50 bài toán về các bài toán thực tế ứng dụng tích phân (có đáp án 2022) – toán 12

Các bài toán thực tế ứng dụng tích phân và cách giải A BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC, QUÃNG ĐƯỜNG 1 Phương pháp giải Với bài toán chuyển động, giả sử vận tốc tức thời của vật là v(t) thì ( ) ( )v t s t[.]

Các bài toán thực tế ứng dụng tích phân và cách giải

A BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC, QUÃNG ĐƯỜNG

1 Phương pháp giải

Với bài toán chuyển động, giả sử vận tốc tức thời của vật là v(t) thì v t( )=s t( )

với s(t) là quãng đường

Gia tốc tức thời của vật: a t( )=v t( )=s( )t

Do đó quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2 là 2 ( )

1

t

t

S=v t dt

Vận tốc tức thời của vật: v t( )=a t dt( )

2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời

điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + 10 (m/s), trong

đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Lời giải

Nguyên hàm của hàm vận tốc chính là quãng đường s(t) mà ô tô đi được sau quãng đường t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh xe

Vào thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với t = 0

Khoảng thời gian t kể từ lúc ô tô đạp phanh đến khi dừng lại là

-5t + 10 = 0 → t = 2 (s)

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại quãng đường ô tô đi được là

2

2 0

2

0

t

5

s (-5t +10)dt 0t

= − 

)

=    − + =

Chọn C

Ví dụ 2 Một vật chuyển động với vận tốc đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy

luật, và có gia tốc a = 0,3 (m/s2) Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên

A 12000m B 240 m C 864000 m D 3200 m

Phân tích

Biểu thức gia tốc là đạo hàm của biểu thức vận tốc, đến đây, kết hợp với ví dụ đầu ta kết luận: “Biểu thức gia tốc là đạo hàm cấp một của biểu thức vận tốc, và

là đạo hàm cấp hai của biểu thức quãng đường” Từ đây ta có lời giải:

Lời giải

Đổi 40 phút = 2400s

Ta có v(t)=0,3dt=0, t3 (do ban đầu vận tốc của vật bằng 0)

Vậy quãng đường vật đi được trong 40 phút đầu tiên là:

2400 2 0 2400

0

t

0,3

S 0,3tdt

2

=

= 

864000 2400 0

Chọn C

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi

công thức v(t) = 3t + 2, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị m Biết tại thời điểm t = 2s thì vật đi được quãng đường là 10m Hỏi tại thời điểm t = 30s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?

A 1410 m B 1140 m C 300 m D 240 m

Câu 2 Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái tàu đạp phanh;

từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 200 – 20t (m/s) Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp

phanh Hỏi thời gian khi tàu đi được quãng đường 750 m (kể từ lúc bắt đầu đạp phanh) ít hơn bao nhiêu giây so với lúc tàu dừng hẳn?

Câu 3 Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 (s) chuyển động thẳng với vận

tốc v(t) = t(5 - t) (m/s) Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại

A 125

12 (m) B

125

9 (m)

C 125

3 (m) D

125

6 (m)

Câu 4 Một người đi xe đạp dự định trong buổi sáng đi hết quãng đường 60 km

Khi đi được 1

2 quãng đường, anh ta thấy vận tốc của mình chỉ bằng

2

3 vận tốc

dự định, anh ta bèn đạp nhanh hơn vận tốc dự định 3km/h, đến nơi anh ta vẫn chậm mất 45 phút Hỏi vận tốc dự định của người đi xe đạp là bao nhiêu?

A 5 km/h B 12 km/h

C 7 km/h D 18 km/h

Câu 5 Một ôtô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái đạp phanh; từ thời

điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v = -5t + 15 (m/s), trong

đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Câu 6 Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S=2t −3 t 1+ , trong

đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét Gia tốc của chuyển động khi

t = 2s là:

A 63 m/s2 B 64 m/s2

C 23 m/s2 D 24 m/s2

Câu 7 Cho một vật chuyển động có phương trình là: S 2t3 2 3

t

= − + (t được tính bằng giây, S tính bằng mét) Vận tốc của chuyển động thẳng t = 2s là:

2 m/s

2 m/s

Câu 8 Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S=2t −4 t 1+ , trong

đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét Vận tốc của chuyển động khi

t = 1 s là:

A 24 m/s B 23 m/s C 7 m/s D 8 m/s

Câu 9 Một chiếc ôtô sẽ chạy trên đường với vận tốc tăng dần đều với vận tốc

v = 10t (m/s), t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu chạy Hỏi quãng đường xe phải đi là bao nhiêu từ lúc xe bắt đầu chạy đến khi đạt vận tốc

20 (m/s)?

Câu 10 Một ôtô đang chạy với vận tốc 19m/s thì người lái hãm phanh, ôtô

chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -38t + 19 (m/s), trong đó t là

khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Câu 11 Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện

chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc -a m/s2 Biết ô tô chuyển động thêm được 20 m thì dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây:

Câu 12 Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc

1

v t =7t m/s Đi được 5 s, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc ( 2)

a= −70 m/s Tính quãng đường S (m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn

A S=87,50 m( ) B S=94,00 m( ) C S=95,70 m( ) D S=96, 25 m( )

Câu 13 Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu

29,4 m/s Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s2 Tính quãng đường S viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất

A S = 88,2 (m) B S = 88,5 (m)

C S = 88 (m) D S = 89 (m)

Câu 14 Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc vo = 15 m/s thì tăng vận tốc với gia tốc a )(t = +t2 4t (m/s2) Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc

