50 bài toán về tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ (có đáp án 2022) – toán 12

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải I LÝ THUYẾT 1 Tích vô hướng của hai vectơ a) Tích vô hướng của hai vectơ Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ ( )1 2 3a a ;a ;a=[.]

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải

I LÝ THUYẾT

1 Tích vô hướng của hai vectơ

a) Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ a =(a ;a ;a1 2 3) và

( 1 2 3)

b= b ;b ;b được xác định bởi công thức:

a.b=a b +a b +a b

b) Ứng dụng của tích vô hướng

+ Cho vectơ a =(a ;a ;a1 2 3), khi đó độ dài của vectơ a được tính theo công thức:

a = a +a +a

+ Cho hai điểm A x ; y ;z( A A A) và B x ; y ;z( B B B) Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ AB Do đó ta có

AB= (x −x ) +(y −y ) +(z −z )

+ Cho vectơ a =(a ;a ;a1 2 3) và b=(b ;b ;b1 2 3) Khi đó góc giữa hai vectơ a và b

được tính theo công thức:

cos(a, b)

+ + + + (với a, b0)

+ Hai vectơ vuông góc: Cho vectơ a =(a ;a ;a1 2 3) và b=(b ;b ;b1 2 3) Khi đó:

a⊥ b a.b= 0 a b +a b +a b =0

2 Tích có hướng của hai vectơ

a) Tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a=(a ;a ;a )1 2 3 , b=(b ;b ;b )1 2 3 Tích có hướng

của hai vectơ a và b, kí hiệu là a, b  , được xác định bởi

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là

một số

b) Tính chất của tích có hướng:

[a, b]⊥a; [a, b]⊥b

a, b b,a

  = − 

i , j k; j, k i ; k, i j

+ Độ dài của vectơ tích có hướng u, v = u v sin(u, v)

+ Hai vectơ u; v cùng phương u, v=0 (0;0;0).

+ Ba vectơ a; b; c đồng phẳng khi a,b c  = 0

Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3 vectơ AB; AC; AD

không đồng phẳng hay AB,AC AD 0   và 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi AB,AC AD 0

3 Ứng dụng của tích có hướng:

Ta sử dụng tích có hướng để tính:

+) Diện tích hình bình hành ABCD:

ABCD

S = AB, AD

+) Diện tích tam giác ABC:

ABC

1

+) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:

ABCD.A ' B'C' D'

V = [AB, AD].AA

+) Thể tích tứ diện ABCD:

ABCD

1

6

=

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

1 Tích vô hướng của hai vectơ

Dạng 1: Tính biểu thức tọa độ tích vô hướng

Phương pháp giải: Cho hai vectơ a =(a ;a ;a1 2 3) và b=(b ;b ;b1 2 3), khi đó:

a.b=a b +a b +a b

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho u = −( 1;3;2), v= − −( 3; 1;2) Khi đó u.v bằng

A 10

B 2

C 3

D 4

Hướng dẫn giải

( ) ( ) ( )

u.v= −1 − +3 3 − +1 2.2= − + =3 3 4 4

Chọn D

Dạng 2: Tính độ dài của một vectơ

Phương pháp giải: Cho vectơ a =(a ;a ;a1 2 3), khi đó độ dài của vectơ a được tính theo công thức:

a = a +a +a

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho vectơ a =(2;4;1) Độ dài vectơ a là

A 21

B 7

C 21

D 7

Hướng dẫn giải:

Độ dài vectơ a là 2 2 2

a = 2 +4 +1 = 21

Chọn A

Dạng 3: Khoảng cách giữa hai điểm

Phương pháp giải: Cho hai điểm A x ; y ;z( A A A) và B x ; y ;z( B B B) Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ AB Do đó ta có

AB= (x −x ) +(y −y ) +(z −z )

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3), trên trục Oz

lấy điểm M sao cho AM= 5 Tọa độ của điểm M là

A M (0; 0; 3)

B M (0; 0; 2)

C M (0; 0; -3)

D M (0; 3; 0)

Hướng dẫn giải

Do MOzM (0; 0; m)

AM= 0 1− + 0−2 + m 3− = (m 3)− + 5

Mặt khác AM= 5 nên

( )2 2

(m 3)− + =5 5 m 3− + = 5 5 m – 3 = 0  m = 3

Suy ra M (0; 0; 3)

Chọn A

Dạng 4: Góc giữa hai vectơ

Phương pháp giải: Cho vectơ a =(a ;a ;a1 2 3) và b=(b ;b ;b1 2 3) Khi đó góc giữa hai vectơ a và b được tính theo công thức:

cos(a, b)

+ + + + (với a, b0)

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1)

và D (-2; 1; -1) Tính góc giữa hai vectơ AB và CD

A 45 0

B 60 0

C 90 0

D 135 0

Hướng dẫn giải

Gọi  là góc tạo bởi hai vectơ AB và CD

Ta có: AB= −( 1;1;0 , CD) = −( 2;1; 2− Khi đó: )

( )2 2 2 ( )2 2 ( )2

cos cos AB,CD

2

0

45

  =

Chọn A

Dạng 5: Tìm điều kiện để hai vectơ vuông góc

Phương pháp giải: Cho vectơ a =(a ;a ;a1 2 3) và b=(b ;b ;b1 2 3) Khi đó:

a⊥ b a.b= 0 a b +a b +a b =0

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vec tơ a = −( 1;1;0),

b= 1;1;0 và c=(1;1;1) Mệnh đề nào dưới đây sai?

