50 bài toán về các dạng toán về phương trình mặt cầu (có đáp án 2022) – toán 12

CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU VÀ CÁCH GIẢI I LÝ THUYẾT Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) và bán kính R có phương trình là ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2S x a y b z c R− + − + − = (1)[.]

CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU VÀ CÁCH GIẢI

I LÝ THUYẾT

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) và bán kính R có phương trình

là

( ) ( ) (2 ) (2 )2 2

S : x−a + y−b + z−c =R (1)

Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng

(S) : x +y +z +2ax+2by+2cz+ =d 0 (2) với d=a2 +b2+c2 −R2

Từ đó ta có phương trình (2) với điều kiện a2 +b2 +c2 − d 0 là phương trình mặt cầu tâm I (-a; -b; -c) có bán kính là R= a2 +b2 + −c2 d

Đặc biệt nếu mặt cầu (S) có tâm O 0;0;0( )

bán kính R





 thì phương trình mặt cầu (S) là

( ) 2 2 2 2

S : x +y +z =R

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để (S) là một mặt cầu Phương pháp giải:

Xét phương trình ( ) ( ) (2 ) (2 )2 2

S : x−a + y−b + z−c =R Khi đó mặt cầu có tâm I (a; b; c), bán kính R

+) Xét phương trình (S) : x2 +y2 +z2 −2ax−2by−2cz+ =d 0

Khi đó mặt cầu có ( )

tâm I a;b;c bán kính R a b c d





Điều kiện để (S) là phương trình mặt cầu là 2 2 2

a +b +c − d 0 +) Đặc biệt: ( ) 2 2 2 2

S : x +y +z =R , suy ra (S) có tâm O 0;0;0( )

bán kính R





Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( ) ( ) (2 ) (2 )2

S : x 1+ + y−2 + z 1− =9 Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S)

A I (-1; 2; 1) và R = 3

B I (1; -2; -1) và R = 3

C I (-1; 2; 1) và R = 9

D I (1; -2; -1) và R = 9

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương trình mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2

S : x 1+ + y−2 + z 1− =9, ta có tâm I( 1;2;1)− và R = 9 = 3

Chọn A

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

x +y +z +2x−4y+6z− =2 0 Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S)

A Tâm I (-1; 2; -3) và bán kính R = 4

B Tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 4

C Tâm I (-1; 2; 3) và bán kính R = 4

D Tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 16

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương trình mặt cầu 2 2 2

(S) : x +y +z +2x−4y+6z− =2 0, ta có:

tâm I 1;2; 3

bán kính R ( 1) 2 ( 3) ( 2) 16 4







Chọn A

Ví dụ 3: Cho phương trình

S : x +y +z +2 3 m x− −2 m 1 y+ −2mz+2m + =7 0 Tìm tất cả giá trị của m để (S) là một phương trình mặt cầu

A m 2

m 3





 



B 1 m  3

C m 1

m 3





 



D m 1

m 3

=



 =



Hướng dẫn giải

Gọi tâm của mặt cầu là I (a ; b ; c) và bán kính là R

Ta có : a = m – 3, b = m + 1, c = m, d=2m2 +7

(S) là mặt cầu a2 +b2 +c2− d 0

( ) (2 )2 2 2

m 3 m 1 m 2m 7 0

2

m 4m 3 0

m 1

m 3





  



Chọn C

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tâm I (a; b; c)

Bước 2: Xác định bán kính R của (S)

Bước 3: Thế vào phương trình (S):

Dạng phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và bán kính R

( ) (2 ) (2 )2 2

(S) : x−a + y−b + z−c =R

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A (-1; 2; 0), viết phương trình mặt cầu tâm A bán kính bằng 4

