Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất – toán 12

3 Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lý thuyết Định lí Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v'''' x dx u x v x u '''' x v x dx= −[.]

3 Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất

1 Lý thuyết

Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u x v' x dx=u x v x − u ' x v x dx

Hayudv=uv−vdu

Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng định lý trên

Bước 1 Chọn u, v sao cho f(x)dx = udv (chú ý dv = v'(x)dx)

Sau đó tính v=dv và du = u'.dx

Bước 2 Thay vào công thức và tính vdu

Chú ý Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân

vdu

 dễ tính hơn udv Ta thường gặp các dạng sau

Dạng 1 I P x( ) sin x dx

cos x

 , trong đó P(x) là đa thức Ta đặt

( )

u P x sin x

cos x

 =



=



Dạng 2 ( ) ax b

I=P x e + dx, trong đó P(x) là đa thức Ta đặt ( )

ax b

u P x

dv e + dx

 =





=

Dạng 3 I=P x ln mx( ) ( +n dx) , trong đó P(x) là đa thức Ta đặt ( )

( )

u ln mx n

dv P x dx





=



Dạng 4 I sin x e dxx

cos x

x

sin x u

cos x

dv e dx

=

 =



Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” và dv phần còn lại Nghĩa

là nếu có ln hay logax thì chọn u=lnx hay u log xa 1 ln x

ln a

= = và dv = còn lại Nếu không có ln; log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,…

Cách 2: Sử dụng bảng

Loại 1: Ví dụ: x e dx3 x

(Đạo hàm)

u

(Nguyên hàm)

dv

3x2

Vậy x e dx3 x =x e3 x −3x e2 x +6xex −6ex +C

Loại 2: Nguyên hàm lặp Ví dụ: cos xe dxx

(Đạo hàm)

u

(Nguyên hàm)

dv

- cos x + ex

(Dừng lại)

cos xe dx=cos xe − −sin x e + −cos xe dx

cos xe dx cos x sin x e

2

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm

I=xe dx

b) I=x ln xdx

Lời giải

a) I=xe dxx

Đặt u x x du xdx

dv e dx v e



Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

I=xe dx=xe −e dx x x

b) I=x ln xdx

dx du

v 2



=



Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:

a) I=x cos xdx2

b) I=sin x.e dxx

Lời giải

a) I=x cos xdx2

Đặt

u x

v sin x

dv cos xdx

=



Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

2 2

s

I=x cos xdx =x inx−2x sin xdx

Đặt K=2x sin xdx=2 x sin xdx

dv sin xdx v cos x

K=2 x sin xdx = −2x.cos x+2 cos xdx

2x.cos x 2sin x C

Vậy I=x sin x2 +2x.cos x−2sin x−C

b) I=sin x.e dxx

Đặt

u sin x du cos xdx

dv e dx v e



I=e sin x−cos xe dx=e sin x−J

Tính J=cos xe dxx Đặt u cos xx du x sin xdx

dv e dx v e



Suy ra J=e cos xx +sin xe dxx =e cos xx +I

I=e sin x− =J e sin x− e cos x+I

2I e sin x e cos x

I e sin x e cos x C

2