1 MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài Trong thực trạng dạy học hiện nay, khi Kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia và đặc biệt trong thời gian tới đây là Kỳ thi học sinh giỏi các môn văn hóa lớp 12 cấp tỉnh được t[.]
Trang 11 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài.
Trong thực trạng dạy học hiện nay, khi Kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia và đặc biệt trong thời gian tới đây là Kỳ thi học sinh giỏi các môn văn hóa lớp 12 cấp tỉnh được thi bằng hình thức thi trắc nghiệm, thời gian làm bài tập ít, số lượng bài tập lớn, phủ kiến thức rộng đã gây trở ngại, khó khăn cho cả hoạt động giảng dạy của thầy và hoạt động của trò
Với hình thức thi tự luận trước đây, đứng trước một vấn đề khó, vấn đề mới lạ, học sinh có thời gian suy ngẫm tìm ra cách giải quyết vấn đề, có thể là quy lạ về quen hay thậm chí là cách giải mới Tuy nhiên, với bài thi trắc nghiệm, trước một vấn đề khó, mới lạ, việc tìm ra được cách mới để giải quyết vấn đề là vô cùng khó khăn Do đó, việc quy lạ về quen là vô cùng quan trọng Trong quá trình ôn tập, sau khi giải một bài tập, học sinh cần phải rút ra được những kinh nghiệm để giải quyết những bài tập tương tự và suy ngẫm xem bài tập đó có thể phát triển hành những bài tập dạng nào Có như vậy, học sinh mới đáp ứng được sự đa dạng, sự biến hóa của đề thi trắc nghiệm
Yêu cầu là như vậy, nhưng trong quá trình dạy và học, không phải giáo viên, học sinh nào cũng thực hiện phân tích và rút kinh nghiệm sau mỗi bài tập Việc này cũng có nguyên nhân chủ quan và nguyên nhân khách quan, dẫn đến việc học sinh giải được dạng bài tập nào, đã được hướng dẫn dạng bài nào thì biết được dạng bài tập đó, từ đó dẫn hình thành cho học sinh tính ỷ lại, mong chờ sự may mắn, chưa thấy được cái hay, cái ý nghĩa của toán học; kích thích hứng thú sau mỗi bài tập
Trước thực trạng trên, trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi, sau mỗi bài tập tôi thường dành một khoảng thời gian nhất định để học sinh suy ngẫm về bài tập, định hướng để các em có thể phát triển bài tập thành những dạng bài tập khó hơn, đa dạng hơn, từ đó tạo sự hứng thú, ham tìm tòi nghiên cứu của học sinh, làm các em hiểu kiến thức được rộng hơn, sâu hơn
Để nhân rộng, lan tỏa hơn nữa ý tưởng của mình, có tài liệu để học sinh và đồng nghiệp nghiên cứu, do sự hạn chế về thời gian và khung giới hạn của sáng
kiến kinh nghiệm nên tôi chọn đề tài: “Khai thác một bài toán cơ bản để giải
một số bài toán hình học không gian”.
Trong quá trình thực hiện, không tránh khỏi những còn hạn chế, thiếu sót rất mong được đồng nghiệp, học sinh góp ý và chia sẻ để đề tài được hoàn thiện hơn, mang lại sự hiệu quả và thiết thực
Xin chân thành cảm ơn!
1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 21.2 Mục đích nghiên cứu.
