Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT TÓM TẮT TOÁN 9 CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI , CĂN BẬC BA 1) Căn bậc hai * Căn bậc hai số học của số thực a 0 , kí hiệu là số x 0 mà x2 = a * a > 0 , có hai căn bậc hai là hai số đối[.]
Trang 1TÓM TẮT TOÁN 9 CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI , CĂN BẬC BA
1) Căn bậc hai
* Căn bậc hai số học của số thực a 0 , kí hiệu a là số x 0 mà x 2 = a
* a > 0 , có hai căn bậc hai là hai số đối nhau a và - a Ta có a 2 a2 = a
* Căn bậc hai của 0 là 0 ;* Với a > 0 ; b > 0 ta có : a > b a b
* A xác định ( có nghĩa ) A 0 * A
B có nghĩa ( xác định ) B > 0
* A
B có nghĩa ( xác định ) B 0 và A 0 ; * A2 A A n u A 0
- A n u A < 0
Õ Õ
* A.B A B ; A B A.B ( với A 0 ; B 0 ) ; A B2 A B ( Với B 0 )
B B B B ( với A 0 ; B 0 ) ; A A.B (
B B Với AB 0 ; B 0 )
* A A B
B
A - B
A - B
A 2 A 1 ( A 1 ) ; ( A 1 ) A 2 A 1 ( Với A 0 )
* A 2 - 2AB + B 2 = ( A – B ) 2 ; A – 2 AB + B = ( ( A B )2 ( Với A 0 ; B 0 )
* A 2 – B 2 = ( A – B )( A + B ) ; A – B = ( A B)( A B)
* A 3 - B 3 = ( A – B )( A 2 + AB + B 2 ) ; A3 B3 ( A B)(A - AB + B )
* ( A – B ) 3 = A 3 – 3A 2 B + 3AB 2 – B 3 ; ( A +B ) 2 = A + 2B A + B 2 ( Với A 0 )
* x1 + x 2 = ( x1 + x2 ) 2 – 2x1x2 ; x1 + x 3 = ( x1 + x2 ) 3 – 3x1x2(x1 + x2 )
*( x1 - x2 ) 2 = x1 2 + x 2 2 - 2x1x2 2 2
x x x x 2x x
* A + A A( A 1 ) ( A 0 ) ; A – 1 = A 1 A 1
* A B 2 B - A2 A - 2B A B 2
*
A - B
* n 1n + 1 n + 1 n
*
A - B
Trang 2* Bảy hằng đẳng thức đỏng nhớ :
1) Bỡnh phương của một tổng : ( A + B ) 2 = A 2 + 2AB + B 2
2) Bỡnh phương của một hiệu : ( A - B ) 2 = A 2 - 2AB + B 2
3) Hiệu cỏc bỡnh phương : A 2 – B 2 = ( A – B )( A + B )
4)Lập phương của một tổng : ( A + B ) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
4)Lập phương của một tổng : ( A + B ) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
5)Lập phương của một hiệu : ( A - B ) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3
6) Tổng cỏc lập phưong : A 3 + B 3 = ( A + B )( A 2 - AB + B 2 )
7) Hiệu cỏc lập phưong : A 3 - B 3 = ( A - B )( A 2 + AB + B 2 )
Chương 2+3 HÀM SỐ BẬC NHẤT,HỆ PT BẬC NHẤT HAI ẨN
I/ Hàm số ya.xb a 0 xỏc định với mọi giỏ trị của x
II/ Tớnh chất:
Hàm số đồng biến trờn R khi a >0 Nghịch biến trờn R khi a < 0
III/Với hai đường thẳng ya.xb a 0 (d)
và ya '.xb ' a ' 0 (d’) ta cú:
1/ (d) và (d’) song song với nhau b b a a ''
2/ (d) và (d’) trựng nhau b b a a ''
3/ (d) và (d’) cắt nhau a a '
4/ (d) cắt (d’) tại một điểm trờn trục tung '
'
a a
b b
5/Muốn tìm toạ độ điểm chung của đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) ta tìm nghiệm của hệ
phơng trình: y=f(x)
y=g(x)
6/Hệ phương trỡnh tương đương :
* Hai hệ phương trỡnh tương đương gọi là tương đương với nhau khi chỳng cú cựng một tập nghiệm
7/Hệ hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn :
y
I
y
Chương 4 HÀM SỐ y = ax 2 ( a ≠ 0)
PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI MỘT ẨN
1 Hàm số 2
y ax (a 0)
- Với a >0 Hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
- Với a< 0 Hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
*(d1) cắt (d2) Hệ (I ) cú nghiệm duy nhất *(d1) song song với (d2) Hệ ( I ) vụ nghiệm *(d1) trựng với (d2) Hệ ( I ) vụ số nghiệm
Trang 3*Đồ thị của hàm của hàm số y = ax 2 ( a ≠ 0 ) là một đường cong đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O
* Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành , O là điểm thấp nhất của đồ thị
* Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành , O là điểm thấp nhất của đồ thị
2 Phương trình bậc hai 2
ax bx c 0(a0)
> 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
1
b
x
2a
2a
’ > 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
1
b ' ' x
a
a
= 0 P.trình có nghiệm kép
b
x x
2a
’ = 0 P.trình có nghiệm képx1 x2 b '
a
< 0 Phương trình vô nghiệm ’ < 0 Phương trình vô nghiệm
3 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Nếu x1 và x2 là nghiệm của
phươngtrình 2
ax bx c 0(a0)thì
1 2
b
x x
a
c
x x
a
Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, u.v = P,
ta giải phương trình x 2 – Sx + P = 0 ( điều kiện để có u và v là S 2 – 4P 0 )
Nếu tam thức bậc hai 2
ax bx c, (a 0) có hai nghiệm : x ; x1 2 thì
2
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình bậc hai 2
ax bx c 0 (a0)
có hai nghiệm : x1 1; x2 c
a
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình bậc hai 2
ax bx c 0 (a0)
có hai nghiệm : x1 1; x2 c
a
* Nếu a.c<0 thì phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu
a
Cách chứng minh phương trình bậc hai
1/ cm pt luôn có nghiệm ta cm 0 Pt có nghiệm kép Δ ’ hoặc 0 Phương trình vô nghiệm
Δ ’ hoặc 0.
2/ pt có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi 1 2
0
x x 0
3./ Có hai nghiệm dương là : Δ hoặc Δ ’ 0 , P > 0 và S > 0 ;
4/.Có hai nghiệm âm là : Δ hoặc Δ ’
0 , P > 0 và S < 0 ;
Trang 46 pt cú hai nghiệm cựng dấu khi và chỉ khi 1 2
0
x x 0
hoặc Δ ’ cũng được
7 pt cú hai nghiệm õm phõn biệt khi và chỉ khi 1 2
0
x x 0
hoặc Δ ’ cũng được 5/ pt cú hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi 1 2
0
hoặc Δ ’ cũng được 6/ pt cú hai nghiệm trỏi dấu khi và chỉ khi 1 2
0
x x 0
hoặc Δ ’ cũng được 7/ pt cú hai nghiệm nghịch đảo của nhau khi và chỉ khi 1 2
0
x x 1
hoặc Δ ’ cũng được 8/MỞ RỘNG
8.1) Với mọi n N* , ta cú :
2 2
(n + 1) n - n n + 1 (n + 1) n - n n + 1
n(n + 1) (n + 1) n n n + 1 n + 1 n - n (n + 1) n n + 1
8.2) Cụng thức tớnh khoảng cỏch d giữa hai điểm A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2) là
d = AB = x2 x12y2 y12
B 0
A B
A = B
; * A B A2 B2 ; A B A = B ( A > 0 ; B > 0 ) 9)Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng (D) y=mx+n và parabol (P) y= ax 2
Hoành độ điểm chung của (D)và (P) là nghiệm của phơng trình
f(x)= g(x) mx+n = ax 2 ax 2 –mx-n=0 (I).phơng trình(I) là phơng trình bậc hai.