A c⊥b

B c = 3

C a ⊥b

D a = 2

Hướng dẫn giải

Ta kiểm tra lần lượt từng đáp án:

c.b 1.1 1.1 1.0= + + = 2 0 Suy ra c không vuông góc với b Do đó A sai

Có thể kiểm tra thêm 3 đáp án còn lại:

c = 1 + + =1 1 3 Do đó B đúng

a.b= −1.1 1.1 0+ + =0 Suy ra a ⊥b Do đó C đúng

( )2 2 2

a = −1 + +1 0 = 2 Do đó D đúng

Chọn A

2 Tích có hướng của hai vectơ

Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích

khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương

Dạng 1: Tính tích có hướng của hai vectơ

Phương pháp giải: Cho hai vectơ a =(a ;a ;a1 2 3) và b=(b ;b ;b1 2 3), khi đó:

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a =(3;2;1 ,) b=(3;2;5) Khi đó a,b  có tọa độ bằng

A (8; 12;5− )

B (8; 12;0− )

C (0;8;12)

D (0;8; 12− )

Hướng dẫn giải

a 3;2;1

b 3;2;5

=





=

 a,b=(2.5 2.1; 1.3 3.5; 3.2 3.2− − − ) =(8; 12;0− )

Chọn B

Dạng 2: Tìm điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Phương pháp giải: a, b và c đồng phẳng  [a, b].c=0

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ

a = 1;m;2 ; b= m 1;2;1 ; c+ = 0;m−2;2 Giá trị của m để a, b, c đồng phẳng

là

A 2

5

B 2

5

−

C 1

5

D 1

Hướng dẫn giải

Ta có

a,b m.1 2.2; 2 m 1 1.1; 1.2 m 1 m m 4; 2m 1; m m 2

Để a, b, c đồng phẳng thì

2

5

Chọn A

Dạng 3: Tính diện tích một số hình phẳng

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau:

+) Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = AB, AD

+) Diện tích tam giác ABC : SABC 1 AB, AC

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1; 2;

1), B (2; 1; 3) và C (3; 2; 2) Diện tích tam giác ABC bằng

A 11

2

B 3

C 13

2

D 14

2

Hướng dẫn giải

AB 1; 1;2

AB, AC 1.1 2.0; 2.2 1.1; 1.0 2 1 1;3;2

AC 2;0;1

=



( )2 2 2

+) S ABC 1 AB, AC 14

Chọn D

Dạng 4: Tính thể tích khối hộp và tứ diện

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau:

+) Thể tích khối hộp ABCD A’B’C’D’:

ABCD.A ' B'C' D'

V = [AB, AD].AA

+) Thể tích tứ diện ABCD:

ABCD

1

6

=

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A (1; 2;

1), B (2; 1; 3), C (3; 2; 2), D (1; 1; 1) Thể tích của tứ diện ABCD bằng

A 1

B 2

C 1

2

D 3

Hướng dẫn giải

AB 1; 1;2

AC 2;0;1

=

( ) AB,AC AD 1.0 3 1 2.0 3

ABCD

Chọn C

III BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 0; 2), B (2; 1;

-1) Độ dài của đoạn thẳng AB là

A 2

B 18

C 2 7

D 3

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a=(1;−2; 0) và

b= −2; 3;1 Khẳng định nào sau đây là sai?

A a.b= −8

B a+ = −b ( 1;1; 1− )

C b = 14

D 2a=(2;−4; 0)

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a=(2;4; 2− và )

b= 3; 1;6− Tính P = a.b

A P = -10

B P = -40

C P = 16

D P = -34

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a=(2;1;0) và

b= −1;0; 2− Tính cos a, b ( )

cos a, b

25

= −

cos a, b

5

= −

cos a, b

25

=

cos a, b

5

=

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a =(1; 2;1 ,− ) b=(2; 4;2− ) Khi đó a,b  có tọa độ bằng

A (0 ; 0 ; 0)

B (1 ; 1 ; 1)

C (2 ; 8 ; 2)

D (1 ; -2 ; 1)

Câu 6: Cho bốn véc tơ a = −( 1;1;0), b=(1;1;0), c=(1;1;1), d=(2;0;1) Chọn mệnh

đề đúng

A a, b, c đồng phẳng

B a, b, d đồng phẳng

C a, c, d đồng phẳng

D d, b, c đồng phẳng

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A (1; 1; 1), B

(4; 3; 2), C (5; 2; 1) Diện tích tam giác ABC là

A 42

4

B 42

C 2 42

D 42

2

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (1; 0; 1), B (2; 0; -1), C (0; 1; 3), D (3; 1; 1) Thể tích khối tứ diện ABCD là

A V 2

3

=

B V 4

3

=

C V = 4

D V = 2

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có

A (-1; 0; 2), B (1; 1; -1), D (0; 1; 1), A’ (2; -1; 0) Thể tích V của khối hình hộp ABCD A’B’C’D’ là

A V = 1

B V = 4

C V = 5

D V = 6

Câu 10: Cho ba vectơ a =(4;2;5 , b) =(3;1;3 ,c) =(2;0;1) Chọn mệnh đề đúng:

A Ba vectơ đồng phẳng

B Ba vectơ không đồng phẳng

C Ba vectơ cùng phương

D c=   a, b

ĐÁP ÁN Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp

án

D B A B A C D A C A