Công thức nguyên hàm hàm lượng giác chi tiết nhất – toán 12

6 Công thức nguyên hàm hàm lượng giác chi tiết nhất 1 Lý thuyết Bảng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp f(ax + b) cosxdx sin x C= + ( )[.]

6 Công thức nguyên hàm hàm lượng giác chi tiết nhất

1 Lý thuyết

Bảng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác

Nguyên hàm của hàm số

sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp f(ax + b) cos xdx = sin x + C

a



sin xdx = − cos x + C

a



tanx.dx = − ln | cos x | C +

 tan ax( b dx) 1ln | cos ax( b | C)

a



cotx.dx = ln | sin x | C +

 c (ax b dx) 1ln | sin ax( b | C)

a



2

1

dx tan x C



2

+



2

1

dx cot x C



2

+



Một số biến đổi lượng giác cơ bản:

Công thức hạ bậc hai

2 1 cos 2a

sin a

2

−

=

2 1 cos 2a

cos a

2

+

=

Công thức biến đổi tích thành tổng

1 cosa.cos b [cos(a b) cos(a b)]

2

1 sin a.sin b [cos(a b) cos(a b)]

2

1 sin a.cos b [sin(a b) sin(a b)]

2

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau

a) I=sin 2xdx

b) I cos 3x dx

6





c) I =sin 3x.cos x.dx

Lời giải

I sin 2xdx cos 2x C

2



I sin 3x.cos x.dx sin 4x sin 2x dx

2

cos 4x cos 2x C

Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:

4





b) ( )2

1 sin x dx+



c) ( 2x 1 5x 3)

I = e + − 2 + dx

Lời giải

a) 2

4



1

1 sin 2x dx

2

I= 1 sin x dx+

1 2sin x sin x dx

1 cos 2x

2

−

2sin x cos 2x dx



x 2cos x sin 2x C

c) ( 2x 1 5x 3)

I= e + −2 + dx 1 2x 1 1 5x 3 1