12 Công thức tích phân từng phần đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lý thuyết Định lí Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì b b b a a a u(x)v''''(x)dx u(x)v(x) u ''''(x[.]
Trang 112 Công thức tích phân từng phần đầy đủ, chi tiết nhất
1 Lý thuyết
Định lí: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì
b a
u(x)v '(x)dx= u(x)v(x) − u '(x)v(x)dx
b a
udv=uv | − vdu
Các dạng cơ bản:
Giả sử cần tính
b
a
I=P(x).Q(x)dx
Chú ý: Cần phải lựa chọn u và d v hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu dễ tính hơn udv Ta thường gặp các dạng sau:
Dạng 1 I P x( ) sin x dx
cos x
, trong đó P x là đa thức Ta đặt ( )
( )
u P x sin x
cos x
=
Dạng 2 ( ) ax b
I =P x e + dx, trong đó P x là đa thức Ta đặt ( ) ( )
ax b
u P x
dv e + dx
=
=
Dạng 3 I =P x ln mx( ) ( + n dx) , trong đó P x là đa thức Ta đặt ( )
( )
u ln mx n
dv P x dx
=
Dạng 4 I sin x e dxx
cos x
x
sin x u
cos x
dv e dx
=
Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” và dv = phần còn lại Nghĩa là nếu có lnx hay logax thì chọn u = lnx hay u log xa 1 ln x
ln a
Trang 2còn lại Nếu không có ln ; log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,…
2 Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
a)
2
0
I x sin xdx
=
dv sin xdx v cos x
Vậy
2
0
I x sin xdx
0 0
x cos x | cos xdx
2
0
0 sin x | 1
1
I= 4x+3 ln xdx
Đặt
1
x
2 2
1 1
x
+
2
1
14ln 2 2 3.2 1 3.1
14ln 2 6
c) 1( ) x
0
I= 1 x e dx−
Trang 3Đặt u 1 xx du x dx
Vậy ( ) x 1 1 x
0 0
I= −1 x e +e dx
( ) x1 x1
1 e 1 e 2
= − + − = −
Ví dụ 2: Tính tích phân 2( )
5 0
I x cos x sin xdx
= +
Lời giải
Ta có
5
I x sin xdx sin x.cos xdx J K
dv sin x.dx v cos x
Khi đó: 2
0
J x sin xdx
=
( ) /2 2
0 0
x cos x cos xdx
0
+ Đặt t=cos xdt= −sin xdx
Đổi cận x t 0; x 0 t 1
2
Trang 4Khi đó 2 5
0
K sin x.cos xdx
1
t dt
= −
1
5
0
t dt
=
1 6
0
= =
Vậy I 1 1 7
= + =