(S) : x 1+ + y−2 +z =16

(S) : x 1+ + y−2 +z =4

(S) : x 1− + y−2 +z =16

(S) : x 1− + y−2 +z =4

Hướng dẫn giải

Dạng phương trình mặt cầu ( ) (2 ) (2 )2 2

(S) : x−a + y−b + z−c =R Tâm là A suy ra a = -1, b = 2, c = 0 và R = 4

Thế vào phương trình mặt cầu (S) ta được ( ) (2 )2 2

(S) : x 1+ + y−2 +z =16

Chọn A

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho A (-2; 1; 0), B (2; -1; 2) Viết phương trình

mặt cầu (S) có tâm B và đi qua điểm A

(S) : x−2 + y 1+ + −(z 2) = 24

(S) : x−2 + y 1+ + −(z 2) =24

(S) : x+2 + y 1− +z =24

(S) : x −2 + y 1− + −(z 2) =24

Hướng dẫn giải

Dạng phương trình mặt cầu ( ) (2 ) (2 )2 2

(S) : x−a + y−b + z−c =R Tâm B (2; -1; 2)

Bán kính ( ) (2 ) (2 )2

R = AB = 2+2 + − −1 1 + 2 0− = 24

Vậy phương trình mặt cầu là: ( ) (2 )2 2

(S) : x−2 + y 1+ + −(z 2) =24

Chọn B

Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với mặt phẳng

Phương pháp giải:

Cho điểm I (a; b; c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên ta có

( )

( ) | Aa 2Bb 2Cc 2D |

R d I; P

Từ đó viết được phương trình mặt cầu tâm I và bán kính R đã tính phía trên

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 1; 1) và mặt phẳng

(P): 2x – y + 2z + 1 = 0 Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) là

A ( ) (2 ) (2 )2

x – 2 + y 1− + z 1− =4

B ( ) (2 ) (2 )2

x−2 + y 1− + z 1− =9

C ( ) (2 ) (2 )2

x−2 + y 1− + z 1− =3

D ( ) (2 ) (2 )2

x−2 + y 1− + z 1− =5

Hướng dẫn giải :

Vì mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính của mặt cầu là

( )

( )2

| 2.2 1 2.1 1|

− + +

Vậy phương trình mặt cầu là :( ) (2 ) (2 )2

x – 2 + y 1− + z 1− =4

Chọn A

Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với đường thẳng Phương pháp giải:

Cho điểm I (a; b; c) và đường thẳng d

Gọi H là tiếp điểm của đường thẳng d và mặt cầu tâm I Tìm H

Khi đó bán kính của mặt cầu R = IH

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

x 1 y 2 z 3

d :

+ = − = +

− và điểm I (1; -2; 3) Phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với d là

A ( ) (2 ) (2 )2

x 1− + y+2 + z−3 =5 2

B ( ) (2 ) (2 )2

x 1− + y+2 + z−3 =50

C ( ) (2 ) (2 )2

x 1+ + y−2 + z−3 =50

D ( ) (2 ) (2 )2

x 1+ + y−2 + z+3 =50

Hướng dẫn giải

Gọi H là tiếp điểm của đường tròn lớn tâm I và đường thẳng d

Vì H thuộc d nên H (-1 + 2t; 2 + t; -3 – t) Suy ra IH=(2t−2; t+ − − 4; t 6)

Vectơ chỉ phương của d là ud =(2;1; 1− )

Vì IH vuông góc với đường thẳng d nên

d

IH.u = (2t – 2).2 + (t + 4).1 + (-t – 6 ).(-1) = 0  t = -1 0

Suy ra IH= −( 4;3; 5− )

Vì mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên bán kính của mặt cầu:

R = IH = ( )2 2 ( )2

− + + − = Vậy phương trình mặt cầu là ( ) (2 ) (2 )2

x 1− + y+2 + z−3 =50

Chọn B

Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và đường thẳng d cắt mặt cầu theo dây cung AB

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d

Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính độ dài dây cung AB Suy ra độ dài AH

(với H là trung điểm AB)

Bước 3: Tính IA theo định lý Pytago cho tam giác vuông AIH Suy ra bán kính R

= IA

Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và bán kính R đã tính bên trên

Ví dụ 8: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (2; 3; -1) và cắt đường thẳng

x 1 y 1 z

d :

