50 bài toán về các phương pháp tính nguyên hàm (có đáp án 2022) – toán 12

Các phương pháp tính nguyên hàm và cách giải bài tập A LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1 Phương pháp biến đổi biến số Nếu thì ( ) ( ) ( )f u x u '''' x dx F u x C= +       Giả sử ta cần tìm họ ngu[.]

Các phương pháp tính nguyên hàm và cách giải bài tập

A LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Phương pháp biến đổi biến số

Nếu thì f u x ( ) ( ).u ' x dx=F u x ( )+C

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I=f x dx( ) , trong đó ta có thể phân tích

( ) ( ( ) ) ( )

f x =g u x u ' x thì ta thực hiện phép đổi biến số t =u x( ), suy ra

( )

dt =u ' x dx

Khi đó ta được nguyên hàm: g t dt( ) =G t( )+ =C G u x ( )+C

Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàmf x dx( ) =F x( )+Ctheo t thì ta phải thay

( )

t=u x

Các bước thực hiện:

Bước 1: Chọn x= ( )t , trong đó ( )t là hàm số mà ta chọn thích hợp

Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx= ' t dt( )

Bước 3: Biến đổi : f (x)dx= f ( ) ( )t ' t dt=g t dt( )

Bước 4: Khi đó tính : f (x)dx =g(t)dt=G(t)+C

Một số cách đổi biến số hay gặp

1 Có f (x) t= f (x) I x dx3

x 1

=

+

 Đặt t = x 1+

2 Có (ax+b)n t=ax+ b 2016

I= x(x 1)+ dx Đặt t = x + 1

3 Có f (x )

2

e

cos x

+

= Đặt t tan x 3= +

4 Có dx và ln x

x

t=ln x hoặc

biểu thức chứa

ln x

ln xdx I

x(ln x 1)

=

+

 Đặt t ln x 1= +

5 Có x

e dx

x

t=e hoặc biểu

thức chứa ex

I= e 3e +1dx Đặt x

t= 3e +1

6 Có sin xdx

t=cos x hoặc biểu thức chứa cosx

3

sin x

2cos x 1

=

+

 Đặt t=2cos x 1+

7 Có cos xdx t=sin xdx 3

I= sin x cos xdx Đặt t sin x=

8 Có dx2

cos x t=tan x

2

Đặt t =tan x

9 Có dx2

2sin x

= Đặt t =cot x

2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn  a;b và có đạo hàm liên tục trên đoạn

 a;b

Khi đó: udv uv = −vdu ( )*

Để tính nguyên hàm f x dx( ) bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1 Chọn u, v sao cho từ f x dx( ) =udv (chú ý dv= v ' x dx( ) )

Sau đó tính v=dv và du=u '.dx

Bước 2 Thay vào công thức ( )* và tính vdu

+ Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng p(x)q(x)dx trong các trường hợp sau:

Chú ý: Với p(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

( )

p x là đa thức, q x( ) là hàm lượng giác ( )

( )

u p x

dv q x dx

=





=

( )

p x là đa thức, ( ) ( )x x

( )

u p x

dv q x dx

=





=

( )

p x là đa thức, q x( ) ( )=f ln x ( )

( )

u q x

dv p x dx

=





=

( )

p x là hàm lượng giác, ( ) ( )x

( )

u q x

dv p x dx

=





=

( )

p x là đa thức, ( ) ( )1

q x f ' ln x

x

( )

u p x

dv q x dx

=





=

( )

p x là đa thức, q x( )=f ' u x u x '( ( ) ) ( ( ) ) , u x( ) là các

hàm lượng giác (sin x,cos x, tan x,cot x)

( ) ( )

u p x

dv q x dx

=





=

Lưu ý: Chọn u: Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ

- Mở rộng: Quy tắc đường chéo để tính tích phân từng phần

Bảng 1 Bảng 2

Áp dụng nhanh trong trường hợp u là một đa thức bậc cao

Ở cột u, lấy đạo hàm liên tiếp đến khi được kết quả bằng 0, hoặc đến khi lấy đạo hàm phức tạp hơn, hoặc đến khi lặp lại thì dừng

Ở cột v, tìm nguyên hàm tương ứng của v

Ví dụ áp dụng: Tìm các nguyên hàm sau:

u"' u"

-( )

v 3 0

v 2

v 1

+ ( )

+ ( ) -( ) v

u'

v' u

Cột v (ng hàm) Cột u ( đạo hàm)

+ ( )

-( )