+,(D) và (P) không có điểm chung phơng trình(I).vô nghiệm Δ ’ hoặc 0
+,D) tiếp xúc (P) phơng trình(I).có một nghiệm Δ ’ hoặc 0
+D) cắt (P) tại hai điểm phơng trình(I).có hai nghiệm Δ ’ hoặc 0
HèNH HỌC
Chương 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG
I/ Cỏc hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giỏc vuụng
1) b 2 = a.b’ (AC 2 = BC.HC)
c 2 = a.c’ (AB 2 = BC.BH)
2) h 2 = b’.c’ (AH 2 = BH.HC)
3) h.a = b.c (AH.BC = AB.AC)
5) a2 b c2 2 (Đlớ Py ta go)
h c'
c
b' b
a
B
A
Trang 5II/ Tỉ số lượng giác của góc nhọn
III/ Một số tính chất của tỷ số lượng giác
Cho hai góc nhọn và phụ nhau 0
90
, khi đó:
sin = cos cos = sin tan = cot cot = tan
90 30 60 ; tan 20 cot sin 30 cos cos 70 ;cos50 sin 40
Cho góc nhọn Ta có: 0 < sin < 1 0 < cos < 1
sin 2 + cos 2 = 1;
sin tan
cos ;tan cot 1;
cos cot
sin ; tan cot 1 CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN
1)Định nghĩa và sự xác định đường tròn:
a) Định nghĩa : Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng R là đường tròn tâm O, bán kính R Kí hiệu : đường tròn ( O; R ) hay đường tròn ( O ) b) Vị trí của một điểm đối với đường tròn :
* Điểm M nằm trên đường tròn ( O ; R ) OM = R
* Điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ; R ) OM > R
* Điểm M nằm trong đường tròn ( O ; R ) OM < R
c) So sánh độ dài dây và đường kính :
* Định lý : Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn
d) Sự xác định của đường tròn:
* Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn )
* Tâm của đường tròn ngoại tiếp t/g là giao điểm các đường trung trực của các cạnh tam giác 2) Tính chất đối xứng của đường tròn :
N
O
I
M
B A
* Định lí : Trong một đường tròn :
α
cotα= Cạnh kề
Cạnh đối =
AB AC
tanα= Cạnh đối
Cạnh kề =
AC AB
cosα= Cạnh kề
Cạnh huyền =
AB BC
sinα= Cạnh đối
Cạnh huyền =
AC BC
Cạnh kề
Cạnh huyền
Cạnh đối
C
a) Liên hệ giữa đường kính và dây cung:
*Định lí : Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây
đó (Đường tròn ( O ) có OM ⊥ AB tại I I là trung điểm của AB )
*Định lí đảo : đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây không là
đường kính ) thì vuông góc với dây đó (Đường tròn ( O ) có OM cắt AB tại
I và I là trung điểm của dây AB OM ⊥ AB tại I )
b) Liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm :
Trang 6
K
I O
D C
B
A
2)Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn :
Ghi chú : d = OH là khoảng cách từ tâm đ tròn ( O, R ) đến đ thẳng a
*Đường thẳng và đường tròn không giao nhau :
- Số điểm chung : 0 ; - Hệ thức : d > R
*Đường thẳng và đường tròn cắt nhau :
- Số điểm chung : 0 ;
- Hệ thức : d < R +Trường hợp này đường thẳng a gọi là cát tuyến của đường tròn ( O, R )
* Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc :
- Số điểm chung : 1 ; - Hệ thức : d = R
+ Trường hợp này đường thẳng a gọi là tiếp tuyến của đường tròn ( O ; R )
và H gọi là tiếp điểm
* Định lí 1:( t/c của tt ) Nếu một đ.thẳng là tiếp tuyến của đ tròn thì nó vuông góc với b.kính đi qua t điểm (Nếu a là tiếp tuyến của đ tròn tâm O và H là tiếp điểm thì a ⊥OH hay a ⊥d )
* Định lí 2 ( dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến ) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đưòng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn ( Đường tròn ( O , R ) có OH = R và OH ⊥ a thì a là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) ).
