50 bài toán về mặt cầu và phương pháp giải bài tập (có đáp án 2022) – toán 12

Mặt cầu và phương pháp giải bài tập I Lý thuyết trọng tâm 1 Định nghĩa mặt cầu Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R (R > 0), kí[.]

Mặt cầu và phương pháp giải bài tập

- Đường kính là dây cung đi qua tâm mặt cầu Khi đó độ dài đường kính bằng 2R

Ví dụ: CD là đường kính của mặt cầu S(O; R) thì CD = 2R

2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và một điểm Khối cầu

Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A bất kì trong không gian Nếu:

- Nếu OA = R thì điểm A thuộc mặt cầu S(O; R) Khi đó đoạn OA là bán kính mặt cầu

Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho A, O, B thẳng hàng thì đoạn AB là đường kính của mặt cầu

- Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R)

- Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu S(O; R)

- Định nghĩa khối cầu: Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; R) cùng với các

điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O, bán kính R

3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S(I; R)và đường thẳng a Gọi H là hình chiếu của I lên a hay d (I; a) =

- Điều kiện cần và đủ để đường thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(I; R) tại điểm H là a vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó

+) IH < R: a cắt mặt cầu S(I; R) tại hai điểm A, B phân biệt

Nhận xét: Tam giác IAB cân tại I, H là trung điểm của đoạn AB và

+) Đặc biệt: IH = 0: a đi qua tâm I của mặt cầu Khi đó I H

- Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì qua A có vô số tiếp tuyến

với mặt cầu Khi đó:

a Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau

b Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu

4 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(I; R)và mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) hay d I; P( ( ) )=IH Nếu

+) IH > R: Mặt cầu S(I; R)và mặt phẳng (P) không có điểm chung

+) IH = R: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu S (I; R) Ta nói mặt phẳng (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm

- Điều kiện để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I; R)là: (P) vuông góc với bán kính IH tại điểm H

+) IH < R: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm H và bán kính: r= R2 −IH2

+) Đặc biệt: IH = 0 thì mặt phẳng (P) đi qua tâm I của mặt cầu, mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng kính Giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường thẳng có bán kính R, đường tròn đó gọi là đường tròn lớn của mặt cầu

5 Khái niệm mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp

- Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình

đa diện

- Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên

mặt cầu

6 Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Cho mặt cầu S(I; R)

II Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

- Giao điểm I của (P) và d (hoặc của ∆ và d) là tâm mặt cầu ngoại tiếp

- Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp

Dạng 1.1: Hình chóp có các điểm cùng nhìn một cạnh của hình chóp dưới một góc vuông

Bán kính mặt cầu là: R SC

2

=

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với

mặt phẳng đáy, SC = 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD

Suy ra: A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: R SC 2a a

2 2

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), tam giác ABC vuông tại B Biết

SA = 4a, AB = 2a, BC = 4a Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Suy ra hai điểm A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Vậy tâm của mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là trung điểm SC, bán kính R SC

Suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Giả sử hình chóp đều có cạnh bên là SA, đường cao SO thì bán kính mặt cầu là:

Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = a và cạnh bên SA = 2a Tính

diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên

Lời giải

Gọi O là tâm tam giác ABC

Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SO vuông góc với mặt phẳng (ABC) Suy ra:

113

Ví dụ 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a 3 Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO⊥(ABCD)

Vậy OS = OA = OB = OC = OD nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: V 4 SO3

Cho hình chóp S.A A A1 2 ncó cạnh bên SA1⊥(A A A )1 2 n và đáy A A A1 2 nnội tiếp được trong đường tròn tâm O Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S.A A A được xác định như sau:

- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp

Gọi h là chiều cao hình chóp và Rdlà bán kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác

đáy thì bán kính mặt cầu là:

2 2

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, tam giác ABC

vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a, SA = 10a Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC

Lời giải

Gọi O là trung điểm BC, N là trung điểm SA

Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A

Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trong mặt phẳng (SA, d) vẽ trung trực cạnh SA và cắt d tại I Khi đó NI là đường trung trực của SA

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, ABC đều cạnh a, SA =

2a Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Lời giải

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC, N là trung điểm SA

Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC

Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trong mặt phẳng (SA, d) vẽ trung trực cạnh SA cắt d tại I Khi đó NI là đường trung trực của SA

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính R = IA = IB =IC

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A Mặt bên

(SAB)⊥(ABC) và tam giác SAB đều cạnh bằng 1 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Lời giải