+ ( )

v1

u''

v u'

v' u

( Nguyên hàm ) ( Đạo hàm )u v

1 (x+2)e dx2x

2 (2x 1)cos xdx −

3 (3x2 −1)ln xdx

Giải: Áp dụng quy tắc đường chéo:

1: (x+2)e dx2x

Căn cứ vào bảng ta được:

(x 2)e dx 2 e

4



2 (2x 1)cos xdx −

Căn cứ vào bảng ta được:

(2x 1)cos xdx−

 =(2x 1 sin x− ) +2cosx+C

2

+

x

e2x

v u

+

-+

e2x

1 4 0

e2x

1 2 1

- cosx

1

-

2x

sinx

v u

+

-+

0

cosx

2

3 (3x2 −1)ln xdx

Căn cứ vào bảng ta được:

2

(3x −1)ln xdx



x x ln x x x dx

x

x x ln x x 1 dx

3

B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ

Ví dụ 1 Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) 2x 12

(x 2)

+

= + trên khoảng

(− +2; ) là:

A 2ln(x 2) 1 C

x 2

1

x 2

+

C 2ln(x 2) 3 C

x 2

3

x 2

+

Lời giải

Ta có: f (x) 2x 12

(x 2)

+

= +

Đặt t= +  =x 2 dt dx và x = t – 2 Thay vào đề bài ta được:

x

x3

1

x

1

-x2

3

lnx

-

v u

+

-2 2

+

2

Thay t = x + 2, ta được:

+

x 2

+ (Do theo đề bài x − +( 2; ) nên x + 2 > 0)

Chọn D

Ví dụ 2 Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của ( )

( )2

ln x

g x

x 1

= + ?

A ln x ln x 1999

C ln x ln x 2016

x 1− x 1 +

x 1+ x 1 +

Lời giải

Gọi nguyên hàm của hàm số đã cho là S, ta có :

Đặt

( )2

1

x 1

v

x 1

x 1



=

x 1 x x 1

−

ln x (x 1) x

dx





dx

−

ln x

x 1

ln x x

−

+

−

Chọn C = 1999

Khi đó S = ln x ln x 1999

Chọn A

Ví dụ 3 Tìm một nguyên hàm của hàm số ( ) 3 2

2

4 x

f x x ln

4 x

+

A

2

2

4 x

4 x

 − −

2 2

C

2

2

4 x

4 x

 − +

2 2

Lời giải

Đặt :

2

4 2

3

16x

4 x

dv x dx



=

4

2 2

+

Chọn C = 0

Khi đó ta có một nguyên hàm của hàm số đã cho là 4 2 2

2

Chọn B

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1 Nguyên hàm của 2x dx

x +1

A ln t +C, với t =x2 +1 B −ln t +C, với t=x2 +1

C 1ln t C

2 + , với 2

t =x + 1 D 1ln t C

2

− + , với 2

t =x + 1

Câu 2 Với phương pháp đổi biến số (x →t) , nguyên hàm ln 2xdx

x

 bằng:

A 1t2 C

2 + B t2 +C C 2t2 +C D 4t2 +C

Câu 3 Nguyên hàm của I=x ln xdx bằng:

A

2

x

ln x xdx C

2

ln x xdx C

2 −2 +

C x ln x2 1xdx C

2

− + D x ln x2 −xdx+C

Câu 4 Họ nguyên hàm của x( )

e 1 x dx+

A I=ex +xex +C B I ex 1xex C

2

C I 1ex xex C

2

= + + D I=2ex +xex + C

2x x + +1 x ln x dx

3 + + 6 −4 + , trong

đó a, b là hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:

C 1 D Không tồn tại

Câu 6 TínhF(x) dx

x 2ln x 1

=

+



A F(x)=2 2ln x 1+ +C B F(x)= 2ln x 1 C+ +

C F(x) 1 2ln x 1 C

4

2

Câu 7 Tính

3 4

x

x 1

=

−



A F(x)=ln x4 − + 1 C

B F(x) 1ln x4 1 C

4

C F(x) 1ln x4 1 C

2

D F(x) 1ln x4 1 C

3

Câu 8 Họ nguyên hàm của hàm số f (x)=2x x2 +1 là:

A 2 ( 2 )3

C ( 2 )3

3

Câu 9 Họ nguyên hàm của hàm số

2

2x

f (x)

=

+ là:

2

1

C

+ +

C 2 x2 + + 1 C D 4 x2 + + 1 C

Câu 10 Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 22x

= + là:

2

ln x 4

C 2

+ +

C ln x2+ + 4 C D 4ln x2 + + 4 C

Câu 11 Họ nguyên hàm của hàm số

x x

e

f (x)

e 3

= + là:

