Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải A LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho hàm số y = f(x) có dạng ( ) ( ) ( ) P x f x Q x = trong đó P và Q là các đa thức, và P không chia hết cho Q Hàm[.]
Trang 1Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải
A LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cho hàm số y = f(x) có dạng f x( ) P x( ) ( )
Q x
= trong đó P và Q là các đa thức, và P không chia hết cho Q
- Hàm f(x) được gọi là hàm phân thức hữu tỉ thực sự nếu bậc của P < bậc của Q
- Trong các bài toán tìm nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỉ, nếu f(x) chưa phải là hàm phân thức hữu tỉ thực sự thì ta thực hiện chia tử thức cho mẫu thức để được
( ) P x( ) ( ) ( ) R x( ) ( ) ( ) ( )
Khi đó, h x( ) sẽ là hàm phân thức hữu tỉ thực sự
Ta có: Một phân thức thực sự luôn phân tích được thành tổng các phân thức đơn
giản hơn Đó là các biểu thức có dạng
các hàm số có thể tìm nguyên hàm một cách dễ dàng Để tách được phân thức ta dùng phương pháp hệ số bất định
1 Trường hợp phương trình Q(x) = 0 có nghiệm thực và các nghiệm đều là nghiệm đơn
Q x = a x+b a x+b a x +b (Số nhân tử chính bằng bậc của đa thức Q x( ))
Trong trường hợp này, g(x) có thể biểu diễn dưới dạng:
Sau khi biểu diễn được g(x) về dạng này, bài toán trở thành bài toán cơ bản
Ví dụ về cách phân tích:
2
Khi đó (A+B x) −2A− =B 4x−3, đồng nhất hệ số thì ta được
Trang 2A B 4 A 1
Khi đó ta được:
2
2 Trường hợp Q(x) = 0 có nghiệm thực là nghiệm bội
- Nếu phương trình Q x( )=0 có các nghiệm thực a ;a ; ;a1 2 n trong đó a1 là nghiệm bội k thì ta phân tích g x( ) R x( ) ( )
Q x
= về dạng
+
Ví dụ về cách phân tích:
1 x
−
2
3
1 x
=
−
2
3
1 x
=
Từ đây, đồng nhất hệ số ta có
− − = = −
Khi đó:
( ) (3 ) (2 )3
−
TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ thực sự sau khi phân tích được đưa về các dạng nguyên hàm sau:
1 A dx A.ln x a C, k 1
−
2
k 1
−
Trang 33 Mở rộng: Nguyên hàm hàm phân thức chứa căn ở mẫu thức
3.1 Dạng 1:
2
dx I
ax bx c
=
Phương pháp chung
2
1
ln u u k
2 2
du
+
2
mx n dx I
ax bx c
+
=
Phương pháp chung
I
3 2
d ax bx c
.I
3.3 Dạng 3:
dx I
px q ax bx c
=
Phương pháp chung
Đặt px q 1 pdx dt2; x 1 1 q
Khi đó
dx I
px q ax bx c
=
2 2
2
dt
−
=
− + − +
Trang 4dt
At Bt
=
+ +
(quay trở về bài toán dạng 1)
4 Nguyên hàm của một số nguyên hàm liên quan trong dạng bài này
ln ax b C
+
x x a
+
arctan C
+
dx
+
+
−
B VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 1 Nguyên hàm 2 1 dx
x −7x+6
A 1ln x 1 C
− +
− +
C 1ln x2 7x 6 C
5
Lời giải
Ta có:
2
dx ln x 6 ln x 1 C
=
−
−
Đáp án đúng là B
Ví dụ 2 Nguyên hàm
2
dx
