Các bài toán về góc trong không gian và cách giải I LÝ THUYẾT 1 Góc giữa hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng Cụ thể Cho hai mặt phẳng[.]
Trang 1Các bài toán về góc trong không gian và cách giải
I LÝ THUYẾT
1 Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng Cụ thể:
Cho hai mặt phẳng ( ) và ( ) Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng c
Ta có:
( )
a
b
, a, b
a c
b c
⊥
⊥
Chú ý: Góc giữa hai mặt phẳng là góc không tù (0°≤ φ ≤90° với φ là góc giữa hai
mặt phẳng)
2 Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’
và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b Góc giữa 2 đường thẳng là góc có số đo từ 0° đến 90°
Trang 23 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)
Chú ý: Nếu φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có
0 90
II PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1 Góc giữa hai mặt phẳng
Phương pháp giải:
Góc giữa hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0, (Q): A’ x + B’y + C’z + D’ =
0 được ký hiệu là ( ( ) ( )P ; Q ) với0o ((P),(Q))90o
Ta xác định góc này bằng cách tính côsin góc giữa hai mặt phẳng bởi hệ thức
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
AA' BB' CC'
| n n |
| n | | n | A B C A' B' C'
Trang 3Đặc biệt: (P)⊥(Q)AA’ + BB’ + CC’ = 0.
Ví dụ 1: Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (P): x – 2y + 3z – 8 = 0 và (Q): 3x + y – 2z + 2017 = 0
A 1
14
−
B 1
14
C 5
14
D 5
14
−
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có n1=(1; −2; 3) là véc tơ pháp tuyến của (P), n2 =(3; 1;− là véc 2)
tơ pháp tuyến của (Q) Khi đó:
( ) ( )
1 2
n n 1.3 ( 2).1 3.( 2) 5 Cos P , Q
14
1 4 9 9 1 4
n | n
Chọn C
2 Góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp giải:
Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương lần lượt là u1=(a;b;c)
và u2 =(a ';b';c') được xác định bằng cách tính côsin góc giữa hai đường thẳng đó
theo công thức:
2 2 2 2 2 2
1 2
aa ' bb ' cc'
| u u | cos cos d,d '
| u | | u | a b c a ' b ' c'
(0 90 )
Đặc biệt: (d)⊥(d ') aa’ + bb’ + cc’ = 0
Trang 4Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
:
x 2 5t
d : y 1 2t
z 4 3t
= +
= +
= −
Góc giữa đường thẳng và đường
thẳng d là
A 45
B 60
C 30
D 90
Hướng dẫn giải:
Ta có vectơ chỉ phương của là u=(1;2;3), vectơ chỉ phương của d là
v= 5;2; 3−
Ta thấy u.v 1.5= +2.2 3.+ ( )− =3 0 ⊥d Góc giữa và d là 90
Chọn D
3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp giải:
Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương u=(a;b;c) và mặt phẳng ( ) có vectơ pháp tuyến n=(a;b;c) được xác định bằng cách tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trên theo công thức:
( )
sin =sin d, = cos(u, n)
2 2 2 2 2 2
Aa Bb Cc
| u.n |
| u | | n | A B C a b c
(0 90 )
Đặc biệt: (d) / /( ) hoặc (d) ( ) Aa + Bb + Cc = 0
Ví dụ 3: Cho M (-3; -1; 3) và N (-1; 0; 4) và mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0 Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (P)
A 30
Trang 5B 45
C 60
D 90
Hướng dẫn giải:
Ta có MN=(2 ; 1 ; 1) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến là n =(1 ; 2 ;−1)
( )
( )2
2 2 2 2 2
MN.n | 2.1 1.2 1. 1 |
3 1
6 2
= =
Suy ra (MN, P( ) )= 30
Chọn A
III BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1: Gọi là góc giữa hai đường thẳng AB, CD Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng:
A.cos AB.CD
AB CD
=
B.cos AB.CD
AB CD
=
C cos AB.CD
AB,CD
=
D.
AB.CD
AB CD
=
Trang 6Câu 2: Cho hai đường thẳng 1
x 2 t
d : y 1 t
z 3
= +
= − +
=
và 2
x 1 t
d : y 2
= −
=
= − +
Góc giữa hai
đường thẳng d1 và d2 là:
A 30
B 120
C 150
D 60
Câu 3: Cho đường thẳng : x y z
− và mặt phẳng (P): 5x + 11y + 2z – 4 = 0 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) là:
A 60
B − 30
C.30
D − 60
Câu 4: Cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 1 = 0, (Q): x + 2y – 2z – 3 = 0 Côsin góc
giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng:
A.4
9
B 4
9
−
C. 4
3 3
Trang 7D 4
3 3
−
Câu 5: Cho mặt phẳng (P): 3x + 4y + 5z + 2 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến
của hai mặt phẳng ( ) :x – 2y + 1 = 0 và ( ) :x – 2z – 3 = 0 Gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) Khi đó:
A 60
B 45
C 30
D 90
Câu 6: Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z – 5 = 0 Điểm A (1; – 2; 2) Có bao nhiêu
mặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng (P) một góc 45
A Vô số
B 1
C 2
D 4
Câu 7: Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc 60 ?
A (P) : 2x + 11y – 5z + 3 = 0 và (Q) : x + 2y – z – 2 = 0
B (P) : 2x + 11y – 5z + 3 = 0 và (Q) : -x + 2y + z – 5 = 0
C (P) : 2x - 11y + 5z - 21 = 0 và (Q) : 2x + y + z – 2 = 0
D (P) : 2x - 5y + 11z – 6 = 0 và (Q) : -x + 2y + z – 5 = 0
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm A (-3; -4; 5), B
(2; 7; 7), C (3; 5; 8), D (-2; 6; 1) Cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc 60 ?
A DB và AC
B AC và CD
C AB và CB
D CB và CA
Trang 8Câu 9 : Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (P) : 5x – y + 2z – 9 = 0 và (Q) : -2x + 5y + z – 2017 = 0
A 1
10
−
B 13
30
C 13
30
−
D 1
10
Câu 10: Cho hai điểm A (1; -1; 1) và B (2; -2; 4) Có bao nhiêu mặt phẳng chứa A,
B và tạo với mặt phẳng ( ) : x – 2y + z – 7 = 0 một góc 60
A 1
B 4
C 2
D Vô số
ĐÁP ÁN
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp
án
A D C A A A B C B C