Các phương pháp tính tích phân và cách giải A LÝ THUYẾT 1 Phương pháp đổi biến số Định lý 1 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b Giả sử hàm số ( )x t= có đạo hàm liên tục trên đoạn ; sao[.]
Trang 1Các phương pháp tính tích phân và cách giải
A LÝ THUYẾT
1 Phương pháp đổi biến số
Định lý 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b Giả sử hàm số x = ( )t có đạo hàm liên tục trên đoạn ; sao cho = ( ) a; ( )b =b và a ( )t b với mọi t ; Khi đó:
b
a
f x dx f t ' t dt
Từ định lý 1 ta rút ra các bước đổi biến số
1 Đặt x= ( )t , ta xác định đoạn ; sao cho = =( ) a, ( ) b và a ( )t b
, t ; ;
2 Biến đổi f x dx( ) = f( ( )t )' t dt( ) =g t dt( )
3 Tìm một nguyên hàm G t( ) của g t( )
4 Tính g t dt( ) G( ) G( )
5 Kết luận b ( ) ( ) ( )
a
f x dx=G −G
Định lý 2
Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn a;b Nếu hàm số u=u x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b và u x( ) với mọi x a; b sao cho
f x =g u x u ' x ,g u liên tục trên đoạn ; thì ( ) ( )
( )
( )
u b b
f x dx= g u du
Từ định lý 2 ta rút ra các bước đổi biến số
1 Đặt u=u x( ),
2 Biến đổi f x dx( ) =g u du( )
3 Tìm một nguyên hàm G u( ) của g u( )
Trang 24 Tính ( )
( )
( )
( )
( ) ( ( ) )
u b
u a
g u du=G u b −G u a
5 Kết luận b ( ) ( ( ) ) ( ( ) )
a
f x dx=G u b −G u a
2 Phương pháp tích phân từng phần
Tương tự tính nguyên hàm từng phần, ta có định lý sau:
Nếu u=u x( ) và v=v x( ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b thì
b a
u x v ' x dx = u x v x − u ' x v x dx
b a
udv=uv − vdu
Hay
b a
udv=uv − vdu
Một số cách đặt tích phân từng phần thường gặp với
b
a
p(x)q(x)dx
( )
p x là đa thức, q x( ) là hàm lượng giác ( )
( )
u p x
dv q x dx
=
=
( )
p x là đa thức, ( ) ( )x x
( )
u p x
dv q x dx
=
=
( )
p x là đa thức, q x( ) (=f ln x) ( )
( )
u q x
dv p x dx
=
=
( )
p x là hàm lượng giác, ( ) ( )x
( )
u q x
dv p x dx
=
=
( )
p x là đa thức, ( ) ( )1
q x f ' ln x
x
( )
u p x
dv q x dx
=
=
Trang 3( )
p x là đa thức, q x( )=f ' u x u x '( ( ) ) ( ( ) ) , u x( ) là các
hàm lượng giác (sin x,cos x, tan x,cot x)
( ) ( )
u p x
dv q x dx
=
=
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ
1 Phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước ở lý thuyết
Chú ý:
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó
bằng t
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số
thì đặt biểu thức trên mũ bằng t
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
a)
4
0
dx
3 2x 1
=
b)
ln 3
x 0
dx
e 1
=
+
Lời giải
Chú ý: Đổi biến nhớ phải đổi cận
a) Đặt t = 2x 1+ =t2 2x 1+ dx=tdt
Đổi cận x 0 t 1
x 4 t 3
= =
= =
1
2
3 3.ln 6 1 3.ln 4 2 3.ln
3
Trang 4b) Đặt t ex 1 t2 ex 1 2tdt e dxx dx 22t dt.
