(SKKN HAY NHẤT) hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian nhằm nâng cao chất lượng môn toán ở trường THPT nông cống 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LIÊN QUAN ĐẾN[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA

ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LIÊN QUAN ĐẾN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN TRONG

KÌ THI TỐT NGHIỆP Ở TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2021

1 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

MỤC LỤC

Tiêu đề TRANG BÌA

2.3 Các bước thực hiện

DẠNG 1: TÍNH GÓC1.1 Một số kiến thức cơ bản1.2 Một số ví dụ

1.3 Bài tập áp dụngDẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH2.1 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: 2.1.1 Kiến thức cơ bản

2.1.2 Một số ví dụ2.2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và 2.2.1 Kiến thức cơ bản

2.2.2 Một số ví dụ2.3 Bài tập áp dụng

C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang 1 2 3 4 4 4 4 4 6 7 7 7 7 13 14 14 14 14 18 18 19 23 24 26 27

2 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong các năm học 2019-2020, 2020-2021 tôi đều dạy lớp 12, trong thời gian

ôn tập để chuẩn bị cho đợt thi THPT quốc gia tôi nhận thấy rằng đa số học sinh cảmthấy khó khi học phần hình nhất là các phần hình liên quan đến lớp 11 như: tính góc,tính khoảng cách Đặc biệt là những bài hình cần đến sự tư duy như vẽ thêm cácđường phụ trong hình thì phần lớn học sinh gặp khó khăn, từ đó dẫn đến sự chán nản

và ít quan tâm đến môn hình học Hơn nữa trong thời gian ôn tập này học sinh phải ôntập quá nhiều môn nên mỗi lần phải ôn lại kiến thức toán của lớp 11 thì học sinh cảmthấy quá tải Các vấn đề về tính góc, tính khoảng cách chủ yếu nằm ở chương 3 củahình học 11, đa số học sinh lớp 12 đã quên đi những kiến thức trong chương này Bởivậy khi ôn tập lại phần kiến thức này trong khoảng thời gian ngắn thì đa số học sinhkhông tiếp thu được hoặc lĩnh hội một cách lơ mơ Đặc điểm của phần kiến thức này

là phải kẻ thêm những đường phụ trong hình, đây là điểm yếu khó khắc phục của phầnlớn học sinh, chỉ có những học sinh khá giỏi về môn toán mới làm được Vì thế cầnhướng dẫn các em một phương pháp tiếp cận những dạng toán này mà không phảiđụng chạm tới những điểm yếu của phần lớn học sinh

Dựa vào tình hình thực tiễn của học sinh lớp 12 của trường THPT Nông Cống

3, tôi thấy rằng các em thích học phần hình học giải tích hơn phần hình học khônggian thuần túy, bởi vì hình vẽ không quá phức tạp, việc tính toán nhiều hơn sự tư duytrên hình vẽ Chẳng hạn việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì cócông thức tính, các em khi tìm được đủ các yếu tố thì hoàn toàn tính được, còn nếutrong hình học thuần túy thì các em phải dựng hình, phải chứng minh quan hệ vuônggóc Đây thật sự là việc rất khó với nhiều học sinh

Vì vậy tôi nghĩ cần phải đưa ra giải pháp nhằm giải quyết một phần những khó

khăn mà học sinh đang gặp phải Chính vì thế tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian nhằm nâng cao chất lượng môn Toán ở trường THPT Nông Cống 3” để giải

quyết một phần những khó khăn đó Dùng phương pháp tọa độ để giải các bài toánkhông gian là một vấn đề không mới, nó được nhiều giáo viên chọn để viết sáng kiếnkinh nghiệm Trong tình hình hiện nay học sinh thi bằng hình thức trắc nghiệm, vớikiến thức rộng hơn, nên tôi muốn sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian họcsinh mới vừa học xong trong chương trình 12 để giải quyết nhiều dạng toán hình họckhông gian mà học sinh đã học ở lớp 11 trong các đề thi THPT Quốc gia năm 2020 vàtrong các đề tự luyện thi Tốt Nghiệp năm 2021

