A MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, là môn học công cụ Nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm[.]
Trang 1A MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng,
là môn học công cụ Nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng vớiphương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn họckhác Hơn nữa, môn Toán còn góp phần phát triển nhân cách học sinh Ngoài việccung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng, môn Toán còn rèn luyện chohọc sinh các đức tính, phẩm chất của người lao động như: Tính cẩn thận, tínhchính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo…
Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy, cô giáo phải tích cựchọc tập, không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp dạyhọc theo hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh, bồidưỡng khả năng tự học, khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại sự say
mê, hứng thú học tập cho học sinh
Trong quá trình thực tế giảng dạy học sinh khối 12 trường THPT ThạchThành 2 trong những năm học đã qua và đặc biệt là năm học 2020-2021 , tôi thấyhọc sinh còn gặp rất nhiều lúng túng trong việc giải quyết một bài toán hình học
nói chung và đặc biệt là bài toán “Hình học giải tích trong không gian” nói riêng.
Bài toán hình học giải tích trong không gian là một dạng toán thường xuyên có mặttrong kỳ thi tốt nghiệp THPT và gây khó khăn cho học sinh Đây là phần tiếp nốicủa hình học không gian nhưng được nhìn dưới quan điểm đại số và giải tích Nhưvậy mỗi bài toán hình học giải tích trong không gian đều mang bản chất của mộtbài toán hình học không gian nào đó Tuy nhiên nhiều học sinh còn có tâm lý “bỏluôn, không đọc đề” với những bài toán này Một số khác chỉ quan tâm tới việc tìmlời giải của bài toán đó mà không tìm hiểu bản chất hình học của nó Chính vì các
em không phân loại được dạng toán cũng như bản chất nên nhiều khi một bài toántương tự nhau xuất hiện trong nhiều đề thi dưới các cách cho khác nhau mà họcsinh vẫn không nhận ra được dạng đó đã từng làm
Có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, nhưng theo tôi,nguyên nhân chủ yếu là khi học hình học, học sinh không để ý đến các các địnhnghĩa, các định lý và các tính chất hình học Các phương pháp giải còn mang tínhchất chủ quan, rời rạc, gặp bài toán nào thì chỉ chú trọng tìm cách giải riêng chobài toán đó mà không có một cách nhìn tổng quát Chính vì vậy dẫn đến tình trạngcác em bị lúng túng trước các cách hỏi trong một bài toán mới
Với vai trò là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để traođổi cùng các thầy cô đồng nghiệp với mong muốn tìm ra hướng giải quyết đơngiản nhất cho một bài toán, làm cho học sinh nhớ được kiến thức cơ bản trên cơ sở
đó để sáng tạo Tôi xin trình bày kinh nghiệm của mình về việc giải quyết bài toán
“Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” đó là
Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán “ Viết phương trình đường thẳng
có liên quan đến giao điểm ” trong đề minh họa và đề thi chính thức kỳ thi tốt nghiệp THPT qua các năm.
2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là tìm ra phương pháp dạy học phù hợp cho từng đốitượng học sinh, để từ đó tạo hứng thú học tập cho các em, giúp cho các em hiểu rõ
Trang 2các dạng toán và định hướng cách giải cho một bài toán, cũng từ đó giáo viên rút rakết luận và đề xuất một số biện pháp cụ thể khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượnghọc sinh, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học.
