Mặt nón và phương pháp giải bài tập I Lý thuyết ngắn gọn 1 Định nghĩa mặt nón Cho đường thẳng ∆ Xét một đường thẳng l cắt ∆ tại O và không vuông góc với ∆ Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế[.]
Trang 1Mặt nón và phương pháp giải bài tập
I Lý thuyết ngắn gọn
1 Định nghĩa mặt nón
Cho đường thẳng ∆ Xét một đường thẳng l cắt ∆ tại O và không vuông góc với ∆ Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế khi quay quanh ∆ gọi là mặt nón tròn
xoay (hay mặt nón)
+ ∆ gọi là trục của mặt nón
+ l gọi là đường sinh của mặt nón
+ O gọi là đỉnh của mặt nón
- Nếu gọi là góc giữa l và ∆ thì 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón
(0 2 180 )
- Nếu M là một điểm tùy ý của mặt nón khác điểm O thì đường thẳng OM nằm hoàn toàn trên mặt nón đó OM cũng được gọi là đường sinh của mặt nón đó
2 Hình nón và khối nón
- Cho mặt nón (N) với trục ∆, đỉnh O và góc ở đỉnh 2 Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với ∆ tại I khác O Mặt phẳng (P) cắt mặt nón theo đường tròn tâm I Lại gọi (P’) là mặt phẳng vuông góc với ∆ tại O
Trang 2Khi đó, phần của mặt nón (N) giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (P’) cùng với hình
tròn tâm I xác định được gọi là hình nón
- Khối nón: Một hình nón chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần
bên ngoài của nó Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón
3 Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng
a Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau
xảy ra:
- Mặt phẳng (Q) cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân
Trang 3
Trên hình vẽ thiết diện là tam giác SAB
- Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt nón theo 1 đường sinh thì (Q) là mặt phẳng tiếp diện của hình nón
b Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường
hợp sau xảy ra:
- Mặt phẳng (Q) vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là 1 đường tròn
Trên hình vẽ, thiết diện là đường tròn tâm O’
- Mặt phẳng (Q) song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của một hypebol
- Mặt phẳng (Q) song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol
- Mặt phẳng (Q) cắt mọi đường sinh hình nón thì giao tuyến là một đường elip
Trang 4
4 Diện tích hình nón và thể tích khối nón
Một hình chóp gọi là nội tiếp hình nón nếu:
- Đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón
- Đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón
a Định nghĩa
Diện tích xung quanh của hình nón là giới hạn của diện tích xung quanh của một hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn
Thể tích của khối nón là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi
số cạnh tăng lên vô hạn
b Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón
Hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và độ dài đường sinh là l
- Diện tích xung quanh: Sxq = rl
- Diện tích đáy: Sd = r2
- Diện tích toàn phần: Stp =Sxq +Sd = + rl r2
c Thể tích của khối nón:
- Thể tích của khối nón có bán kính r và chiều cao h là: V 1S hd 1 r h2
= =
Trang 5d Mối liên hệ giữa chiều cao, đường sinh và bán kính đáy
Tam giác SAO vuông tại A, có 2 2 2
SA = SO + OA
Do đó: 2 2 2
l =h +R (tham khảo hình vẽ dưới)
II Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích
Phương pháp giải: Sử dụng công thức:
Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = rl
Diện tích toàn phần hình nón: Stp = + rl r2
Thể tích khối nón: V 1S hd 1 r h2
Trong đó: h là chiều cao, r là bán kính đáy và l độ dài đường sinh của hình nón
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính diện tích xung quanh của hình nón có thiết diện qua trục là tam giác
vuông cân có diện tích bằng 2?
Trang 6Lời giải
Tam giác OAB vuông cân có diện tích bằng 2
2
1
OA 2
2
= OA= 2
Khi đó: 2 2 2
AB =2OA =2.2 =8 (định lý Py – ta – go)
AB 2 2
AB
2
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq = = Rl R.OA =2 2
Ví dụ 2: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn
đáy sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng a 3
3 và SAO= 30 ,SAB= 60 Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng?