3 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Trong năm học 2019 – 2020 tôi được phân công giảng dạy bộ môn Toán

ở lớp 12C3, 12C7 trường THPT Nông Cống 3 Tôi nhận thấy: Hầu hết học sinh rất ngại

khi gặp các bài toán về hình học không gian Có rất ít học sinh có khả năng giải quyết được các bài toán

này, đa số các em không thể tự nhìn ra hướng giải quyết bài toán Thấy vậy, tôi Hướng dẫn học sinh sử

dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian và học sinh đã làm được

nhiều bài tập Năm 2020 – 2021 tôi cũng được phân công dạy bộ môn Toán ở lớp 12A6, 12A7 trường THPT

Nông Cống 3 Qua kết quả khảo sát ở lớp 12A6, 12A7 trường THPT Nông cống 3 trước khi Hướng dẫn

học sinh sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian thu được

kết quả như sau:

Lớp Điểm Giỏi SL tỷ lệ SL Điểm Khá tỷ lệ SL ĐiểmTB tỷ lệ SL Điểm Yếu tỷ lệ SL Điểm Kém

%

% Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT và giúp học sinh đạt kết quả cao trong kì thi THPT Quốc Gia 2021

sắp tới tôi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ trongkhông gian để giải một số bài toán hình học không gian nhằm nâng cao chất lượng môn Toán ở trường THPT Nông Cống 3 ” Nhằm đơn giản các bài toán về hình

học không gian đồng thời khắc sâu kiến thức về phương pháp tọa độ trong không gian để học sinh vừa giải các bài toán hình học tọa độ trong không gian một cách nhuần nhuyễn, vừa có thể giải được các bài toán hình học không gian thông thường.

2.1 Kiến thức cơ bản

Khi sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian các em học sinh cần ôn lại các kiến thức về véc tơ, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, góc giữa hai vec tơ, góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng để có thể nhanh chóng nhận dạng và tiếp cận được với phương pháp này.

2.2 Một số kinh nghiệm nhận dạng bài toán và cách chọn hệ trục tọa độ

Những bài toán hình không gian có yếu tố về hình hộp chữ nhật, hình lậpphương, hoặc hình lăng trụ đứng và cả những hình chóp đi kèm với những câu hỏi

4

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

như: chứng minh quan hệ vuông góc, tính góc, tính khoảng cách Ta có thể chuyểnsang hệ trục tọa độ để giải quyết.

Với những hình có sẵn ba cạnh đôi một vuông góc như hình hộp chữ nhật hayhình lập phương thì ta có thể chọn ngay ba cạnh đó làm ba cạnh nằm trên ba trục của

hệ trục tọa độ, sau đó dựa vào độ dài các cạnh này để chọn tọa độ các điểm Còn vớihình chóp, hình lăng trụ thì có thể dựa vào giả thiết cho hoặc suy ra từ giả thiết Chẳnghạn:

• Cho hình lập phương

với cạnh bằng … thì

ta có thể chọn được hệ trục tọa độ Oxyz saocho một trong 8 đỉnh là gốc của hệ trục,chẳng hạn ta chọn ; các cạnh

lần lượt nằm trên ba trục Ox,

Oy, Oz Khi đó chọn tọa độ các điểm là:

z

S

• Nếu giả thiết cho hình chóp đều S.ABCD thì khi đó gọi I là tâm của hình vuông ABCD,

ta có ngay ba đường đôi một vuông góc với nhau là IS, IA, IB Chọn hệ trục tọa độ

Oxyz sao cho , các đoạn IA, IB, IS lần

bên là tam giác cân hoặc tam giác đều và nằm trong

S

mặt phẳng vuông góc với đáy thì chọn trung điểmcủa cạnh đáy tam giác cân đó là gốc hệ trục tọa độ

D

Chẳng hạn hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SAB là tam giác cân

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, gọi H là trung điểm của AB Chọn hệ trụctọa độ Oxyz , Ta có hình vẽ sau:

 Còn nếu giả thiết cho hình lăng trụ tứ giác đều thì ta chọn một đỉnh là gốc của hệ trục tọa