Gọi H, M lần lượt là trung điểm AB, BC

Do (SAB)⊥(ABC); (SAB)(ABC)=AB; SH ⊥ AB (SAB là tam giác đều) Khi đó SH ⊥ (ABC)

Có M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (do tam giác ABC vuông tại A) Dựng d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (d qua M và song song SH)

Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và ∆ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB, ∆ cắt d tại I

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

2 2 2 2 d

Cạnh chung của mặt bên (SAB) và mặt đáy là  =AB= a

Theo công thức ở lý thuyết, vậy bán kính mặt cầu là

Dạng 2: Mặt cầu nội tiếp khối đa diện

Phương pháp giải: Nếu đặt V là thể tích khối chóp và Stplà tổng diện tích mặt đáy

và các mặt bên của chóp thì bán kính r của mặt cầu nội tiếp khối chóp:

tp

3VrS

Suy ra AH vuông góc (BCD) (do ABCD là tứ diện đều)

d G, ACD =d G, ABC =d G, ABD =d G, BCD =r

Với r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện đều ABCD

Mặt khác: VG.ACD+VG.ABC+VG.ABD+VG.BCD =VABCD

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB = 8, BC = 6,

SA = 6, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC

+ Phương pháp tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ:

Gọi O , O1 2lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ

Suy ra O O1 2là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy

Gọi I là trung điểm của O O1 2 IA=IB=IC=IA '=IB'=IC'(=ID=ID')

Suy ra trung điểm I của O O1 2là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

b Mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng tam giác, hình lập phương

- Hình cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a, bán kính r a

2

=

- Đường cao của hình lăng trụ bằng đường kính của hình cầu nội tiếp

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp trong mặt cầu bán kính

R = 3 Tam giác ABC cân và có diện tích bằng 2 Diện tích toàn phần của hình hộp

Khi đó O nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại I

Xét tam giác ABC: AC= 22 +22 =2 2IC= 2

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:

Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AD = a, BD = 2a, góc

giữa đường chéo AB’ của mặt bên (ABB’A’) với mặt phẳng đáy là 60 độ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp

Xét tam giác ABD có:AB= BD2 −AD2 =a 3

Xét tam giác ABB’ có:

BB'

tan 60 BB' 3a

AB

Hình hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh là: a,a 3,3a

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là

Ví dụ 1: Cho mặt cầu bán kính R = 5cm Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao

tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng 8cm Bốn điểm A, B, C, D thay đổi sao cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc (S) (D(C)) và tam giác ABC đều Tìm thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của D trên mặt phẳng (P)

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có chu vi bằng 8cm

Suy ra cạnh của tam giác ABC bằng 4 3cm

( )2

2 ABC

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường thẳng d đi qua A và vuông góc với

mặt phẳng (ABC) Gọi S là điểm thay đổi trên đường thẳng d, H là trực tâm tam giác SBC Biết rằng khi S thay đổi trên đường thẳng d thì điểm H nằm trên đường (C) Trong số các mặt cầu chứa đường (C), bán kính mặt cầu nhỏ nhất là bao nhiêu?

Lời giải

Gọi M là trung điểm BC

Suy ra AM⊥BC;SM⊥BC

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên AM a 3

4

Do đó MH.MS MG.MA= hay MH MA

MG = MSNên tam giác MHG và tam giác MAS đồng dạng

Suy ra: GH⊥SM

Vì H thuộc (SAM) cố định khi S thay đổi trên d và GH⊥SM

Nên (C) là một phần của đường tròn đường kính GM

Do đó trong các mặt cầu chứa (C) mặt cầu có bán kính nhỏ nhất là mặt cầu nhận

Bài 1: Cho ba hình cầu tiếp xúc ngoài với nhau từng đôi một và cùng tiếp xúc với

một mặt phẳng Các tiếp điểm của các hình cầu trên mặt phẳng lập thành tam giác

có các cạnh là 4, 2 và 3 Tích bán kính của ba hình cầu trên là bao nhiêu?

A 12

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, các cạnh bên tạo

với đáy một góc 60 độ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài 7: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r và điểm A nằm ngoài mặt cầu Khẳng

định nào sau đây là khẳng định đúng?

B Mặt trụ

C Mặt cầu

D Mặt phẳng

Bài 9: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam

giác cho trước

A Trục đường tròn nội tiếp tam giác đó

B Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

C Mặt phẳng

D Mặt phẳng trung trực một cạnh của tam giác đó

Bài 10: Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh bằng 1