Các dạng toán về phương trình đường thẳng và cách giải I LÝ THUYẾT 1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng Vectơ a khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a song[.]
Trang 1Các dạng toán về phương trình đường thẳng và cách giải
I LÝ THUYẾT
1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng
- Vectơ a khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a song song hoặc trùng với đường thẳng d
- Nếu a là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ ka với k cũng là 0 vectơ chỉ phương của đường thẳng d đường thẳng d có vô số vectơ chỉ phương
và các vectơ chỉ phương này cùng phương
- Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương a của nó
2 Phương trình tham số – Phương trình chính tắc của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0(x ; y ;z0 0 0) và có vectơ chỉ phương a =(a ;a ;a1 2 3) (với a12 +a22 +a32 0 ) là phương trình có dạng
0 1
0 2
0 3
x x a t
d : y y a t
z z a t
= +
= +
= +
trong đó t là tham số
- Nếu a a a1 2 3 thì ta có thể viết phương trình đường thẳng d dưới dạng chính tắc 0
x x y y z z
d :
II PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1: Xác định vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng
Phương pháp giải:
Đường thẳng 00 ( )
0
x x at (d) : y y bt t
z z ct
= +
= +
, hoặc x x0 y y0 z z0
(d) :
thì d đi
qua M x ; y ;z( 0 0 0) và có 1 VTCP u=(a;b;c)
u là 1 VTCP của d thì ku cũng là 1 VTCP của d
Trang 2Một số dạng thường gặp:
+) d qua hai điểm A, B thì AB là 1 VTCP của d
+) ( ) ( )d ⊥ P : Ax + By + Cz + D = 0 thì (A; B; C) là 1 VTCP của d
+) ( ) ( )d mà ( ) có VTCP u thì u cũng là 1 VTCP của d
+) ( ) ( ) ( )d = P Q thì u= n ,nP Q là 1 VTCP của d
+) ( ) ( )d ⊥ d1 và ( ) ( )d ⊥ d2 thì
1 2
d d
u= u ,u là 1 VTCP của d
+) ( ) ( )d P và ( ) ( )d ⊥ thì u= n ,uP là 1 VTCP của d
Ví dụ 1: Trong không gian cho A (1; 1; 0) và B (0; 1; 2) Vectơ nào sau đây là một VTCP của đường thẳng AB?
A c=(1;2 2; )
B a =(−1;0;2)
C b= −( 1;1;2)
D d= −( 1;0; 2− )
Hướng dẫn giải:
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là AB= −( 1;0;2)
Chọn B
Ví dụ 2: Cho (P): 3x – y + 2z – 7 = 0 và (Q): x + 3y – 2z + 3 = 0 Biết d là giao tuyến của (P) và (Q), một VTCP của d là:
A u = −( 2; 4;5)
B u =(3; 1; 2− )
C u =(1;3; 2− )
Trang 3D u =(5; 4; 2− )
Hướng dẫn giải:
(P) có vectơ pháp tuyến là n( )P =(3; 1;2− )
(Q) có vectơ pháp tuyến là n( )Q =(1;3; 2− )
Vì d là là giao tuyến của (P) và (Q) nên ta có
u =n ,n = −4;8;10 = −2 2;4;5
Ta chọn VTCP là u = −( 2; 4;5)
Chọn A
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết vectơ chỉ phương
Phương pháp giải:
a) Loại 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M x ; y ;z( o o o) và có vectơ chỉ phương u=(u ;u ;u1 2 3)
+) Phương trình tham số của đường thẳng là:
o 1
o 2
o 3
x x u t
y y u t
z z u t
= +
= +
= +
(t )
+) Phương trình chính tắc của đường thẳng là: 0 o o
x x y y z z
b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B
+) Xác định vectơ chỉ phương của là u =AB
+) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A và có VTCP là AB
c) Loại 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và song song với
đường thẳng d
+) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng là u =ud
Trang 4+) Viết phương trình đường thẳng qua điểm M và có VTCP là u
Chú ý: Các trường hợp đặc biệt
Nếu đường thẳng song song với trục Ox thì có VTCP là u = =i (1; 0; 0)
Nếu đường thẳng song song với trục Oy thì có VTCP là u = =j (0; 1; 0)
Nếu đường thẳng song song với trục Oz thì có VTCP là u = =k (0; 0; 1) d) Loại 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với
mặt phẳng ( )
+) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng là u =n
+) Viết phương trình đường thẳng qua điểm M và có VTCP là u
Chú ý: Các trường hợp đặc biệt
Nếu vuông góc với mặt phẳng (Oxy) thì có VTCP là u = =k (0;0;1)
Nếu vuông góc với mặt phẳng (Oxz) thì có VTCP là u = =j (0;1;0)
Nếu vuông góc với mặt phẳng (Oyz) thì có VTCP là u = =i (1;0;0)
Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (1; 2; -3) và có vectơ chỉ phương u=(3; 2;7− )
A.