+ Các phương pháp giải bài toán “Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm”
+ Các bài tập hình học giải tích trong không gian từ các đề minh họa và đề thi chính thức kỳ thi tốt nghiệp THPT qua các năm
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quanđến việc sử dụng phương pháp tọa độ, nghiên cứu chương trình giáo khoa của bộ môn
+ Phương pháp nghiên cứu thực tế: Thông qua việc dạy và học môn hình học ởtrường THPT Thạch Thành 2, từ đó rút ra một số nhận xét và phương pháp giúp học sinh rèn luyện kỹnăng giải toán
+ Phương pháp kiểm chứng sư phạm: Tiến hành dạy và kiểm tra khả năng ứng dụng của học sinh khối 12
B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Trong học tập môn Toán thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của họcsinh là hoạt động tư duy giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảođồng thời rèn luyện phát triển trí tuệ Vì vậy, nó được quan tâm nhiều trong dạyhọc Việc hướng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, biến quá trình đào tạothành quá trình tự đào tạo là một vấn đề cần thiết Đối với môn Toán, việc rènluyện khả năng tư duy trìu tượng, tư duy logic, khả năng phân tích tổng hợp, dựđoán, tương tự hóa, khái quát hóa, biết liên hệ, xâu chuỗi kiến thức sẽ góp phầnquyết định trong việc tìm ra lời giải của một bài tập hình học nói chung và các bàitập phần phương pháp tọa độ trong không gian nói riêng Do đó trong quá trìnhhướng dẫn học sinh làm bài tập giáo viên cần quan tâm đến vấn đề phát huy khảnăng tư duy độc lập, định hướng tìm lời giải cho mỗi bài toán đồng thời tạo điềukiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho các em
Sau nhiều năm dạy học môn Toán phần hình học giải tích trong không gian
ở trường THPT Thạch Thành 2, tôi nhận thấy một số vấn đề thực trạng như sau:
+ Trường THPT Thạch Thành 2 là một trường đóng trên địa bàn miền núi, học
sinh đại đa số là con em nông thôn có đời sống khó khăn Điểm chuẩn đầu vào củatrường còn thấp, học sinh có học lực trung bình và yếu chiếm trên 60% nên việchọc toán của các em còn nhiều hạn chế Bên cạnh đó còn có nhiều học sinh đi họcvới tâm lý là chỉ để thi tốt nghiệp, không tham gia xét tuyển vào các trường ĐH,cao đẳng…
+ Khi gặp một bài toán hình học, các em thường lúng túng trong việc định hướng
tìm lời giải và đa số lựa chọn "con đường" mò mẫm, thử nghiệm, đôi khi việc thửnghiệm đó có thể đi đến kết quả hoặc không đưa ra được kết quả, rõ ràng là sẽ mấtnhiều thời gian và không nhận ra được bản chất của bài toán
2
UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 3+ Bài tập phần hình học giải tích trong không gian đa dạng và khó nên học sinh thường lúng túng khi làm bài tập phần này.
+ Khi dạy xong nội dung phương pháp tọa độ trong không gian tôi thấy đa số học sinh mớichỉ làm được một số dạng bài tập đơn giản, những bài tập mang tính suy luận, đòi hỏi khả năng vận dụng,vận dụng cao thì các em không tự mình tìm được lời giải mặc dù trước đó khi giáo viên tiến hành giảngdạy các tiết chữa bài tập các em tỏ ra khá hiểu bài Trong khi đó, các bài toán liên quan đến phần này ởcác đề thi minh họa và đề thi chính thức kỳ thi tốt nghiệp qua các năm gần đây lại đòi hỏi tính suy luậncao Để giải được những bài toán này học sinh không chỉ phải nắm được các kiến thức của hình học giảitích mà còn phải phát hiện ra “điểm nút” của bài toán, đó là các tính chất hình học ẩn chứa trong mỗi bàitoán Điều này dẫn đến kết quả làm bài của học sinh chưa được tốt
+ Khi dạy các dạng bài tập phần này, một thực tế thường xảy ra là nhiều giáo viên đi theolối mòn như: Nêu dạng toán, phương pháp giải chứ chưa phân tích cho học sinh thấy được trong bài toán
tại sao lại phải đi tìm toạ độ điểm này trước, điểm kia sau, ưu tiên đường này trước, đường kia sau, tính
độ dài các đoạn thẳng , tính các góc để làm gì? Tại sao lại kẻ thêm đường thẳng này, kẻ với mục đíchgì?