− tại hai điểm A, B với AB = 16

A ( ) (2 ) (2 )2

x−2 + y−3 + z 1+ =76

B ( ) (2 ) (2 )2

x−2 + y+3 + z 1+ =76

C ( ) (2 ) (2 )2

x−2 + y−3 + z 1+ =56

D ( ) (2 ) (2 )2

x−2 + y−3 + z 1+ =66

Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d

Vì H thuộc d nên H (-1 + t; 1 – 4t; t) Suy ra IH= − − −(t 3; 4t 2; t 1+ )

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ud =(1; 4;1− )

Vì IH vuông góc với đường thẳng d nên

d

IH.u = (t – 3).1 + (-4t – 2).(-4) + (t + 1).1 = 0 0 t 1

3

= −

Suy ra IH 10; 2 2;

3 3 3

= − − 

= −  + −  +  =

Vì AB = 16 nên HA 1AB 8

2

= =

Áp dụng định lí Py – ta – go trong tam giác vuông IAB ta có:

( )2

IA =IH +HA = 2 3 +8 =76IA=2 19

Vậy bán kính mặt cầu là R = IA = 2 19

Khi đó phương trình mặt cầu là ( ) (2 ) (2 )2

x −2 + y−3 + z 1+ =76

Chọn A

Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và mặt cầu cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P)

Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính bán kính r của đường tròn giao tuyến

Suy ra bán kính mặt cầu R= d (I,(P))2 + r2

Bước 3: Kết luận phương trình mặt cầu (S)

Ví dụ 9: Cho mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; 1) và mặt phẳng (Q): 2x – y + z + 7 = 0

Viết phương trình mặt cầu (S) sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là

20

A ( )2 2 ( )2 110

x 1 y z 1

3

− + + + =

B ( )2 2 ( )2 110

x 1 y z 1

3

− + + − =

C ( )2 2 ( )2 100

x 1 y z 1

3

− + + − =

D ( )2 2 ( )2

x 1− +y + z 1− =110

Hướng dẫn giải:

Ta có : ( ( ) )

( )2

| 2.1 0 1 7 | 5 6

d I, Q

3

− + +

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q) Ta có diện tích đường tròn giao tuyến là 20 =   =r2 r 2 5

Gọi R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm

Theo giả thiết: ( ( ) ) 2 2 ( )2

Vậy (S): ( )2 2 ( )2 110

x 1 y z 1

3

− + + − = Chọn B

Dạng 7: Phương trình mặt cầu biết tâm thuộc một đường thẳng và thỏa mãn một điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

Bước 1: Rút tọa độ tâm I theo đường thẳng d đã cho trước

Giả sử điểm I là tâm của mặt cầu và đường thẳng d có phương trình

0 0 0

x x at

d : y y bt

z z ct

= +



 = +



 = +

 Khi đó nếu Id thì ta có I(x0 +at; y0 +bt;z0 +ct)

Bước 2: Dựa vào yêu cầu bài toán lập một phương trình theo biến t để giải

 Tọa độ tâm I

Bước 3: Xác định bán kính R của mặt cầu

Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S)

Ví dụ 10: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng

x t : y 1

z t

=





  = −

 = −



và

(S) tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và ( ) : x + 2y + 2z + 7 =

0

A ( ) (2 ) (2 )2 4

x 3 y 1 z 3

9 + + + + − =

B ( ) (2 ) (2 )2 4

x 3 y 1 z 3

9

− + − + + =

C ( ) (2 ) (2 )2 4

x 3 y 1 z 3

9 + + + + + =

D ( ) (2 ) (2 )2 4

x 3 y 1 z 3

9

− + + + + =

Hướng dẫn giải:

Do I thuộc d nên tâm mặt cầu có tọa độ dạng I (t; -1; -t) Khi đó do (S) tiếp xúc với (P), (Q) nên khoảng cách từ I tới (P), (Q) là bằng nhau và cùng bằng bán kính mặt cầu

( )

d I; P =d I; Q

t 2 1 2 t 3 t 2 1 2 t 7

R

Hay t 1 t 5 t 1 t 5

t 1 t 5

− + = − +



− + = − +   − + = − t = 3  I (3; -1; -3)