+ Cung cấp cho đồng nghiệp và học sinh một tài liệu hữu ích trong quá trình dạy, học và nghiên cứu khoa học Nâng cao kiến thức, trình độ chuyên môn của bản thân
+ Khơi dậy hứng thú, ham học hỏi, tìm tòi nghiên cứu toán học của học sinh, giúp các
em chủ động nắm vững kiến thức, đáp ứng được yêu cầu của các kỳ thi và quá trình học tập sau này
+ Giúp các em nhận dạng nhanh một số bài toán hình học không gian (Chứng minh, tính
thể tích, … ) có liên quan đến tỷ số đoạn thẳng bằng việc ứng dụng bài toán cơ bản của đề tài.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là quá trình từ một bài tập cơ bản ban đầu, hình thành ý tưởng, kỹ năng để vận dụng để giải một số bài toán hình học không gian
1.4 Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
+ Phương pháp thực nghiệm
+ Phương pháp phân tích, tổng kết rút kinh nghiệm
+ Phương pháp khảo sát điều tra thực tế, thu thập thông tin
+ Phương pháp thống kê, xử lý số liệu
2.1 Cơ sở lý luận của đề tài
2.1.1 Cơ sở khoa học của đề tài
Hinh hoc la môt môn hoc xây dưng trên cơ sơ hê thông cac khai niêm, tiên đê, đinh ly Do đo, đê hiêu va hoc tôt phân môn hinh hoc, ngươi hoc cân môt nên tang kiên thưc vưng vang, tri tương tương tôt, kha năng tư duy lô gic, vân dung ly thuyêt môt cach sang tao Đôi vơi đa sô hoc sinh, đây la môn hoc kho, đăc biêt la khi hoc sinh tim hiêu vê linh vưc hinh hoc không gian cua lơp 11 va lơp 12
Ngoai lơp cac bai toan chưng minh cac yêu tô song song, vuông goc, dưng hinh (tim giao tuyên, thiêt diên ), tinh môt sô cac yêu tô quen thuôc như goc, khoang cach, thê tich , sach giao khoa va sach bai tâp hinh hoc 11 va 12 con giơi thiêu môt sô cac bai toan yêu câu chưng minh cac đăng thưc hay bât đăng thưc hinh hoc, tim gia tri lơn nhât hay nho nhât cua diên tich môt đa giac, thê tich môt khôi
đa diên Đo la nhưng bai toan kho, đoi hoi hoc sinh phai vân dung kiên thưc
2
Trang 3tông hơp, sang tao, tương tư hoa, nhân ra cai chung cua môt lơp cac bai toan đê tim hương giai môt bai tâp cu thê
2.1.2 Cơ sở̉ thực tiễn
Qua qua trinh giang day va bôi dương hoc sinh kha gioi, tôi nhân thây, khi tim
ra cai chung cua môt lơp cac bai toan, tưc la phat hiên ra cai gôc cua vân đê cân chưng minh hay tinh toan, hoc sinh co thê tương tư hoa, dung kêt qua va cach suy luân đo đê chưng minh va tim cach giai cua hâu hêt cac bai tâp tương tư môt cach dễ dang Vi thê, công viêc cua ngươi thây la giup hoc sinh phat hiên ra bai toan cơ bản, tư đo, cung hoc sinh khai thac, sư dung kêt qua cua bai toan đo cho nhưng bai tâp khac
Ban sang kiên kinh nghiêm nay cua tôi trinh bay môt bai toan cơ bản trong nhưng bai toan cơ bản như thê, va xem xét ưng dung cua no trong viêc giai môt sô
bai tâp kho trong hinh hoc không gian lơp 11 va 12 Tên đê tai tôi chon: “Khai
thác một bài toán cơ bản để giải một số bài toán hình học không gian”.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy, trước khối lượng lớn kiến thức cần phải học so với thời gian dành cho học sinh tự học ngày càng ít, tôi thấy rằng: Học sinh rất thụ động trong việc tìm hiểu, tự lĩnh hội kiến thức Giáo viên giới thiệu dạng toán nào thì học sinh biết được dạng toán đó Trước một bài toán mới, ít học sinh chủ động, hăng say tự tìm hiểu; còn rất nhiều học sinh ỷ lại, chờ giáo viên hướng dẫn, gợi ý hoặc sử dụng máy tính để kiểm tra kết quả mong sự may rủi Điều nay gây khó khăn và ức chế rất nhiều đối với giáo viên trong quá trình giáo dục học sinh
Trước thực trạng trên, trong quá trình giảng dạy, để gây hứng thú cho học sinh, để học sinh thấy được cái hay, ý nghĩa thực tế của toán học tôi thường gắn bài tập với việc giải quyết các tình huống thực tế, gắn với sự linh hoạt sử dụng của toán học như: Một bài toán có thể giải bằng nhiều cách, có thể áp dụng trong nhiều trường hợp, nhiều lĩnh vực Nội dung của đề tài là một trong rất nhiều nội dung mà tôi đã triển khai trong quá trình giảng dạy Khi triển khai đề tài tôi đã cảm nhận được sự thay đổi đáng kể ở từng học sinh Ban đầu khi triển khai ở lớp 10, công việc vất vả vì học sinh chưa quen, chưa chủ động nhưng qua quá trình kiên trì thực hiện, cuối lớp 10, đầu lớp 11 và lớp 12, công việc thuận lợi và đôi khi là nhẹ nhàng, nhất là đối tượng học sinh khá - giỏi, các em chủ động phân tích, tìm tòi và đề xuất các giải pháp giải quyết vấn đề