độ còn ba cạnh có chung đỉnh đó nằm trên ba trục tọa độ (giống với cách làm đối hình hộp chữ nhật)

 Còn nếu giả thiết cho hình lăng trụ tam giác đều, chẳng hạn hình lăng trụ tam

giác đều Khi đó gọi H là trung điểm của AB và chọn H là gốc của hệ

A x

Hình lăng trụ tứ giác đều Hình lăng trụ tam giác đều

Chú ý: Với hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân, chẳng hạn hình lăng trụ

đứng có đáy ABC là tam giác cân tại C ta cũng làm hoàn toàn giống vớilăng trụ tam giác đều

 Với hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông thì hiển nhiên chọn ngay đỉnh gócvuông làm gốc của hệ trục tọa độ và ba cạnh chung đỉnh đó nằm trên ba trục tọa độ

Khi xác định tọa độ một điểm ta cần chú ý đến một số tính chất và kĩ năng sau:

- Hình chiếu của điểm A trên trục Oz là (giữ nguyên thành phần cao độ của A)

- Hình chiếu của điểm A trên (Oxy) là (giữ nguyên hoành độ và tung độ của A)

- Hình chiếu của điểm A trên (Oxz) là (giữ nguyên hoành độ và cao độ của A)

- Hình chiếu của điểm A trên (Oyz) là (giữ nguyên tung độ và cao độ của A)

2.3 Các bước thực hiện

6

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Bước 1: Khéo léo gán hệ trục tọa độ cho từng bài toán, từng hình vẽ.

Bước 2: Sử dụng các kiến thức về tọa độ trong không gian để giải và đưa

ra kết luận.

DẠNG 1: TÍNH GÓC 1.1 Một số kiến thức cơ bản

Góc giữa đường thẳng và được tính theo công thức

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng phẳng được tính theo công thức

Góc giữa hai mặt phẳng và được tính theo công thức

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

b) Ta có

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có

A, tam giác SAC cân Biết

điểm của AC, SC

a) Tính góc giữa BM và SC

vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông tại

Gọi M, N lần lượt là trung

z

S

b) Tính sin của góc giữa AN và BC

B Biết Tính góc hợp bởi đường thẳng và mặt

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Ta có ba đường BA, BB’, BC đôi một vuông góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao

Mặt phẳng có một vector pháp tuyến là Ta có

Đáp án A

Cách giải thông thường:

Gọi H là trung điểm của cạnh AC, khi đó

Nhận xét: Với cách giải thông thường thì cần phải xác định được hình chiếu

của một đường thẳng trên mặt phẳng Đây là một điểm yếu của phần lớn học sinh, nhất

là phải nhìn hình không theo chiều thuận Còn với cách giải dùng phương pháp tọa độthì với kiến thức đang học phần tọa độ trong không gian việc tính tọa độ vector chỉphương của đường thẳng và vector pháp tuyến của mặt phẳng là việc đơn giản hơn.Giáo viên không phải mất nhiều thời gian cho việc nhắc lại kiến thức lớp 11

Ví dụ 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có

Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy

S

trùng với giao điểm I của hai đường chéo và

Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng và (ABCD)

x

A B C D

Nhận xét: AC, BD, IS là ba đường đôi một vuông góc, vì vậy ta có thể dùng

chuyển sang phương pháp tọa độ Để thuận tiện cho việc chọn tọa độ ta phải đi tính độ

dài AC, BD trước

 Cách giải thông thường

Gọi là góc giữa và Giao tuyến của

(SAB) và (ABCD) là AB, gọi H là hình chiếu của I trên

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Xét tam giác vuông ABI ta có:

Vậy góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 300

Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng , cạnh bên

bằng Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy

có một vector pháp tuyến là

Gọi là góc giữa và , ta có:

.Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600

Đáp án C.