3 Các giải pháp thực hiện
Để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán hình học giải
tích trong không gian, đặc biệt là bài toán “Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài
toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng liên hệ các tính chất củahình học không gian Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theocác kiến thức hình học không gian là một điều cần thiết Việc trải nghiệm qua quátrình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán
Thực hiện theo các bước sau:
1 Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua các buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên
2 Tổ chức rèn luyện khả năng phân tích, định hướng giải toán của học sinh
3 Tổ chức kiểm tra, đánh giá để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh
4 Trong mỗi bài toán hình học giải tích trong không gian đều yêu cầu học sinh thựchiện phân tích bản chất hình học không gian cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán
5 Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện
Sau đây tôi xin giới thiệu một số phương pháp giải bài toán “Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” và những kinh nghiệm của mình
khi hướng dẫn học sinh lớp 12 áp dụng các phương pháp này vào việc ôn tập, giải các đề minh họa và các đề thi chính thức kỳ thi tốt nghiệp qua các năm.
3
UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 4Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng , biết đi qua điểm và cắt các
M B
Δ 2+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm và
Cách 3:
+ Bước 1: Gọi , là các mặt phẳng qua chứa và
+ Bước 2: Tìm tọa độ vectơ
+ Bước 3: Lập PT đường thẳng qua nhận làm VTCP
Vi du 1: Trong không gian với hệ tọa độ Cho hai đường thẳng
4
UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 5Lơi giai Cách 1: Gọi là các giao điểm của với hai đường thẳng và
Phương trình tham số của Gọi Tọa độ của là
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương
nên có phương trình là
Cách 3: Đường thẳng đi qua và có VTCP
Gọi là mp qua và chứa có VTPTĐường thẳng đi qua và có VTCP
Gọi là mp qua và chứa có VTPT Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương
Trang 6nên có phương trình là
Nhận xét: Qua VD1, ta nhận thấy trong ba cách giải trên, mỗi cách có một nét
đặc trưng riêng Cách 1 có vẻ dễ hiểu hơn hai cách còn lại, song lại có những khó
khăn đối với học sinh, đó là việc các em phải giải hệ phương trình rất phức tạp mà không phải em nào cũng giải được Chính vì vậy, ta nên định hướng cho học sinh
1
u
B
2
+ Bước 2: Sử dụng điều kiện cùng phương để tìm tọa độ điểm : nên
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng qua và có VTCP là
+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm và song song với
6
UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 7Vi du 2: (Đề minh họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
thẳng song song với đường thẳng và cắt hai đường thẳng
chỉ phương nên phương trình là
Cách 2: Gọi mặt phẳng chứa và song song Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương Đường thẳng có vectơ chỉ phương
phương trình làGọi
Đường thẳng qua điểm và song song với nên phương trình
( Hai đường thẳng ) và trùng nhau )
7
Trang 8Nhận xét: Qua hai cách giải trên, việc sử dụng cách giải nào để tiếp cận bài toán
là tùy thuộc vào cảm nhận của mỗi học sinh, tuy nhiên ta thấy trong mỗi cách đều
có những khó khăn riêng Đối với cách giải 1 học sinh phải đưa ra điều kiện cùng phương của hai vectơ, từ đó dẫn đến phải giải một hệ phương trình ba ẩn Đối với cách giải 2 học sinh sẽ khó khăn khi lập phương trình mặt phẳng , mặt phẳng chứa đường thẳng và song song hay chứa đường thẳng và song song , để từ đó khi lập phương trình đường thẳng , ta được phương trình có sẵn ở một trong bốn phương án hay phải kiểm tra xem đường thẳng vừa lập đó
có phương trình trùng với phương trình ở đáp án nào.
