4 Công thức nguyên hàm đổi biến đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lý thuyết Định lí 1 Nếu ( ) ( )f u du F u C= + và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ( )( ) ( ) ( )( )f u x u '''' x dx F u x C= + Hệ quả[.]
Trang 14 Công thức nguyên hàm đổi biến đầy đủ, chi tiết nhất
1 Lý thuyết
Định lí 1: Nếu f u du( ) =F u( )+C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
( )
f u x u ' x dx=F u x +C
Hệ quả: Nếu u=ax+b a( 0) thì ta có ( ) 1 ( )
f ax b dx F ax b C
a
- Ở phương pháp này người ta chia ra các dạng như sau:
+ Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi được biểu thức và đạo hàm
của biểu thức đó: f u x u ' x dx( ( ) ) ( )
Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt t=u x( )dt =u ' x dx( )
Bước 2: Thay vào nguyên hàm ta được f u x u ' x dx( ( ) ) ( ) =f t dt( ) Đưa về bảng nguyên hàm cơ bản
Bước 3: Sau đó thay trả lại biến x
Dấu hiệu đặt:
n
f (ax+b) xdx
m n
n 1
x
dx
ax + b
t=ax + + b dt =a(n 1)x dx+
f (ax +b) xdx
t=ax + b dt =2ax.dx
n f (x).f (x)dx
t= f (x) =t f x nt −dt =f ' x dx
trừ một số trường hợp đổi biến dạng 2
1
f (ln x) dx
x
x
1
f (a b ln x) dx
x +
x
Trang 2x x
f (e )e dx
t=e dt=e dx
f (cos x).sin xdx
f (sin x).cos xdx
2
1
f (tan x) dx
cos x
2
1
t tan x dt d dt (1 tan x)dx
cos x
2
1
f (cot x) dx
sin x
2
1
sin x
f (sin x;cos x).sin 2xdx
2
t sin x dt sin 2xdx
t cos x dt sin 2xdx
f (sin xcos x)(sin x cos x)dx
t=sin x cos xdt=(cos x sin x dx)
Dạng 2: Đặt x= (t)
f a −x x dx
f a +x x dx
x a.tan t dx
cos t
f x −a x dx
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau:
a) I= 2x 1dx−
b) I=x(x2 +1) dx3
c)
3 2
2xdx
I
=
+
Lời giải
a) I= 2x 1dx−
Trang 3Đặt 2
2x 1− = =t t 2x 1− 2tdt=2dxtdt =dx
I=x(x +1) dx
2
4
+
c)
3 2
2xdx
I
=
+
t= x + =4 t x + 4 3t dt=2xdx
Vậy
2
Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:
a) I ln xdx
x
=
b) I=sin x cos xdx4
c) I=esin xcos xdx
d) I xdx
=
+
Lời giải
a) I ln xdx
x
=
Đặt ln x t dt dx
x
= =
Trang 4Vậy
b) I=sin x cos xdx4
Đặt t=sin x =dt cos xdx
Vậy
c) I=esin xcos xdx
Đặt t=sin x =dt cos xdx
Vậy I=e dtt = + =et C esin x +C
d)
x
t=e dt=e dx
Khi đó:
+ Vậy
x x
+