Trang 7Lời giải
Gọi I là trung điểm của AB Dựng OH vuông góc SI
Ta có: OH a 3
3
=
Do SAB= nên tam giác SAB đều 60
Suy ra: SA = SB = AB
Ta có: SAO= 30 SO SA.sin 30 1SA
2
Lại có: OA SA.cos30 OA 3SA
2
Xét tam giác SOI ta có: 1 2 12 12
OH = OS +OI
−
−
Trang 82 2
SA OH 6 a 2
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là a 2
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có ABC 45 , ACB 30 , AB 2
2
= = = Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta được khối tròn quay có thể tích V bằng bao nhiêu?
Lời giải
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có:
sin 30 =sin 45 =sin105
AC 1
BC
2
=
=
Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A đến BC
Ta có:AH.BC=AB.AC.sin105 AH 1
2
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
Trang 92 2
V AH BH AH CH
(1 3)
V
24
+
=
Dạng 2: Tương giao giữa nón và mặt phẳng, bài toán thiết diện
Phương pháp giải:
a Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau
xảy ra:
- Mặt phẳng (Q) cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân
- Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt nón theo 1 đường sinh thì (Q) là mặt phẳng tiếp diện của hình nón
b Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường
hợp sau xảy ra:
- Mặt phẳng (Q) vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là 1 đường tròn
- Mặt phẳng (Q) song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của một hypebol
- Mặt phẳng (Q) song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol
- Mặt phẳng (Q) cắt mọi đường sinh hình nón thì giao tuyến là một đường elip
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình nón có thiết diện qua đỉnh S tạo với đáy góc 60 độ là tam giác
đều cạnh bằng 4 cm Tính thể tích khối nón đó
Trang 10Lời giải
Gọi H là trung điểm AB
Gọi thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB, tâm đường tròn đáy là O
Ta tìm góc giữa (SAB) và đáy
(O) (SAB) AB
Suy ra ( (SAB ; O) ( ) )=(OH;SH)=SHO= 60
Lại có tam giác SAB đều cạnh 4 cm
Suy ra đường cao SH 4 3 2 3
2
Xét tam giác SOH: sin 60 SO
SH
=
3
SO sin 60 SH 2 3 3
2
OH
tan 60 3
Xét tam giác OAH:
Trang 112 2
OA= OH +AH
2 2
3
3
V r h SO (OA) 7 (cm )
Ví dụ 2: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = a và bán kính đáy r 5a
4
= Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy bằng 3a
5 Diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình nón là bao nhiêu?
Lời giải
Gọi mặt phẳng qua đỉnh là tam giác SAB
Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)
+ Từ O kẻ OH⊥AB, nối SH
+ Từ O kẻ OK⊥SH
OK (SAB)
d O; SAB OK
5
Xét tam giác SOH:
Trang 122 2 2
OK = OS + OH
OK.OS OH
−
3
OH a
4
4
Xét tam giác OAH:
AH= OA −OH
Do đó diện tích thiết diện là: 2
SAB
S SH.AB a
Dạng 3: Sự tạo thành nón
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa mặt nón, hình nón, khối nón và các công
thức liên quan
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc với đáy, SC=a 6 Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay Tính thể tích của khối nón tròn xoay đó?