x 1 3t
y 2 2t
z 3 7t
= +
= −
= − +
B.
x 3 t
z 7 3t
= +
= − +
= −
C.
y 2 2t
z 1 3t
= − +
= −
= +
Trang 5x 1 3t
y 2 2t
z 3 7t
= +
= +
= +
Hướng dẫn giải:
Phương trình tham số của đường thẳng là:
x 1 3t
y 2 2t
= +
= −
= − +
Chọn A
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (2; 3; -1), B (1; 2; 4), phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B là
A.
x 2 t
y 3 2t
z 1 4t
= +
= +
= − +
B.
x 1 2t
y 2 3t
z 4 t
= +
= +
= −
C.
x 2 t
y 3 t
z 1 5t
= −
= −
= − +
D.
y 1 3t
z 5 t
= − +
= − +
= −
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm A và nhận AB= − −( 1; 1;5) làm vectơ chỉ phương
Trang 6Nên phương trình đường thẳng d là:
x 2 t
y 3 t
z 1 5t
= −
= −
= − +
Chọn C
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hãy viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm M (4; -2; 2) và song song với đường thẳng d :x 2 y 5 z 2
A.
x 4 4t
z 2 3t
= +
= − +
= +
B.
x 4 4t
y 2 2t
z 3 2t
= +
= −
= +
C.
x 4 2t
y 2 5t
z 2 2t
= −
= − +
= +
D.
x 2 4t
y 5 2t
z 2 2t
= +
= −
= +
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ud =(4;2;3 )
Vì đường thẳng song song với đường thẳng d nên u =ud =(4;2;3 )
Vì đi qua điểm M nên ta có phương trình đường thẳng là:
x 4 4t
y 2 2t
z 2 3t
= +
= − +
= +
Chọn A
Trang 7Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm A (-2; 4; 3) và vuông góc với mặt phẳng ( ) :2x – 3y + 6z + 19 =
0
A. x 2 y 4 z 3
−
B. x 2 y 3 z 6
C. x 2 y 4 z 3
−
D. x 2 y 3 z 6
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng ( ) có vectơ pháp tuyến là n =(2; 3;6− )
Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( ) nên u =n =(2; 3;6− )
Vì đi qua điểm A (-2; 4; 3) nên phương trình đường thẳng là:
−
Chọn C
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt d 1 và thỏa mãn điều kiện khác
a) Loại 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M x ; y ;z( o o o), vuông góc và cắt đường thẳng d
Phương pháp giải:
Gọi H= ( ) d
Tìm tọa độ điểm H từ điều kiện MH.ud =0
là đường thẳng đi qua 2 điểm M và H
Trang 8Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (2; 3; -1) và đường
thẳng ( ) x y z 3
−
= = Gọi là đưởng thẳng qua M, vuông góc và cắt d Viết phương trình của
−
−
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ud =(2;4;1)
Gọi N là giao điểm của và d Vì N d N (2t; 4t; 3 + t)
Suy ra MN=(2t−2; 4t−3; t+4)
Vì ⊥ d MN.ud =0
7
7 7 7
= − − = − −
Suy ra có một vectơ chỉ phương là u =(6;5; 32− ) Mà đi qua M nên phương trình đường thẳng ( ) x 2 y 3 z 1
:
−
Chọn C
b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A vuông góc với
đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d 2
Trang 9Phương pháp giải:
Gọi B= d2
Tìm tọa độ điểm B từ điều kiện
1
d AB.u = 0
là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; -1; 3) và hai đường
thẳng: d :1 x 4 y 2 z 1, d :2 x 2 y 1 z 1
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d 2
A. x 1 y 1 z 3
B. x 1 y 1 z 3
C. x 1 y 1 z 3
D. x 1 y 1 z 3
−
Hướng dẫn giải:
x 2 t
M d d , d : y 1 t M t 2, t 1, t 1
z 1 t
= +
= +
Đường thẳng d nhận AM= + −(t 1; t; t− là một VTCP 2)
Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là u1 =(1;4; 2 − )
Ta có: d⊥ d1 AM.u = + − −0 (t 1) 4t 2 t( −2)= 0
t 1 AM 2; 1; 1
Trang 10Đường thẳng d qua A (1; -1; 3) và nhận AM=(2; 1; 1− − là một VTCP nên )
phương trình đường thẳng d là d :x 1 y 1 z 3
− = + = −
− −
Chọn C