Thay vào phương trình khoảng cách ta được R 2

3

= Vậy phương trình mặt cầu:

( ) (2 ) (2 )2 4

x 3 y 1 z 3

9

− + + + + =

Chọn D

III BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1 : Mặt cầu ( ) ( ) (2 )2 2

S : x 1− + y+2 +z =9 có tâm I là :

A I (1 ; -2 ; 0)

B I (-1 ; 2 ; 0)

C I (1 ; 2 ; 0)

D I (-1 ; -2 ; 0)

Câu 2 : Mặt cầu ( ) 2 2 2

S : x +y +z −8x+2y 1 0+ = có tâm I là :

A I (8 ; -2 ; 0)

B I (-4 ; 1 ; 0)

C I (-8 ; 2 ; 0)

D I (4 ; -1 ; 0)

Câu 3 : Mặt cầu ( ) 2 2 2

S : x +y +z −4x 1 0+ = có tọa độ tâm I và bán kính R là :

A I (2; 0; 0), R= 3

B I (2; 0; 0), R = 3

C I (0; 2; 0), R = 3

D I (-2; 0; 0), R = 3

Câu 4: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

A x2 +y2 +z2−2x=0

B x2 +y2−z2 +2x− + =y 1 0

2x +2y = x+y −z +2x 1.−

x+ y =2xy−z −1

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giả sử tồn tại mặt cầu (S) có phương

trình x2 +y2+z2 −4x+8y−2az+6a=0 Nếu (S) có đường kính bằng 12 thì a nhận

những giá trị nào?

A a 2

a 8

= −



 =



B a 2

a 8

=



 = −



C a 2

a 4

= −



 =



D a 2

a 4

=



 = −



Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Mặt cầu tâm I (1; 3; 2), bán kính R =

4 có phương trình

A (x 1)− 2 +(y−3)2 +(x−2)2 =4

B (x 1)− +(y 3)− +(x−2) 16=

C (x 1)− 2 +(y−3)2 +(x−2)2 =16

D (x 1)− 2 +(y−3)2 +(x−2)2 =8

Câu 7: Trong không gian Oxyz cho A (-2; 1; 0), B (2; -1; 2) Viết phương trình mặt

cầu (S) có đường kính là AB

A (S) : x2 +y2 +(z 1)− 2 =24

B (S) : x2 +y2 + −(z 1)2 = 6

C (S) : x2 +y2 +(z 1)− 2 =6

D (S) : x2 +y2 + −(z 1)2 = 24

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt cầu (S) có tâm

I (1; 2; -3) và đi qua A (1; 0; 4)

A ( ) (2 ) (2 )2

x 1− + y−2 + z+3 = 53

B ( ) (2 ) (2 )2

x 1− + y−2 + z+3 =53

C ( ) (2 ) (2 )2

x 1+ + y+2 + z−3 =53

D ( ) (2 ) (2 )2

x 1+ + y+2 + z+3 =53

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I

(-1; 2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 2 = 0 là

A ( ) (2 ) (2 )2

x 1+ + y−2 + z 1− =3

B ( ) (2 ) (2 )2

x 1+ + y−2 + z 1− =9

C ( ) (2 ) (2 )2

x 1+ + y−2 + z 1+ =3

D ( ) (2 ) (2 )2

x 1+ + y−2 + z 1+ =9

Câu 10: Trong không gian Oxyz, mặt cầu ( ) 2 2 2

S : x +y +z −2x+4y− =4 0 cắt mặt phẳng (P): x + y – z + 4 = 0 theo giao tuyến là đường tròn (C) Tính diện tích S của hình tròn giới hạn bởi (C)

A S=  6

B S 2 78

3



C S 26

3



=

D S=2 6

Câu 11: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua hai điểm A (2; 6; 0), B (4; 0; 8) và có

tâm thuộc d :x 1 y z 5

= =

A

 −  + +  + +  =

B ( )2 2 ( )2 244

x 1 y z 5

9

− + + + =

C

 +  + −  + −  =

D ( ) (2 ) (2 )2

x−3 + y 1+ + z+3 =932

ĐÁP ÁN

Đáp

án