Nguyên hàm và cách giải bài tập cơ bản A LÝ THUYẾT 1 Khái niệm nguyên hàm Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu ( ) ( )F'''' x f x= với mọi x thuộc[.]
Trang 1Nguyên hàm và cách giải bài tập cơ bản
A LÝ THUYẾT
1 Khái niệm nguyên hàm
- Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm
số f(x) trên K nếu F' x( ) ( )=f x với mọi x thuộc K
F'(x)=f (x) , x K
Định lí:
1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số
( ) ( )
G x =F x +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K
2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F x( )+C, với C là một hằng số
Do đó F x( )+C,C là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K
2 Tính chất của nguyên hàm
- Nếu F(x) có đạo hàm thì: d F(x)( )=F(x)+C
- kf x dx( ) =k f x dx ( ) với k là hằng số khác 0
- f x( ) ( )g x dx=f x dx( ) g x dx( )
3 Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
4 Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
1 0dx=C 2 dx= +x C
1
+
ax b 1
+
+
4 12 dx 1 C
x = − +x
2
x
2
5 1dx ln x C
+
6 e dxx =ex +C 19 eax bdx 1eax b C
a
Trang 27
x
ln a
kx b
kx b 1 a
k ln a
+
a
a
10 tan x.dx= −ln | cos x | C+ 23 tan ax( b dx) 1ln cos ax( b) C
a
11.cot x.dx ln | sin x | C= + 24 cot ax( b dx) 1ln sin ax( b) C
a
2
dx tan ax b C
+
2
+
1 tan x dx+ =tan x+C
a
15 ( 2 )
1 cot x dx+ = −co t x+C
a
B CÁC DẠNG BÀI TOÁN HAY GẶP VÀ VÍ DỤ
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản đã nêu ở phần lý
thuyết để giải các bài toán sau
Bài toán 1: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên D
Ví dụ 1 Cho hàm số f (x)=x2 +3 Khẳng định nào sau đây đúng?
3
x
3
Lời giải
Trang 3( ) 3
3 dx
Chọn B
Bài toán 2: Tìm F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên D
Ví dụ 2 Cho ( ) 1 x 3 1
−
+ Hỏi F(x) là nguyên hàm của hàm số nào
dưới đây?
A ( ) 21
f x
=
f x
=
−
C ( ) 2
f x
f x
Lời giải
Ta có:
F' x ln
+
.ln x 3 ln x 3
ln x 3 ln x 3
Chọn A
Bài toán 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện cho trước
Ví dụ 3 Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ' x( )= −3 5sin x và f 0( )=10 Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A.f x( )=3x+5cos x+5 B f x( )=3x+5cos x+2
Trang 4C.f x( )=3x−5cos x+2 D f x( )=3x−5cos x 15+
Lời giải
Ta có f x( )=f ' x dx( ) = (3 5sin x dx− )
3x+5cos x+C
=
Do f 0( )=10 nên 3.0 5cos0 C 10+ + = + =5 C 10 =C 5
Vậy f x( )=3x+5cos x+5
Chọn A
Bài toán 4: Tìm giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của f(x)
Ví dụ 4 Cho kết quả của ( 2 3)
có dạng ax3 bx4 C
3 + 4 + , trong đó a, b là hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:
Lời giải
Theo đề, ta cần tìm ( 2 3)
Sau đó, ta xác định giá trị của a
Ta có:
Suy ra để ( 2 3)
có dạng ax3 bx4 C
3 + 4 + thì a = 1, b = 2
Chọn B
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1 Nguyên hàm của hàm số f (x)=x3+x là
A x4 +x2 +C B 3x2 + +1 C
C x3 + +x C D 1x4 1x2 C
Câu 2 Nguyên hàm của ( ) 3 2
f x =x −x +2 x là:
Trang 5A 1x4 x3 4 x3 C
C 1x4 x3 2 x3 C
Câu 3 Nguyên hàm của ( ) 1 32
A 2 x +3 x3 2 +3x+C B 2 x 4 3 x2 3x C
3
C 1 x 3 x3 2 3x C
Câu 4 Hàm số f x( ) có nguyên hàm trên K nếu:
A f x( ) xác định trên K
B f x( ) có giá trị lớn nhất trên K
C f x( ) có giá trị nhỏ nhất trên K
D f x( ) liên tục trên K
Câu 5 Mệnh đề nào sau đây sai?
A Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên ( )a;b và C là hằng số thì
B Mọi hàm số liên tục trên ( )a;b đều có nguyên hàm trên ( )a;b
C F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên ( )a;b F x( ) ( )=f x , x ( )a;b
D ( f x dx( ) ) =f x( )
Câu 6 Gọi F x( ) là nguyên hàm của hàm số ( ) 3 ( )
f x =4x +2 m 1 x− + +m 5, với
m là tham số thực Tìm một nguyên hàm của f x( ) biết rằng F 1( )=8 và F 0( )=1
A ( ) 4 2
F x =x +6x 1+
C ( ) 4 2
F x =x +2x +1 D Đáp án A và B
Câu 7 Họ nguyên hàm của I=e dxx là:
A 2ex +C B ex C e2x +C D ex +C
Trang 6Câu 8 Cho ( ( ) 3 2)
, trong đó a, b là hai số hữu tỉ Biết rằng
4
A 1; 3 B 3; 1 C 1; 1
8
− D 2; 4
Câu 9 Tính 3x 2
(2+e ) dx
A 3x 4e3x 1e6x C
C 4x 4e3x 1e6x C
Câu 10 Nguyên hàm của hàm số f x x – 3x ( ) 2 1
x
A
C
Câu 11 Nguyên hàm của hàm số y= 3x 1− trên 1;
3
là:
A 3x2 x C
C 3x2 x C
Câu 12 Hàm số F(x)=ex +e−x +x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây ?
2
−
2
−
Câu 13 Tính2 3 7 dx2x x x
Trang 7A
x
84
C
2x x x
2 3 7
C
ln 4.ln 3.ln 7 +
Câu 14 Tính (x2 3x 1)dx
x
A x3 −3x2+ln x+C B
3
2
C
3
2
2
3
2
x ln | x | C
Câu 15 Tính 2x 1+ dx
A
x 1
2
C
ln 2
+
+ B 2x 1+ +C C
x 1
3.2
C
ln 2
+
Câu 16 Tìm một nguyên hàm F(x) của
3
2
f (x)
x
−
= biết F(1) = 0
A
2
F(x)
2
F(x)
C
2
F(x)
2
F(x)
Câu 17 Tìm hàm số F(x) biết rằng F’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và F(-1) = 3
A F x( )=x – x4 3 −2x 3− B F x( )=x – x4 3+2x+3
F x =x +x +2x+3
Câu 18 Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2 3
x x
= + là :
C ( ) 1
−
Câu 19 Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 4
=
− là :
Trang 8A 1ln 3x 2 C
3
6
−
Câu 20 Họ nguyên hàm của hàm số f (x)=ex −e−x là :
A ex +e−x +C B ex −e−x +C C − +ex e−x +C D ex +ex +C
Câu 21 Họ nguyên hàm của hàm số f (x)=32x −2−3x là :
A
C 2.ln 3 3.ln 2
−
C 2.ln 3 3.ln 2
−
C
C 2.ln 3 3.ln 2
−
C 2.ln 3 3.ln 2
−
Câu 22 Nguyên hàm F(x) của hàm số
2 2
f (x)
x
là hàm số nào trong các
hàm số sau?
A
3
3
C
3
2
x
x 3
x 2
+
3 3
2
x x 3
x 2
+
Câu 23 Nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 2 3
f x =2x +x −4 thỏa mãn điều kiện
( )
F 0 =0 là:
4 3
C x3 −x4 +2x D Đáp án khác
Câu 24 Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số 1
x 1− và F(2) = 1 Khi đó F(3) bằng bao nhiêu:
Trang 9A e+ln 2 B 1
3 ln
Câu 25 Hàm số f x( ) có nguyên hàm trên K nếu
A f x( ) xác định trên K B f x( ) có giá trị lớn nhất trên K
C f x( ) có giá trị nhỏ nhất trên K D f x( ) liên tục trên K
Câu 26 Cho hai hàm số f (x),g(x) là hàm số liên tục, có F(x),G(x) lần lượt là nguyên hàm của f (x),g(x) Xét các mệnh đề sau:
(I): F(x)+G(x) là một nguyên hàm của f (x)+g(x)
(II): k.F x( ) là một nguyên hàm của kf x( ) (kR)
(III): F(x).G(x) là một nguyên hàm của f (x).g(x)
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng ?
A I B I và II C I, II, III D II
Câu 27 Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
A 0dx=C( C là hằng số) B 1dx ln x C
C x dx 1 x 1 C
1
+
( C là hằng số) D dx= +x C( C là hằng số)
Câu 28
2 x
x
1
3
A
2 x
x
C
3 x
x
C
3 ln 3 3 ln 3
C
x
x
Câu 29 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A ( ) 2
F x = là một nguyên hàm của x f x( )=2x
B F x( )=x là một nguyên hàm của f x( )=2 x
C Nếu F x( ) và G x( ) đều là nguyên hàm của hàm số f x( ) thì F x( )−G x( )=C
(hằng số)
Trang 10D.f x1( )+f2( )x dx =f x dx1( ) +f2( )x dx
Đáp án
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
D A A D C B D A D C B C A D A
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
D B A D A A A D D D B C C B