Chương I Khối đa diện Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lí thuyết Định nghĩa hình chóp Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung[.]
Trang 1Chương I Khối đa diện
Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất
1 Lí thuyết
- Định nghĩa hình chóp: Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh Đỉnh này được gọi là đỉnh của chóp
- Có 2 loại chóp phổ biến là chóp tam giác và chóp tứ giác
Chóp tam giác Chóp tứ giác
- Chú ý:
+ Đường cao của hình chóp là đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với đáy
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy
+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống cạnh đáy của mặt bên đó
+ 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của chúng vuông góc với đáy
2 Công thức tính thể tích khối chóp
Cho khối chóp có đường cao là h
Trang 2Diện tích đa giác đáy là S
Khi đó thể tích V 1h.S
3
=
3 Thể tích một số khối chóp đặc biệt
a Khối tứ diện đều: Là khối chóp có tất cả các cạnh bằng nhau
Tất cả các mặt đều là các tam giác đều Chân đường cao là trọng tâm của đáy
Bài toán: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Tính thể tích tứ diện ABCD
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Do ABCD là tứ diện đều nên AG ⊥(BCD)
Trang 3BCD
S
4
Suy ra
ABCD
Vậy thể tích khối tứ diện đều là:
3
V
12
=
b Khối chóp tam giác đều
- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đáy là tam giác Chân đường cao
là trọng tâm của tam giác đáy
Bài toán 1: Cho khối chóp S.ABC đều, đáy ABC là tam giác đều cạnh a Cạnh bên
bằng a 2 Tính thể tích khối chóp
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Ta có SG⊥(ABC)
2
ABC
S
4
Trang 4
Bài toán 2: Cho khối chóp S.ABC đều có đáy ABC là tam giác vuông tại B.
AB=a; BC=a 3 Các cạnh bên tạo với đáy góc 60 Tính VS.ABC
Lời giải:
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Do ABC vuông tại B nên O là trung điểm của AC
Ta có (SA, ABC( ) )=(SA,OA)=SAO=60
Áp dụng định lí pytago cho ABC ta được AC=2aSO=a 3
c Khối chóp tứ giác đều
- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau Đáy là hình vuông, chân đường cao là tâm của hình vuông
Bài toán: Cho khối chóp đều S.ABCD đáy vuông cạnh a Các cạnh bên dài 2a
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Trang 5Lời giải:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Ta có SO⊥(ABCD)
a 2
2
= = Áp dụng pytago cho SOD ta được SO a 14
2
= Diện tích ABCD là a2
3 2 S.ABCD
d Chóp tam giác có 3 cạnh bên đôi một vuông góc
- Giả sử 3 cạnh bên có độ dài lần lượt là a, b và c Khi đó thể tích khối chóp này là:
1
6
=
d Khối tứ diện gần đều
- Là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau
Bài toán: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a; AC=BD=b và AD=BC=c Tính thể tích khối tứ diện ABCD
ABCD
2
12
4 Công thức tỉ số thể tích
Bài toán: Cho hình chóp S.ABC Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm
A'; B'; C'
Trang 6Khi đó tỉ số thể tích:
S.A ' B 'C '
S.ABC
VD1 Cho hình chóp S.ABC có thể tích là 120
Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy M, N, Q sao cho: MA=2SM; NB 3SN=
và QC=4SQ Tính thể tích khối chóp S.MNQ?
Lời giải:
Từ giả thiết ta có: SM 1
SA =3; SN 1
SB = 4; SQ 1
SC = 5
Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có: S.MNQ
S.ABC
V = SA SB SC =60
Trang 7Suy ra VS.MNQ 1 VS.ABC 2
60
VD2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B SA⊥(ABC) và
SA=2a; AB=a; BC=a 3 Lấy M trung điểm SA và N trung điểm SB
a Tính thể tích khối chóp S.ABC
b Tính thể tích khối đa diện
Lời giải:
a Diện tích ABC là
2 ABC
S
2
Suy ra
S.ABC
b Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:
S.MNC
S.ABC
12
Do đó
3 ABCMN S.ABC S.MNC
4
- Chú ý: Khi áp dụng phương pháp tỉ số thể tích ta chỉ được áp dụng cho khối
chóp tam giác Nếu không là khối chóp tam giác thì ta nên chia khối chóp đã cho thành các khối chóp tam giác để có thể dùng được phương pháp thể tích
Trang 8S.MNPQ S.MNP S.MPQ
S.MNP
S.ABC
S.MPQ
S.ACD
5 Luyện tập
Dạng 1 Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Bài 1 Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông tại B AC=a 2, CB= SA a vuông góc với đáy và SA=2a Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 2 Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a SA vuông góc với đáy
Góc giữa SC và đáy bằng 45 Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a SA vuông góc với đáy và góc
giữa (SBD) và (ABCD) bằng 60 Tính VS.ABCD
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có AD=2a; AB= Hai mặt a phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Khoảng cách từ A đến mp (SCD) bằng a 3
2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Trang 9Dạng 2 Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a Mặt bên SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D Tam
giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết
1
2
= = và góc giữa SC với đáy bằng 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Dạng 3 Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau
Bài 1 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Khoảng
cách từ A đến (SBC) bằng a 3
19 Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC Đáy ABC vuông tại B,
AB=a; BAC=60 M là trung điểm SA Khoảng cách từ M đến (SBC) bằng
a 19
19 Tính thể tích khối chóp S.ABC
Dạng 4 Tỉ số thể tích
Bài 1 Cho tứ diện ABCD Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC
Tính thể tích của khối tứ diện AB’C’D’ biết thể tích của ABCD là 100
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a SA vuông góc với đáy Góc giữa
SC và đáy bằng 60 Lấy A’ trên SA sao cho SA ' 1SA
3
= Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’ Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’