phßng gi¸o dôc ®µo t¹o PHÒNG GD& ĐT THANH BA TRƯỜNG THCS ĐẠI AN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012 2013 MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đ[.]
Trang 1PHềNG GD& ĐT THANH BA
TRƯỜNG THCS ĐẠI AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2012 - 2013
MễN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài 120 phỳt khụng kể thời gian giao đề
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức
1 x
Với
4 a) Rỳt gọn biểu thức A
b) Tớnh giỏ trị của A khi x 17 12 2
c) So sỏnh A với A
Bài 2: (4,0 điểm)
b) Chứng minh rằng:
Biểu thức 2 2
2
cú giỏ trị là một số tự nhiờn
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trỡnh x2 3x 2 x 3 x 2 x22x 3
b) Cho 3 số thỏa món điều kiện:
x2+2y+1 = y2+2z+1 = z2+2x+1 = 0 Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: A = x2012 + y2012 + z2012
Bài 4.(7,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD
a) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.DC
b) Tính độ dài phân giác AD?
Hết
Trang 2-HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN LỚP 9
Bài 1 (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)
A 1 1 : 2x x 1 2x x x x x 0;x 1;x 1
:
:
: 2 x 1 :
:
x
0.5
0.5 0.25 0.25 0.5
b) Tính giá trị của A khi x17 12 2 (1 điểm).
Tính x17 12 2 3 2 2 2 x 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2
1 3 2 2 17 12 2 15 10 2 5 3 2 2
0.5 0.5
c) So sánh A với A(1 điểm).
Biến đổi A 1 x x x 1 1
Chứng minh được x 1 2
x
với mọi x 0;x 1;x 1
4
A x 1 1 1 A 1 A 1 0 A A 1 0
x
0.25 0.25
0.5
Bài 2 (4 điểm)
a) Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = x2 - xy + y2 ( vì x + y = 1) 0.25
Trang 3M =
1
Suy ra M 1 2 2
2 x y
Mặt khác : x + y =1 x2 + y2 +2xy = 1 2(x2 + y2) – (x – y )2 = 1
2(x2 + y2) 1
Do đó : x2 + y2 1
2
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x = y =1
2
Ta có M 1 2 2
2 x y
và x2 + y2 1
2
M 1 1 1
2 2 4
Vậy M 1
4
, nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 1
4 khi x = y = 1
2
0.5 0.25
0.5
0.25 0.25
b) Biểu thức
2 2
2
có giá trị là một số tự nhiên ).
2 2
2 2
2
2
Vậy B có giá trị là một số tự nhiên
0.75 0.75 0.5
Bài 3 (4điểm) Giải phương trình
x 3x2 x 3 x 2 x 2x 3
x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 1
Điều kiện
1 x 2 x 1 1 x3 x 1 1 0
x = 2 thoả mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
0.5 0.25
0.25 0.5 0.5
z2+2x+1 = 0 (3)
Cộng từng vế của (1),(2),(3) ta có
0.25
Trang 4(x2+2x+1) +( y2+2y+1) + (z2+2z+1) = 0
( 1) ( 1) ( 1) 0
1 0
1 0
x
z
Vậy: A = x2012 + y2012 + z2012 = (-1)2012+(-1)2012+(-1)2012 = 3
0.5
0.75
0.5
Bài 4 (7 điểm)
Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABC
Gọi E là giao điểm của AD và (O)
a) Ta có : ABD ~ CED (g –g)
CD
AD ED
BD
AD.ED = BD.CD AD(AE – AD) = BD.CD
AD2 = AD.AE – BD.CD (1)
Lại có: ABD ~ AEC (g –g)
AC
AD AE
AB
AB.AC = AD.AE (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC
b) Vì AD là phân giác
CA
BA DC
DB
b
DC c
DB
c b
a b
c
DC DB
DB =
c b
ac
và DC =
c b
ab
AD2 = bc - 2
2 ) (b c
bc a
0.5 0.5 1 0.5 0.5 0.5 1
0.5
0.5 0.5
1
Bài 5 (1,0 điểm)
Rỳt gọn biểu thức sau:
Ta cú: 1 1 2 1 2 2 1
1 2
1 2 3 2 3 3 2
2 3
1
3 4 = 3 4 3 4 4 3
Tương tự ta cú
0.5
A
B
C
E D
Trang 51 1 1 1
= 2 1 3 2 4 3 2010 2009 (
0.25
Chú ý: Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương đương.