Chương II Mặt nón Mặt trụ Mặt cầu Công thức tính thể tích khối cầu 1 Công thức tính thể tích khối cầu Khối cầu bán kính r có thể tích là 34 V πr 3 = Chú ý Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể t[.]
Trang 1Chương II Mặt nón Mặt trụ Mặt cầu Công thức tính thể tích khối cầu
1 Công thức tính thể tích khối cầu
- Khối cầu bán kính r có thể tích là
3 4
3
=
- Chú ý: Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó
2 Một số ví dụ
VD1 Tính thể tích của khối cầu có bán kính bằng 5
Lời giải:
Thể tích khối cầu đã cho là V 4π.53 500π
VD2 Cho mặt cầu có diện tích là 96πa2 Tính thể tích của khối cầu đó
Lời giải:
Diện tích mặt cầu là S=4πr2 =96πa2 =r 2 6a
Suy ra thể tích khối cầu là: 4 ( )3
3
VD3 Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu Biết
SA=a; SB=2a; SC= và 3 cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc Tính diện tích a mặt cầu và thể tích khối cầu đó
Lời giải:
Trang 2Ta có: SA SB SA (SBC)
⊥
Do SBC là tam giác vuông nên trung điểm M của BC là tâm đường tròn ngoại tiếp
Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với (SBC) // SA
Kẻ đường trung trực d của SA d qua trung điểm N của SA và cắt tại O
Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC
Tứ giác SNOM có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật
Ta có BC SB2 SC2 a 13 SM a 13
2
2 2
r
Diện tích mặt cầu là
2
2
a 14
2
Thể tích mặt cầu là
3
3
Trang 3VD4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc
60 Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình chóp đó
Lời giải:
Gọi M là trung điểm BC
Gọi H là chân đường cao của hình chóp khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC HM a 3
6
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp S.ABC I SH
Ta có:
a
SH HM.tan 60
2
Do I là tâm mặt cầu nội tiếp nên
r=d I, ABC =d I, SBC IH=IK MI là phân giác SMH
Theo tính chất phân giác ta có: IS SM SH SM HM
+
2 2
HM +
Trang 4Do đó: SH 3 r IH a
Vậy thể tích khối cầu là
3 3