C −2ln ex + + 3 C D ln ex + + 3 C

Câu 12 Họ nguyên hàm của hàm số f (x) ln x

x

= là:

A ln x2 +C B ln x+ C C

2

ln x

C

2 + D ln x C

2 +

Câu 13 Họ nguyên hàm của hàm số f (x)=2x.2x2 là:

x

1

C

ln 2.2 + B 1 2x2 C

ln 2 + C 2

x

ln 2

C

2 + D ln 2.2x2 + C

Câu 14 Tính

( 2 )4

2x

dx

x +9

 ta được kết quả là:

A

( 2 )5

1

C

5 x 9

1

C

3 x 9

C

( 2 )5

4

C

1

C

x 9

+

Câu 15 Một nguyên hàm của f (x) 2x

x 1

= + là:

A 1ln x 1

2ln x + 1 C 1ln(x2 1)

2 + D ln(x2 +1)

Câu 16 Nguyên hàm của hàm số ( ) x

f x =xe là:

A xex +ex + C B ex + C C

2 x

x

2 + D xex −ex + C

Câu 17 Kết quả của ln xdx là:

C x ln x+ C D x ln x− +x C

Câu 18 Kết quả của x ln xdx là:

Câu 19 Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 22x 1

+

= + + là:

A 2ln x2 + + + x 4 C B ln x2 + + + x 4 C

C

2

ln x x 4

C 2

+ +

Câu 20 Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2 2 x

x 4x 4

+

= + − là :

A 1.ln x2 4x 4 C

2 + − + B ln x2 +4x− + 4 C

C 2ln x2 +4x− + 4 C D 4ln x2+4x− + 4 C

Câu 21 Họ nguyên hàm của hàm số f (x) ln 2x

x

= là :

A ln 2x+C B ln x2 +C C

2

ln 2x

C

2 + D ln x C

2 +

Câu 22 Câu nào sau đây sai?

A Nếu F' t( ) ( )=f t thì F u x( ( ) )=f u x( ( ) )

B f t dt( ) =F t( )+ C f u x u ' x dx( ( ) ) ( ) =F u x( ( ) )+C

C Nếu G t( ) là một nguyên hàm của hàm số g t( ) thì G u x( ( ) ) là một nguyên hàm của hàm số g u x u x( ( ) ) ( )

D f t dt( ) =F t( )+ C f u du( ) =F u( )+C với u =u x( )

Câu 23 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A Nếu f t dt( ) =F t( )+C thì f u x u x dx( ( ) ) ( ) =F u x( ( ) )+C

B Nếu F x( ) và G x( ) đều là nguyên hàm của hàm số f x( ) thì

( ) ( )

F x −G x dx

 có dạng h x( )=Cx+D (C,D là các hằng số và C0)

C ( ) 2

F x = +7 sin x là một nguyên hàm của f x( )=sin 2x

D ( )

u x

u x



Câu 24 Để tính

ln x

e dx x

 theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:

A t=eln x B t=ln x C t=x D t 1

x

=

Câu 25 F x( ) là một nguyên hàm của hàm số y=xex2 Hàm số nào sau đây không phải là F x( ):

A. ( ) 1 x 2

2

2

C. ( ) 1 x 2

2

2

= − −

Câu 26 Để tính x ln 2( +x dx) theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

A

u x

dv ln 2 x dx

=



u ln 2 x

dv xdx



=



C u x ln 2( x)

dv dx



=

u ln 2 x

dv dx



=



Câu 27 Hàm số ( ) ( ) x

f x = x 1 e− có một nguyên hàm F x( ) là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi x= ? 0

A ( ) ( ) x

F x = x−2 e

C ( ) ( ) x

F x = x−2 e +3

Câu 28 Một nguyên hàm của f x( )=x ln x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi x 1= ?

A ( ) 1 2 1( 2 )

F x x ln x x 1

F x x ln x x 1

Câu 29 Cho F(x) 12

2x

= là một nguyên hàm của hàm số f (x)

x Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) ln x

A f (x) ln xdx ln x2 12 C



B f (x)ln xdx ln x2 12 C



C f (x) ln xdx ln x2 12 C



D f (x)ln xdx ln x2 12 C



Câu 30 Tính nguyên hàm ln ln x( )

x

= được kết quả nào sau đây?

A I=ln x.ln ln x( )+C B I=ln x.ln ln x( )+ln x+C

C I=ln x.ln ln x( )−ln x+C D I=ln ln x( )+ln x+C

Đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30