t 1
−
Đổi cận x 0 t 2,
x ln 3 t 2
= =
2
2 2
−
Dạng 2: Tích phân đổi biến số với hàm ẩn
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước ở lý thuyết
Chú ý tính chất: b ( ) b ( ) b ( )
f x dx = f t dt = f u du
(tích phân không phụ thuộc vào biến)
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên thỏa mãn 6 ( )
0
f x dx=12
Tính tích phân 2 ( )
0
I=f 3x dx
Lời giải
Ta có: 2 ( ) 2 ( ) ( )
1
I f 3x dx f 3x d 3x
3
Đổi biến: Đặt t = 3x dt = 3dx
Đổi cận: x = 0 thì t = 0; x = 2 thì t = 3 2 = 6
= = = = (tích phân không phụ thuộc vào biến)
Chọn D
Dạng 3: Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ
Bài toán tổng quát: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] Chứng minh rằng:
Trang 5a) a ( ) a ( )
f x dx 2 f x dx
−
=
nếu f(x) là hàm số chẵn
b) a ( )
a
f x dx 0
−
=
nếu f(x) là hàm số lẻ
Phương pháp giải
a) Hàm số f(x) là hàm chẵn thì f( ) ( )− =x f x
Ta có: 0 ( ) 0 ( ) ( )
f x dx f x d x
t x
f t dt f x dx f x dx
=−
⎯⎯⎯→− = − =
Do đó a ( ) 0 ( ) a ( ) a ( )
f x dx f x dx f x dx 2 f x dx
b) Hàm số f(x) là hàm lẻ thì f( )− = −x f x( )
Ta có: a ( ) a ( ) a ( ) ( )
f x dx f x dx f x d x
t x
f t dt f x dx
−
=−
⎯⎯⎯→ = −
Do đó a ( ) a ( )
2 f x dx 0 f x dx 0
Ví dụ minh họa
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn
f x +2f 1 x− =3x, x
Tính tích phân 1 ( )
0
I=f x dx
A I 3
2
2
Trang 6Lời giải
Cách 1: Ta có
f x +2f 1 x− =3x
f x dx 2 f 1 x dx
0 0
Đặt t 1 x dt dx x 0, t 1
x 1, t 0
= − = − = =
f 1 x dx f t dt f t dt f x dx
Suy ra 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )
3
f x dx 2 f 1 x dx 3 f x dx
2
( )
1
0
Chọn C
Cách 2: Ta có f x( )+2f 1 x( − )=3x
f 1 x 2f x 3 1 x 3 3x
Khi đó ( ) ( )
f x 2f 1 x 3x (1)
f 1 x 2f x 3 3x 2
Lấy 2 2( ) ( )− 1 , ta được 3f x( ) (=2 3 3x− )−3x f x( )= −2 3x
0
Chọn C
Dạng 4 Tích phân hàm phân thức hữu tỉ
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước ở lý thuyết
Trang 7Chú ý: Cách phân tích hàm phân thức hữu tỉ (giống phần nguyên hàm): Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để phân tích
Ví dụ minh họa
Ví dụ 4 Tính tích phân
3 0
x
1 x
= +
A.I ln 4 33
32
4000
32
= −
Lời giải
Đặt 1 x+ = u dx=du
Đổi cận x 0= =u 1;x= = 3 u 4
Khi đó 4( )2 4 2
4 4
du ln u
(ln 4 ) (0 )
33
ln 4
32
Chọn D
2 Phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp giải: Sử dụng công thức tích phân từng phần
b a
udv=uv − vdu
Chú ý: Cách chọn u, v (theo bảng đã cho ở phần lý thuyết)
Trang 8Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tích phân 2
0
I x cos xdx
= và u=x ; dv2 =cos xdx Khẳng định nào sau đây đúng?