3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 42.3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp giải quyết vấn đề
KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I Tìm hiểu bài toán cơ bản sau: Cho tam giác và hai điểm di động
trên hai cạnh ( và khác ) Gọi là trung điểm của , là giao
điểm của và Chứng minh rằng
Lời giải
+) Qua kẻ ba đường thẳng song song với , và đánh dấu các điểm
như hình vẽ
+) Dễ̃ chứng minh được lần lượt là trung điểm của và ; đồng thời thẳng hàng
+) Ta có:
A
E O N
K
M Q H
+) Lại có:
+) Vậy
Trang 5+) Từ (2), (3) suy ra
+) Thay (4) vào (1) ta được: là đpcm
Nhận xét : Hai điểm chỉ cần điều kiện khác ; có thể trùng với
có thể trùng với ta vẫn được kết quả như trên
Cach 2: Sư dung phương phap diên tich
Ta co : Suy luân tương tư, ta suy ra
Lai co
Măt khac,
Tư đo, ta co
II Khai thác bài toán cơ bản
Trong hình học, khi ta phải giải bài toán tìm một đại lượng hình học nào đó hoặc chứng minh một tính chất hình học (cố định, song song ) theo các ràng buộc qua các đại lượng thay đổi Để giải bài toán này, ta phải đi tìm một hệ thức liên hệ giữa các đại lượng thay đổi đó rồi từ đó đưa ra được điều cần chứng minh, tính toán Để minh hoạ, ta xé́t một số bài tập ví dụ sau :
5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 6Bài 1: Cho tứ diện và hai điểm di động trên thỏa mãn :
Chứng minh rằng mặt phẳng luôn đi qua một đường thẳng
cố định
S
M
N
C Phân tích:
- Nhận thấy ngay, đối với học sinh, bài toán trên là một bài toán khó vì: Với
điểm cố định, để chứng minh mặt phẳng đi qua một đường thẳng cố định ta cần chỉ ra luôn đi qua một điểm cố định nữa khác điểm
- Khó khăn trong việc tìm ra điểm , thông thường học sinh sẽ tìm ra điểm như sau:
* Xét cố định điểm tại vị trí đặc biệt là trung điểm của Từ giả thiết suy
ra được trùng trùng với trung tuyến
* Tương tự trên khi xét cố định là trung điểm của trung với
trung tuyến
* Với hai trường hợp trên đi qua điểm cố định là trọng tâm của tam
- Khẳng định rằng, ngay cả khi xác định được luôn đi qua thì việc chứng minh không hề đơn giản.
Nhưng rất là̀ đơn giản khi họ̣c sinh áp dụng ngay bà̀i toán cơ bản trên, cụ thể:
Lời giải
+) Gọi là trung điểm của ,
Trang 7+) Áp dụng bài toán cơ bản, chứng minh được Vậy
là điểm cố định, chính là trọng tâm tam giác +) Vậy đường thẳng cố định luôn nằm trong
Nhận xét: Bài toán này hoàn toàn có thể tổng quát , bằng
việc vận dụng bài toán cơ bản, ta có thể giải được một cách dễ̃ dàng.
Bài 2: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành Gọi lần lượt là trung điểm của và
a Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình chóp
b Gọi Tính tỷ số
c Tổng quát : Giả sử ; ; là giao điểm của và
đoạn Tính tỷ số
Lời giải
S
E
N M
G
O B
A
a Xác định thiết diện :
+) Xác định giao điểm của và : Gọi là giao điểm của
và , là giao điểm của và , khi đó chứng minh được là giao điểm
của và
+) Gọi là giao điểm của và thì là giao điểm của và Vậy thiết diện là
7
Trang 8LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 9b Tính tỷ số : +) Trong tam giác , là trung điểm nên +) Trong tam giác , ta có :
+) Vậy
c Giả sử ; , với là giao điểm của và đoạn Tính tỷ số : Lập luận hoàn toàn tương tự ta có
Vậy
Bài 3: Cho hình chóp , lấy các điểm lần lượt trên và
Biết rằng chứng minh rằng đi qua một điểm cố định
Lời giải
S
A' B' G
D'
C' D
C
K
+) Gọi là trung điểm của , là giao điểm của với Áp
dụng Bài toán 1, ta có :
8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 10+) Gọi là trung điểm của , là giao điểm của và thì là
điểm cố định và thuộc , đồng thời ta có:
+) Đẳng thức (*) chứng tỏ là điểm cố định, vậy luôn đi qua một
điểm cố định
Bài 4 Cho hình chóp có đáy là hình bình hành Gọi là hai điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng và ( không trùng ) sao cho
1) Chứng minh rằng khi MN thay đổi, đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
2) Gọi V và V’ lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S.MBCDN.