* Định lí 3: ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ) Nếu MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm (Đường tròn ( O )có AB = CD, OI ⊥AB tạiI, OK ⊥CD tại K OI = OK )
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau (Đ Tròn (O) có OI ⊥AB tại I, OK⊥CD tại K, OI = OK AB = CD) + Dây lớn hơn thì gần tâm hơn ;+ Dây gần tâm hơn thì lớn hơn
O
a
d
O
a d
H
( A và B là hai tiếp điểm ) thì : + MA = MB
+ OM là phân giác của góc AOB + MO là phân giác của góc AMB + OM ⊥ AB tại I ; I là trung điểm của AB ( OM là trung trực của AB )
H
O
a
H
D
Trang 7B
A
O
+ Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác
4) Vị trí tương đối của hai đường tròn :
Ghi chú : d là khoảng cách hai tâm hai đường tròn ( O; R) và ( I ; r ), d = OI, giả sử R > r > 0
* Hai đường tròn không giao nhau :
- Số điểm chung : 0 ;-Hệ thức giữa d , R , r :
O
Ở ngoài nhau : d > R + r Đựng nhau :
d < R – r Đặc biệt : đồng tâm ( d = 0 )
* Hai đường tròn cắt nhau : - Số điểm chung : 2
- Hệ thức giữa d, R, r là: R – r < d < R + r + Tính chất đường nối tâm : Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây chung và đi qua trung điểm của dây chung ( Nếu đường tròn (O) và đường tròn (I) cắt nhau tại hai điểm A và B thì OI ⊥ AB tại H và HA = HB )
I
I A O
A
O
* Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC gọi là đường tròn nội tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn )
B
A I O
r R
F
O
* Hai đường tròn tiếp xúc
- Số điểm chung : 1
- Hệ thức giữa d, R, r : Tiếp xúc ngoài : d = R + r Tiếp xúc trong : d = R – r
I
Trang 8
+ Tính chất đường nối tâm : Nếu hai đ tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
Chương III :GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN
1/ Góc ở tâm
AOB sd AmB
2/ Góc nội tiếp
2
sd AmB ACB
3/ Góc tạo bởi tiếp tuyến và
dây cung
2
sd AmB ACB
4/ Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
m
n D
A
B
O
C
E
5/ Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
H5
A
D O
C
B
E
6/ Tứ giác ABCD nội tiếp
A+C=180
hay B+D=180 0
7/ Độ dài đường tròn
C=2 R hay C= d
d = 2R 8/ Độ dài cung tròn
Rn l
180
9/ Diện tích hình tròn
2 S= R
10/ tích hình quạt tròn
2
R n S
360 hay S lR
2
11 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn:
+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0
+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
+ Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm Điểm đó gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác + Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc
12 Tính bán kính đường tròn nội tiếp , ngoại tiếp , bàng tiếp đa giác
a Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đều n cạnh, độ dài 1 cạnh là a: 1800
2sin
a R
n
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều:
3
a
R ;
sdAmB+sdCnD AEB=
2
sdAmB+sdCnD AEB=
AEB=
2
m B H1
A
O
H2 m B A
O C
B O
A
D O
B A
C
Trang 9Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông:
2
a
R ;
Bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác đều: R a
b Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đều n cạnh, độ dài 1 cạnh là a: 1800
2 tan
a r
n
*Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác:
2 3
a
r ;
*Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông:
2
a
r ;
*Bán kính đường tròn nội tiếp lục giác: 3
2
a
r
c.Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh a,b,c
+)
2sin 2sin 2sin
R
+)
4
abc R
S
(S là diện tích tam giác)
+) Tam giác vuông tại A :
2
a
R ; Tam giác đều cạnh a :
3
a
R
d.Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
r
p
(p là nửa chu vi tam giác)
+) Tam giác vuông tại A :
2
b c a
r ; Tam giác đều cạnh a : 3
6
a
r
e Tính bán kính đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác: a
S r
p a
+) Tam giác vuông tại A :
2
a
a b c
HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
Hình trụ Sxq = 2 rh Stp = 2 rh + 2 r 2 V = r 2 h
Hình nón Sxq = rl Stp = rl + r 2 V = 1 2
r h
3
Đường sinh: l h2r2
Chiều cao : h l2 r2
Bán kính:r l2 h2
R
3