0 0
I x sin x x sin xdx
0 0
I x sin x x sin xdx
0 0
I x sin x 2 x sin xdx
0 0
I x sin x 2 x sin xdx
Lời giải
Ta có
u x
v sin x
dv cos xdx
=
Theo công thức tích phân từng phần 2
0 0
I x sin x 2 x sin xdx
Chọn D
Ví dụ 2: Cho tích phân 3( )
2 2
I= 3x +1 ln xdx=a ln 3 b ln 2+ +c với a,b,c Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Lời giải
Đặt ( 2 )
3
dx
x
dv 3x 1 dx
v x x
=
Theo công thức tích phân từng phần ( ) 3( )
3
2 2
I x x ln x x 1 dx
Trang 93 3
2
x 30ln 3 10ln 2 x
3
22 30ln 3 10ln 2
3
a 30;b 10;c 3b
Chọn B
Ví dụ 3 Cho
x 1
1
x
−
với a;b;c ; a Lúc này 0
S= + +a b c có giá trị bằng
A S 1
2
= − B S 3
2
= − C S 1
3
= D S 9
2
= Lời giải
Ta có
Đặt
2 1
x
x 1
1
I =e − dx
Đặt
2
1
x
dv dx v x
Theo công thức tích phân từng phần ta có
1
1 1
1
x
Từ (1); (2) ta có
1
2
1
x.e − 2.e − 1.e− 2.e 1
Trang 103 9
a 2;b ;c 1 a b c
Chọn D
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1 Cho hàm số f liên tục trên và hai số thực a < b Nếu
b
a
f (x)dx =
thì tích phân
b
2
a
2
f (2x)dx
có giá trị bằng
A
2
Câu 2 Bài toán tính tích phân
e
1
ln x 1ln x
x
+
= được một học sinh giải theo ba bước sau:
I Đặt ẩn phụ t ln x 1= + , suy ra dt 1dx
x
= và
ln x 1ln x
x
+
2 2
5
2
t
Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
Câu 3 Bài toán tính tích phân
1
2 2
I (x 1) dx
−
= + được một học sinh giải theo ba bước sau:
I Đặt ẩn phụ 2
t =(x+1) , suy ra dt=2(x 1)dx+ ,
Trang 11II Từ đây suy ra dt dx dt dx
2(x 1) = 2 t =
III Vậy
4
1
2 t
−
Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
Câu 4 Cho tích phân:
e
1
1 ln x
2x
−
= Đặt u= 1 ln x− Khi đó I bằng
A
0
2
1
I=u du B
0 2 1
I= −u du
C
0 2
1
u
2
1 2 0
I= −u du
Câu 5 Tích phân
2 5 0
x dx (1 x )+
A
5
1
1 (t 1)
dt
−
5 1
(t 1)
dt t
−
C
4
1
1 (t 1)
dt
−
4 1
3 (t 1)
dt
−
Câu 6 Tích phân
e
1
(2x−5)ln xdx
A
e e 2
1 1
(x 5x)ln x (x 5)dx
e e 2
1 1
(x −5x) ln x +(x−5)dx
C
e e 2
1 1
(x −5x) ln x −(x −5)dx D
e
1 1
(x−5) ln x −(x −5x)dx
Trang 12Câu 7 Tìm m để
2
4 m
122 (3 2x) dx
5
Câu 8 Tích phân
1 2 0
I=x x +1dx có giá trị là
A 3 2 1
3
−
3
−
C 2 2 1
2
−
D 3 2 1
2
−
Câu 9 Giá trị của tích phân
1 2 0
4x 2
dx
x x 1
+ + +
Câu 10 Giá trị của tích phân
3
0
x 3
dx
3 x 1 x 3
− + + +
A 3 3ln3
2
2
C 3 6ln3
2
2
− +
Câu 11 Giá trị của tích phân
1 x 0
dx I
1 e
= +
là
A ln 2e
e 1
+
e ln
e 1
+
C 2 ln e
e 1
+
2e
2 ln
e 1
+
Câu 12 Giá trị của tích phân
ln 3 x
3 x 0
e
e 1
=
+
A 2 2 1− B 2 1− C 2−2 D 2 2−2
Câu 13 Giá trị của tích phân
2
e
e
dx I
x ln x
= là
Trang 13A 2ln3 B ln3 C ln2 D 2ln2 Câu 14 Giá trị của tích phân
3
8
dx
x 1 x
−
−
=
−
A.ln2
Câu 15 Biết
a 3
2 1
x 2ln x 1
−
= = + Giá trị của a là
Câu 16 Kết quả phép tính tích phân
5
1
dx I
x 3x 1
=
+
có dạng I=a ln 3 bln 5+
(a, b ) Khi đó 2 2
a +ab+3b có giá trị là
Câu 17 Biết rằng
b
0
6dx=6
a x 0
xe dx=a
Khi đó biểu thức 2 3 2
b +a +3a +2a có giá trị bằng
Câu 18 Giả sử 2( )
1
2x 1 ln xdx− =a ln 2+b
, (a; b ) Tính a + b
A 5
3
2
Câu 19 Biết rằng
ln 2
x 0
1 dx= ln 2 b ln 3 ln 5
+
nguyên Khi đó S = a + b – c bằng bao nhiêu
Câu 20 Cho hàm số y = f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [-4;4], biết
0
2
f ( x)dx 2
−
2
1
f ( 2x)dx− =4
4
0
I=f (x)dx =?
Trang 14Đáp án