Chứng minh rằng:
Lời giải
S
A M
B
N
E
1) Chứng minh rằng khi thay đổi, đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định
+) Lấy đối xứng với qua , thì cắt tại thì là trung điểm của là điểm cố định Gọi là giao điểm của và
+) Áp dụng bài toán cơ bản ta có:
Trang 11+) Hệ thức (*) chứng tỏ là điểm cố định Vậy đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định là
2) Gọi và lần lượt là thể tích của các khối chóp và Chứng minh rằng:
+) Ta có
+) Xé́t hàm số trên đoạn
+) Ta có
+) Từ đó Vậy ta có
Bài 5: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, cạnh , vuông
góc với mặt phẳng đáy , Trên và lần lượt lấy hai điểm
tích của khối tứ diện
Lời giải
S
E M
G
N
C
D
O
B A
10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 12+) Dựng thiết diện : tương tự bài 2, là giao điểm của và
+) Trong tam giác , ta có:
+) Trong tam giác , ta có:
+) Tính được
+) +)
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều Mộtmặt phẳng thay đổi cắt các
cạnh lần lượt tại các điểm Chứng minh rằng :
Lời giải
+) Dựng mặt phẳng , sao cho và cắt nhau tại điểm thuộc đường cao của hình chóp
+) Do là chóp tứ giác đều nên +) là trung tuyến của các tam giác và , nên ta có:
S
M
B
D
C
Trang 13(trong tam giác (trong tam giác
Từ (1) và (2) ta có
Bài 7: Cho hình chóp tứ giácđều có tám cạnh đều bằng nhau và bằng
lần lượt là trung điểm của và Một mặt phẳng thay đổi qua
, cắt các cạnh lần lượt tại các điểm và Tìm diện tích nhỏ nhất của tứ
giác
Lời giải
+) Gọi là giao điểm của và đường cao của hình chóp, suy ra phải đi qua Dễ̃ thấy là trung điểm của
+) Từ giả thiết ta có : Vậy tam giác vuông tại
+) Tương tự tam giác vuông tại Suy ra +) Dễ̃ chứng minh được:
S
I
N P
A O
+) Vậy
12
Trang 14LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 15+) Đặt +) Thay (2) vào (1) ta được:
+) Áp dụng bài toán gốc:
+) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta được:
+) Từ (3) và (4) có :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , tức là ,
lần lượt là trung điểm của Vậy tứ giác có diện tích nhỏ nhất là
Bài 8 : Cho hình chóp có đáy
lần lượt thuộc SA, SB, SC sao cho :
là hình bình hành Lấy các điểm
Mặt
phẳng cắt tại Tính tỷ số
Lời giải
13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 16A1
D1
I
C1
B1
O
+) Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và
+) Theo bài toán gốc ta có :
+) Suy ra Vậy
Nhận xét : Bằng việc áp dụng bài toán gốc ta dễ dàng tính được tỷ số
Từ đó ta có thể xây dựng được một số câu hỏi dạng trắc nghiệm ở mức
độ vận dụng hoặc vận dụng cao
Bài 9 : Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, gọi là trung
điểm của Mặt phẳng đi qua , cắt lần lượt tại Chứng
minh rằng
Lời giải
+) Gọi là giao điểm của và ; , khi đó sẽ đi qua
Ta dễ̃ thấy là trọng tâm tam giác
Trang 17LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 18K
I N M
C D
O
+) Đặt +) Ta có :
Vậy +) Trong tam giác , có là đường trung tuyến, áp dụng kết quả bài
toán cơ bản, ta có :
+) Mà +) Thay (2) vào (1) ta được:
+) Xé́thàm số , dễ̃ tìmđược:
+) Vậy
Trang 19Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành mặt phẳng thay đổi, cắt các cạnh lần lượt tại Chứng
minh rằng :
Bài tập2: Cho tam giác đều , cạnh bằng và là trọng tâm của tam giác Một đường thẳng đi qua , cắt các cạnh lần lượt tại Chứng
minh rằng :
Bài tập 3: Cho hình chóp tam giác đều , có cạnh bằng đáy bằng Lần lượt lấy hai điểm trên các cạnh sao cho luôn vuông góc với Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của khối chóp
Bài tập4: Cho tứ diện , gọi là trọng tâm tam giác , đường thẳng qua cắt các cạnh lần lượt tại Chứng minh rằng
Bài tập5: Cho hình chóp , có đáy là hình vuông cạnh ,
và vuông góc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng đi qua và vuông góc
với , cắt lần lượt tại và Biết , tính thể tích của khối chóp
Bài tập 6: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, vuông góc với mặt phẳng đáy Biết góc giữa và bằng Lấy điểm thuộc thỏa mãn Một mặt phẳng đi qua , song song với cắt lần lượt tại Tính thể tích của khối tứ diện
Bài tập 7: Cho hình chóp và hai điểm di động trên hai cạnh
và thỏa mãn Chứng minh rằng luôn đi qua một điểm cố định Tìm giá trị nhỏ nhất của khối chóp
16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com