x 3x 2
Trang 5A x2 ln x 1 C
x 2
−
2
−
−
C 1x2 ln x 1 C
−
x 1
−
Lời giải
Ta có:
2
dx
x 3x 2
2
dx
x 3x 2
=
2
1
x 3x 2
( )(1 )
x 2 x 1
x 2 x 1
x 1
−
−
Đáp án đúng là D
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1 Tìm nguyên hàm của hàm số
2
f (x)
(x 1)
=
+ với F(0) = 8 là:
A
2
x
2 + + x 1
2
x
2 + − x 1
+
C
2
x
2 − + x 1
Câu 2
(x 1 x+ )(1 +2)dx
Trang 6A ln x 1+ +ln x+ +2 C B ln x 1 C
x 2
+ + +
Câu 3 2 x 1 dx
x 3x 2
+
A 3ln x− −2 2ln x 1− +C B 3ln x− +2 2ln x 1− +C
C 2ln x− −2 3ln x 1− +C D 2ln x− +2 3ln x 1− +C
Câu 4 2 1 dx
x −4x−5
A ln x 5 C
x 1
− +
x 5
x 1
− + +
C 1ln x 5 C
− +
−
+
Câu 5 Tìm nguyên hàm: 1 dx
x(x−3)
A 1ln x C
3 x 3 +
+ +
C 1ln x C
3 x 3 +
− +
Câu 6 2 1 dx
x +6x+9
x 3
1 C
x 3+
1 C
x 3
1 C
3 x +
−
Câu 7 Cho hàm ( ) 2 1
f x
x 3x 2
=
− + Khi đó:
x 2
+
+
x 2
−
−
Trang 7C ( ) x 2
x 1
+
+
x 1
−
−
Câu 8 Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 2 1
x 4x 3
=
− + là
A F(x) 1ln |x 3| C
−
F(x) ln | | C
−
−
C F(x)=ln | x2 −4x+ +3 | C D F(x) ln | x 3| C
x 1
−
−
Câu 9 Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) 2 1
x 3x 2
=
− + thỏa mãn F
3 2
= 0 Khi đó F(3) bằng:
Câu 10 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f (x) 22x 3
x 4x 3
+
=
A
2
2 2
x 3x
C
x 4x 3
+
2
(2x+3)ln x +4x+ +3 C
C
2
2
x 3x
C
x 4x 3
ln x 1 3ln x 3 C
Câu 11 Tính 2 dx
x +2x−3
A 1ln x 1 C
C 1ln x 3 C
+ +
− + +
Câu 12 Họ nguyên hàm của f(x) = 1
x(x 1)+ là:
A F(x) = ln x 1 C
x
+ +
B F(x) = ln x C
x 1 + +
Trang 8C F(x) = 1ln x C
2 x 1 +
Câu 13 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f (x) 2 x 3 , F(0) 0
x 2x 3
−
số C bằng
A 2ln 3
3
2
ln 3
3
ln 3 2
−
Câu 14 Nguyên hàm của hàm số: y = 2dx 2
a −x
A 1 ln a x
2a a x
−
ln 2a a x
+
− +C
C 1ln x a
−
ln
+
− +C
Câu 15 Nguyên hàm của hàm số: y = 2dx 2
x −a
A 1 ln x a
2a x a
−
ln 2a x a
+
− +C
C 1ln x a
−
ln
+
− +C
Câu 16 Để tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) 2 1
x 6x 5
=
− + Một học sinh trình bày như sau:
x 6x 5 (x 1)(x 5) 4 x 5 x 1
(II) Nguyên hàm của các hàm số 1 , 1
x−5 x 1− theo thứ tự là: ln x−5 , ln x 1−
(III) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là: 1(ln x 5 ln x 1 C 1 x 1 C
−
− Nếu sai, thì sai ở phần nào?
Trang 9Câu 17 Tính:
2
x 1
x 1
+
=
+
A P=x x2 + − +1 x C B P= x2 + +1 ln x+ x2 + +1 C
C
2
x
Câu 18 Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số:
2
1 y
4 x
= +
A F(x)=2 4+ x2 B F(x)= +x 2 4+x2
F(x)=ln x+ 4+x
Câu 19 Tính nguyên hàm
2
dx
x +a
A ln x− x2 + +a C B ln 2x− x2 + +a C
C ln 2x+ x2 + +a C D ln x+ x2+ +a C
Câu 20 Nguyên hàm của hàm số ( )
( )3
2x
f x
1 x
=
−
A ( )
( )2
( )2
C ( )
( )4
1 x 4 1 x
( )4
1 x 4 1 x
Đáp án