Lời giải
Trang 13Xét tam giác ABC vuông tại B
AC= AB +BC AC=a 2
SA= SC −AC SA=2a
Hình nón tròn xoay được tạo thành là một hình nón có thể tích là:
3
Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên
một hình nón Tính diện tích xung quanh hình nón đó
Lời giải
Tam giác ABC đều, đường cao AH
a
BH
2
Hình nón tròn xoay được tạo thành là một hình nón có r a;l a
2
= = 2
xq
a
S rl
2
= =
Dạng 4: Bài toán cực trị
Phương pháp giải:
- Áp dụng các công thức liên quan, đưa bài toán hình học về bài toán đại số (đại số hóa hình học)
Trang 14- Khảo sát hàm số f(x) trên khoảng xác định (đạo hàm – lập bảng biến thiên)
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm và đường kính đáy 24 cm bởi một
mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
Lời giải
Cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện là một parabol
Xét dây cung bất kỳ chứa đoạn KH như hình vẽ
Suy ra tồn tại đường kính AB⊥KH
Trong tam giác SAB, KE // SA, E thuộc SB
Suy ra parabol nhận KE làm trục như hình vẽ chính là một thiết diện thỏa mãn yêu cầu bài toán (thiết diện này song song với đường sinh SA)
Đặt BK = x (0 < x < 24)
Trong tam giác ABH có:
2
HK =BK.AK=x(24−x)
Trong tam giác SAB có:
SA = BA
Trang 15Thiết diện thu được là một parabol có diện tích: S 4KH.KE
3
=
Ta có:
2 16 2 2
9
=
2
2 100 3 4
81
3 4
10
9
f (x)=24x −x với 0 < x < 24
Ta có: f '(x)=72x2 −4x3
Suy ra:
x 0
f '(x) 0
x 18
=
= =
Bảng biến thiên:
Vậy thiết diện có diện tích lớn nhất là
Trang 163 4
207,85cm
Ví dụ 2: Tại trung tâm thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột trang trí hình
nón có kích thước: chiều dài đường sinh l = 10m, bán kính đáy R = 5m Biết tam giác SAB là thiết diện qua trục của hình nón và C là trung điểm SB Trang trí hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C trên mặt nón Xác định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn điện tử?
Lời giải
Ta có tam giác SAB cân và SB = AB
Suy ra tam giác SAB đều
Diện tích xung quanh hình nón là:
2 xq
S = = Rl 50 (m )
Vẽ (P) đi qua C và vuông góc với AB Mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thiết diện
là một Elip
Khi đó chiều dài dây đèn điện ngắn nhất chính là chiều dài dây cung AC trên Elip
Ta dung phương pháp trải hình ra sẽ thấy ngay như sau:
Trang 17Hình trải dài là một hình quạt với AB là độ dài nửa đường tròn và:
AB= = R 5 (m)
ABS
1
2
= =
2 1
ASB R
25 360
2
360.25
.10
Vậy tam giác SAC vuông tại S và AC= SA2 +SC2 =5 5
III Bài tập áp dụng
Bài 1: Giao của mặt phẳng đi qua trục của hình nón, cắt đường tròn đáy của hình
nón tại hai điểm là hình gì ?
A Hình tròn
B Hình vuông
C Hình tam giác
D Hình bình hành
Bài 2: Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh
huyền 2a Thể tích của khối nón bằng:
A a3
B 2 a 3
Trang 18C
3
2 a
3
D
3
a
3
Bài 3: Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng a Thiết diện qua trục của
hình nón là một tam giác có góc ở đỉnh bằng 120 Gọi V là thể tích khối nón Khi
đó V bằng:
A
3
a
6
B
3
a 3
3
C
3
a 3
9
D
3
a
3
Bài 4: Trong các hình nón cùng có diện tích toàn phần bằng S Hình nón có thể
tích lớn nhất khi ( r, l lần lượt là bán kính đáy và đường sinh của hình nón)
A l=3r
B l=2 2r
C l = r
D l = 2r
Bài 5: Xét các hình nón có đường sinh với độ dài đều bằng 10 cm Chiều cao của
hình nón có thể tích lớn nhất là:
A 5 3cm
B 10 3cm
C 5 3cm
3
Trang 19D 10 3cm
3
Bài 6: Giả sử đồ thị hàm số y=(m 1)x+ 4 −2mx2 +m2+1 có 3 điểm cực trị là A,
B, C mà xA xB xC Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được khối tròn xoay Giá trị của m để thể tích của khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào?
A (4; 6)
B (2; 4)
C (-2; 0)
D (0; 2)
Bài 7: Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường
sinh bằng 3 và thiết diện qua trục là tam giác đều là:
A 8
B 9
C 10
D 12
Bài 8: Một khối nón có thể tích bằng V, nếu giữ nguyên chiều cao và tang bán
kính khối nón lên 2 lần thì thể tích mới bằng
A 2V
B 4V
C 3V
D 6V
Bài 9: Diện tích xung quanh của một hình nón có bán kính đáy bằng 3 và chiều
cao bằng 4 là:
A 15
B 30
C 36
D 12
Trang 20Bài 10: Tính độ dài đường sinh của hình nón có diện tích xung quanh 25 , bán
kính đường tròn đáy bằng 5
A 5
B 1
C 3
D 2,5