Chương I Khối đa diện Công thức tính thể tích khối lăng trụ đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lí thuyết a Định nghĩa Một đa giác có hai mặt đáy song song và bằng nhau, mặt bên là hình bình hành thì đa giác đó g[.]
Trang 1Chương I Khối đa diện Công thức tính thể tích khối lăng trụ đầy đủ, chi tiết nhất
1 Lí thuyết
a Định nghĩa: Một đa giác có hai mặt đáy song song và bằng nhau, mặt bên là
hình bình hành thì đa giác đó gọi là hình lăng trụ
b Các tính chất hình lăng trụ:
- Các cạnh bên song song và bằng nhau
- Các mặt bên là hình bình hành
- Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau và nằm trong 2 mặt phẳng song song với nhau
c Một số loại lăng trụ thường gặp
- Lăng trụ xiên: Giống với tính chất của hình lăng trụ thông thường
Lăng trụ tam giác Lăng trụ tứ giác
- Lăng trụ đứng:
Trang 2+ Các cạnh bên vuông góc với đáy
+ Các cạnh bên chính là đường cao của nó
+ Các mặt bên là hình chữ nhật
- Lăng trụ đều:
+ Là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
+ Các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau
- Hình hộp: Là lăng trụ có đáy là hình bình hành
+ Hình hộp đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy
+ Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật + Hình lập phương là hình hộp đứng có tất cả các cạnh bằng nhau
2 Công thức tính thể tích khối lăng trụ
Trang 3- Cho khối lăng trụ có:
+ Chiều cao là h
+ Diện tích đáy là S
Khi đó thể tích: V h.S=
- Thể tích của hình hộp chữ nhật có:
+ Chiều dài a
+ Chiều rộng b
+ Chiều cao h là:
V=a.b.h
- Thể tích hình lập phương cạnh a là V= a3
3 Các dạng toán tính thể tích khối lăng trụ
Dạng 1 Tính thể tích khối lăng trụ đứng
VD1 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại B Biết
AC=a 2 và BC'=2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Trang 4Lời giải:
Ta có ABC vuông cân tại B nên AB=BC= a
ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên C'C BC⊥ Do đó BCC' vuông tại C
Áp dụng định lí Pytago ta được: CC'=a 3
Diện tích ABC bằng 1a2
2 Suy ra
3 ABC.A ' B'C ' ABC
a 3
2
VD2 Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ cạnh a Góc giữa A’B với đáy bằng 60 Tính
thể tích khối lăng trụ
Lời giải:
Do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên A 'A⊥(ABC) và ABC là tam giác đều
Ta có (A 'B, ABC( ) )=(A 'B, AB)=A 'BA=60 A'A=AB.tan 60 =a 3
Trang 5Diện tích tam giác đều ABC là
2 ABC
a 3 S
4
Do đó thể tích lăng trụ là
ABC
a 3 3a
V A 'A.S a 3
Dạng 2 Tính thể tích của khối lăng trụ xiên
VD1 Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Cạnh bên
bằng a 3 và hợp với đáy một góc bằng 45 Thể tích của lăng trụ bằng?
Lời giải:
Gọi hình chiếu vuông góc của C’ xuông (ABC) là H
Khi đó (C'C, ABC( ) )=(C'C,HC)=C'CH=45 C'H C'C.sin 45 a 6
2
Diện tích tam giác ABC là
2 ABC
a 3 S
4
Suy ra thể tích lăng trụ là
ABC
a 6 a 3 3a 2
V C 'H.S
VD2 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình
chiếu vuông góc của A’ xuống (ABC) là trung điểm H của AB Mặt bên (ACC’A’) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Lời giải:
Trang 6Trong (ABC) kẻ HK⊥AC
Ta có: AC HK AC A 'K
AC A 'H
⊥
Khi đó góc giữa (ABC) và (ACC’A’) là góc giữa HK và A’K là A'KH 60=
Xét tam giác AHK vuông tại K có A=60 ; AH a
2
4
Xét tam giác A’HK vuông tại H có K 60= A 'H HK.tan 60 3a
4
Diện tích tam giác ABC là
2 ABC
a 3 S
4
Suy ra thể tích lăng trụ là
ABC
3a a 3 3a 3
V A 'H.S
3 Luyện tập
Bài 1 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A; AB= , a
AC=2a 2 Khoảng cách từ A đến mp (A’BC) bằng a 3
2 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
Bài 2 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a
BAD=60 ; AC'=2a Tính thể tích lăng trụ ABCD.A’B’C’D’
Trang 7Bài 3 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B; AB=a Hình chiếu của A’ lên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AC sao cho HC=2HA Mặt bên (ABB'A ') tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Bài 4 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh
bên AA’ = a Hình chiếu của A’ trên mp (ABCD) trùng với trung điểm I của cạnh
AB Gọi K là trung điểm BC Tính thể tích khối chóp A’.IKD
Bài 5 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu H của
A’ lên mp (ABC) trùng với trung điểm của BC Góc giữa mp (A’ABB’) và đáy bằng 60 Tính thể tích khối tứ diện ABCA’