Xét (SCD) và (ABCD) Ta có CD là giao tuyến

của hai mặt phẳng , gọi E là chân đường vuông góc hạ

Nhận xét: Trong cách giải thuần túy lớp 11 có vẻ ngắn gọn hơn nhưng đòi hỏi

học sinh phải biết kẻ những đường phụ để xác định được góc giữa hai mặt phẳng, sau

đó học sinh phải có kĩ năng chứng minh quan hệ vuông góc Còn với cách giải bằngphương pháp tọa độ tuy có hơi dài nhưng học sinh không cần kẻ đường phụ mà chỉcần tính toán sau khi đã chọn tọa độ các điểm

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B và BC=2AB,

Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Lời giải:

Lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Ta có

Lời giải thông thường:

Dựng hình bình hành ABCD, do nên ABCD là hình chữ nhật Ta có

Đáp số:

Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,

và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt làtrung điểm của AB và BC Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN

(TSĐH 2008-B)

Đáp số:

Câu 3 Cho hình lập phương Gọi là số đo góc giữa hai mặt

phẳng và Mệnh đề nào sau đây đúng?

A B C D

Câu 4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng Gọi E là điểm đốixứng của điểm D qua trung điểm của SA Gọi M, N tương ứng là trung điểm của

13 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

AE, BC Gọi là góc giữa hai đường thẳng MN và BD Mệnh đề nào sau đây đúng?

A B C D

Câu 5 Cho tam giác đều SAD và hình vuông ABCD nằm trong hai mặt phẳng vuông

góc với nhau Gọi I, M, F lần lượt là trung điểm của AD, AB, SB Gọi là gócgiữa hai mặt phẳng và Mệnh đề nào sau đây đúng?

A B C D

Câu 6 Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác cân với

, góc , cạnh bên , gọi I là trung điểm của Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

và SA vuông góc với (ABCD) Gọi M, N lần lượt làhai trung điểm của AD và SC Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A B C D

DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH 2.1 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

2.1.1 Kiến thức cơ bản

Chú ý: Một số trường hợp viết phương trình của mặt phẳng cần lấy tích có

hướng

1 (P) chứa giá của hai vector và

2 (P) song song với giá của hai vector và (P) có vector pháp tuyến là

14

UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

3 (P) chứa giá của và song song với giá của

2.1.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , tam giác SAB

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Tính theo

Lời giải:

z

có ngay ba đường HB, HS, HK đôi một vuông gócnên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho

A H

-Với cách giải trong đáp án thì học sinh phải tính khoảng cách từ A đến (SCD)gián tiếp thông qua khoảng cách từ H đến (SCD) Học sinh phải có kiến thức vữngmới nhìn thấy mối quan hệ giữa khoảng cách từ A và H đến (SCD) Trong cách giảinày nhiều học sinh lúng túng trong việc dựng chân đường vuông góc hạ từ H xuống(SCD).

- Trong cách giải bằng phương pháp tọa độ nhìn có vẻ dài dòng hơn, nhưng học sinh chủyếu tính toán, không cần nhiều kĩ năng kẻ đường phụ hay chứng minh vuông góc Việc tính tọa độ tích có hướngcủa hai vector, viết phương trình mặt phẳng, tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là các kiến thứchọc sinh 12 đang học nên các em có thể sử dụng dễ dàng

Suy ra có một vec tơ pháp tuyến là

Phương trình tổng quát của :

Vậy

Cách giải thông thường

Ta có hai mặt phẳng và song song vàcắt đường chéo lần lượt tại K và I, ta có kết quả

 Nhận xét:

- Trong cách giải thông thường đòi hỏi người giải phải có kiến thức tổng hợp mới giảiđược bài toán này bởi nó đòi hỏi nhiều kiến thức đan xen, chẳng hạn: việc

chứng minh hai mặt phẳng và cắt đoạn theo ba đoạn bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,

Đường thẳng SA vuông góc với a) Tính khoảng cách từ C đến (SBD)

b) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABD đến (SBC)

17 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Mặt phẳng có một vector pháp tuyến là Phương trình mặt phẳng

Ví dụ 4:

Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABCD là hình thoi cạnh và góc

, gọi và lần lượt là hai tâm đáy ABCD và , biết

Gọi K là trung điểm của Tính khoảng cách từ O đến

Cách giải thông thường

C

D