Bài toán 3: Viết phương trình đường thắng , biết vuông góc với mp và cắt các đường thẳng ,
Phương pháp:
Cách 1:
+ Bước 1: Tham số hóa tọa độ các giao điểm và
1 A
B 2 n
d
(P)
+ Bước 2: Sử dụng điều kiện cùng phương để tìm tọa độ điểm
nên + Bước 3: Viết phương trình đường thẳng qua và có VTCP là
Cách 2:
+ Bước 1: Viết PT mặt phẳng chứa và vuông góc với mp
+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm
2
n
d (Q) B
(P) + Bước 3: Viết PT đường thẳng qua điểm và vuông góc với mp
Ví dụ 3: (Đề minh họa 2018) Trong không gian , cho hai đường thẳng
8
UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 9phương trình là Đường thẳng vuông góc với , cắt và có
Lời giải Cách 1: Giả sử đường thẳng cắt hai đường thẳng và lần lượt tại
do đó có phương trình là
( Trùng với đường thẳng )
Trang 10Ví dụ 4: (Đề minh họa 2021) Trong không gian , cho mặt phẳng
và hai đường thẳngĐường thẳng vuông góc với đồng thời cắt cả và
có phương trình là
Lời giải
Cách 2: Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với mp
Mặt phẳng có VTPT là
trình là
làm VTCP , do đó có phương trình là
Trang 11UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 12Bài toán 4: Viết phương trình đường thắng , biết đi qua điểm , cắt đường
thẳng và vuông góc với đường thẳng
Phương pháp:
Cách 1:
+ Bước 1: Tham số hóa tọa độ giao điểm
+ Bước 2: Sử dụng điều kiện vuông góc để tìm tọa độ điểm
nên
d
A 1
+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng qua và
Cho điểm và hai đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , cắtđường thẳng và vuông góc với đường thẳng
Lơi giai Cách 1: Gọi
11
Trang 13UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 14Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳngĐường thẳngVì
là mặt phẳng qua và vuông góc với
có phương trình là Tọa độ của là nghiệm của hệ
hay
trình là
Ví dụ 6: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian , cho
, vuông góc với và cắt trục có phương trình là
Trang 15Đường thẳng qua và nhận làm VTCP nên có phươngtrình là
Cách 2: Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với Đường thẳng có VTCP là có VTPT là
Mặt phẳng có phương trình là Gọi Tọa độ của là nghiệm của hệ
hay
Đường thẳng qua , nhận làm VTCP nên có phươngtrình là
Bài toán 5: Viết phương trình đường thắng , biết đi qua điểm , cắt đường
thẳng và song song với mặt phẳng
Cách 2:
+ Bước 1: Viết PT mặt phẳng qua và song song với mặt phẳng
Trang 16+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng qua và
Vi du 7: (Đề minh họa 2020) Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho
Phương trình tham số của đường thẳng
Trang 17Phương trình tham số của đường thẳng làGọi Tọa độ của là nghiệm của hệ
hay
Đường thẳng qua , nhận làm VTCP nên có phương trình là
Bài toán 6: Viết phương trình đường thắng
của hai đường thẳng và Đường thẳngVTCP
, biết là đường vuông góc chung cóVTCP , đường thẳng có
Phương pháp:
Cách 1:
+ Bước 1: Tham số hóa tọa độ các giao điểm và
d A
u 1
1 u
B
u 2
+ Bước 3: Sử dụng điều kiện cùng phương để tìm tọa độ các điểm và
+ Bước 4: Viết phương trình đường thẳng qua và có VTCP
Trang 18UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 19+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng qua và có VTCP
Ví dụ 8: Trong không gian , cho hai đường thẳng chéo nhau
, Đường thẳng là đường vuông góc chung của
hai đường thẳng và có phương trình là
Lời giải Cách 1: Gọi và là các giao điểm của với các đường thẳng và
Đường thẳng có VTCP là Đường thẳng có VTCP là
Vì là đường vuông góc chung của hai đường thẳng và nên vectơ
là VTCP của Do đó và cùng phương
PT đường thẳng qua , có VTCP là
Cách 2:
Đường thẳng có VTCP là Đường thẳng đi qua , có VTCP là
Gọi là mặt phẳng chứa , nhận làm VTPT Phương trình của
là Gọi Tọa độ của là nghiệm của hệ
hay