ý những vấn
đề học sinh thường nhầm lẫn nhất
-Kiểm tra chặt chẽ việc vận dụng kiến thức đã học vào bài tập về nhà,
cũng như đối với tiết luyện tập trên lớp
-Kiểm tra đồng bộ từng học sinh về năng lực tiếp thu ý kiến sau tiết
học
Trang 11-Dùng nhiều câu hỏi gợi ý để dẫn dắt học sinh tìm lời giải một cách cẩn
thận, chính xác
Qua cách làm có hiệu quả trên, tôi sẽ luôn vận dụng tốt cách thực hiện
này trong mỗi tiết dạy, đồng thời không ngừng tìm hiểu thêm nhiều phương
pháp tốt hơn nữa để hoàn thiện kiến thức chuyên môn cũng như phương pháp
giảng dạy Tuy nhiên, việc trình bày này chắc chắn không khỏi thiếu sót Rất
mong được sự đóng góp của quý thầy cô để giúp tôi dạy tốt hơn và học sinh
tránh được những sai lầm trong giải toán phân tích đa thức thành nhân tử
Khánh Hòa, ngày 15 tháng 12 năm 2009
Người viết
Trịnh Kim Ngân