Loại 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cắt hai đường
thẳng d1 và d 2
Phương pháp giải:
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và d1, d và d2
Đường thẳng d đi qua M nên A, B, M thẳng hàng
MA, MB
cùng phương MA=kMB Từ đó tìm ra A và B
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2; -1; -6) và hai
đường thẳng d :1 x 1 y 1 z 1
− = − = +
d :
Đường thẳng đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 tại hai điểm A, B Độ dài đoạn thẳng
AB bằng
A 38
B 2 10
C 8
D 12
Hướng dẫn giải
Vì A thuộc d :1 x 1 y 1 z 1
− = − = +
− nên A (1 + 2t; 1 – t; -1 + t)
Vì B thuộc d :2 x 2 y 1 z 2
= = nên B (-2 + 3t’; -1 + t’; 2 + 2t’)
Suy ra MA=(2t 1;2− −t;5+ , t) MB= − +( 4 3t ; t ;8 +2t)
Trang 11Ta có A, B, M thẳng hàng khi và chỉ khi
2t 1 k 3t ' 4 t 1
1
t 5 k 2t ' 8
k 2
Với t = 1, t’ = 2 ta được A (3; 0; 0), B (4; 1; 6), suy ra
AB= 4 3− + +1 6 = 38
Chọn A
III BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1: Trong không gian cho đường thẳng
x 3 2t
d : y t
z 2
= +
= −
=
Một vectơ chỉ phương
của d là:
A u =(2; 1;2− )
B u=(3;0;2)
C u=(2;0;2)
D u =(2; 1;0− )
Câu 2: Trong không gian cho M (1; 2; 3) Gọi M , M1 2 lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy Vectơ nào sau đây là VTCP của M M1 2 ?
A u=(0;2;0)
B u =(1;2;0)
C u=(1;0;0)
D u= −( 1;2;0)
Trang 12Câu 3: Trong không gian cho điểm A (0; 1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + z – 4 =
0 Đường thẳng qua A, cắt
x 2 t
d : y 4t
z 3
= +
= −
=
và song song với (P) có một VTCP là:
A u =(2; 1;1− )
B u = ( 1;3;1 )
C u =(1;1; 1− )
D u =(2; 2;1)
Câu 4: Trong không gian cho đường thẳng d có phương trình x 2 y z 1
= =
Một vectơ chỉ phương của d là
A u =(0;2;1)
B u= −( 2;0; 1− )
C u = −( 1;2;3)
D u=(1;2;3)
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (3; -2; 0), B (1; 1; 4), C (-5; 3; 2), viết phương trình đường thẳng AM với M là trung điểm của đoạn thẳng BC
A. x 3 y 2 z
B. x 3 y 2 z
−
C. x 3 y 2 z
−
D. x 3 y 2 z
−
Trang 13Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hãy viết phương trình đường thẳng d
đi qua điểm M (5; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy)
A.
x 5 t
y 1 t
z 3
= +
= − +
=
B.
x 5
z 3 t
=
= −
= +
C.
x 5t
z 1 3t
=
= −
= +
D.
x 1 5t
y 1 t
z 3t
= +
= −
=
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 4), B (-1; 5;
1), C (3; 2; 1) và mặt phẳng ( ) : - x + 4y – 2z + 6 = 0 Phương trình nào dưới đây
là phương trình của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với ( )
A x 1 y 3 z 2
+ = + = +
B x 1 y 4 z 2
C x 1 y 4 z 2
D x 1 y 3 z 2
− = − = −
Trang 14Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho d :x y z 3,
+
= = điểm A
(3; 2; 1) Viết phương trình đường thẳng qua A, cắt đồng thời vuông góc với
đường thẳng d
A.
x 3 3t
y 2 5t
z 1 4t
= +
= −
= +
B
x 1 3t
y 1 5t
z 1 4t
= +
= −
= +
C.
x 1 9t
y 1 10t
z 1 22t
= +
= −
= +
D
x 3 9t
y 2 10t
z 1 22t
= +
= −
= +
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của
đường thẳng đi qua điểm M (-1; 2; -3) và song song với đường thẳng
A.
y 2 2t
z 3 3t
= − +
= +
= − +
B.
x 1 2t
y 2 2t
z 3 3t
= +
= +
= +
Trang 15y 2 2t
z 3 3t
= − +
= −
= − −
D
y 2 2t
z 3 3t
= − +
= +
= − −
Câu 10: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A (3; -1; -4)
cắt trục Oy và song song với mặt phẳng (P): 2x + y = 0
A.
−
B.
C.
−
D
ĐÁP ÁN
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp
án
D D B C D B D D A C