Câu 15 Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời

gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình dưới Trong khoảng thời gian 1 giờ kể

từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị

là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

A s = 23,25 (km) B s = 21,58 (km)

C s = 15,50 (km) D s = 13,83 (km)

Đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

B BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ DIỆN TÍCH

1 Phương pháp giải

+ Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được tính theo công thức

( )

b

a

S=f x dx (1) + Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]

Khi đó diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x)

và hai đường thẳng x = a, x = b là b ( ) ( )

a

S=f x −g x dx

2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ

dài trục bé bằng 10m Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục

bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)

A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng

C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng

Lời giải

Nhận thấy đây là bài toán áp dụng ứng dụng của tích phân vào tính diện tích hình phẳng Ta có hình vẽ bên:

Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp 4 lần diện tích phần gạch chéo, do đó

ta chỉ cần đi tìm diện tích phần gạch chéo

Gọi phương trình elip là:

1

a +b = Theo bài ra ta có: 2a = 16; 2b = 10 suy ra a = 8; b = 5

Ta có phương trình đường elip đã cho là

1

8 + 5 =

Xét trên  0;4 nên y0 nên ta có: y 5 82 x2

8

Khi đó

4

cheo

0

5

8

Vậy diện tích trồng hoa của ông An trên mảnh đất là:

4

0

5

S 4 8 x dx 76,5289182

8

Lưu ý: Để giải S:

Cách 1: Sử dụng máy tính cầm tay

Cách 2: Dùng cách đổi biến số: đặt x = 8sint với t [ ; ]

2 2

− 

 thì dx = 8costdt Đổi cận:

1

x 0 sin t 0 t 0



Khi đó:

5

S 4 8 (8sin t) 8cos tdt 20 8 (1 sin t) cos tdt

8

20 8 cos t cos tdt 160 cos tdt

160 (1 cos 2t)dt 80(x sin 2t)

3 80( sin 2 ) 80(0 sin 0) 80( )

(Do t [0; ]

6



 thì cost > 0)

Khi đó số kinh phí phải trả của ông An là 76,5289182.100000 7.653.000 đồng

Chọn B

Ví dụ 2 Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ

bên, biết đường cong phía trên là một Parabol Giá 1 (m2) của rào sắt là 700.000 đồng Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn)

A 6.520.000 đồng B 6.320.000 đồng

1, 5m 2m

5m

C 6.417.000 đồng D 6.620.000 đồng

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Trong đó A(-2,5; 1,5), B(2,5; 1,5), C(0; 2) Giả sử đường cong trên là một Parabol có dạng y=ax2 +bx+c, với a, b, c 

Do Parabol đi qua các điểm đó A(-2,5; 1,5), B(2,5; 1,5), C(0; 2) nên ta có hệ phương trình:

2

2

,

-2 a

+

.(-2,5 + b.(-2,5) + c = 1,5

+ b.(2 5) c = 1

25



Khi đó phương trình Parabol là 2

2 25

y= − x +2 Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số

2

2

2

25

y = − x +

, trục hoành và hai đường thẳng x = -2,5; x = 2,5

Ta có :

2,5 2,5

2

3

x + 2 dx

= 

6

2.( 2,5)

3 5

55 3

−

Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là

.700000 6.417.000

55 S.700000

6

Chọn C

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80m

Người ta thiết kế một mảnh nhỏ hình thoi có bốn đỉnh là bốn đỉnh của eip trên để trồng hoa, phần còn lại trồng rau Biết lợi nhuận thu được là 5000 đồng mỗi m2 trồng rau và 10.000 đồng mỗi m2 trồng hoa Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn)

Câu 2 Ở quảng trường một thành phố A có một miếng đất hình tròn đường kính

30m Trong lòng hình tròn đó người ta dự định trồng hoa hồng trên một miếng là hình elip có trục lớn bằng đường kính và trục bé bằng một phần ba đường kính đường tròn trên ( âm của đường tròn và elip trùng nhau), phần còn lại làm hồ Biết chi phí để trồng một 1m2 hoa hồng là 500.000 đồng, chi phí làm 1m2 hồ là 2.000.000 đồng Hỏi thành phố đó phải bỏ ra chi phí là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn)

Câu 3 Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng , trục nhỏ bằng 80m được chia thành 2 phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau Biết lợi nhuận thu được là 2000 mỗi

m2

trồng cây con và 4000 mỗi m2 trồng rau Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn)

Câu 4 Cho một mảnh vườn hình chữ nhật ABCD có chiều rộng là 2m, chiều

dài gấp ba chiều rộng Người ta chia mảnh vườn bằng cách dùng hai đường parabol, mỗi đường parabol có đỉnh là trung điểm mỗi cạnh dài và đi qua hai mút của canh dài đối diện Tính tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại

A 1

3 3

C 1

2 7

3 2 +

Câu 5 Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ

dài trục bé bằng 10m Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục

bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000

100 m

đồng/m2 Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

Câu 6 Trên cánh đồng cỏ có hai con bò được cột vào hai cây cọc khác nhau Biết

khoảng cách giữa hai cọc là 4 mét còn hai sợi dây cột hai con bò dài 3 mét và 2 mét Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà hai con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất)

Câu 7 Cho đường tròn có đường kính bằng 4 và 2 đường Elip lần lượt nhận 2

đường kính vuông góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều bằng 1 Diện tích S phần hình phẳng bên trong đường tròn và bên ngoài 2 Elip (phần gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây?

Câu 8 Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m chiều rộng chân đế

12m Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình

vẽ bên) Tỉ số AB

CD bằng?

8m

A 1

4 5

C

3

1

3

1+2 2

Câu 9 Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác

nhau Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học Ở đó có một mảnh đất mang tên

Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa

độ Oxy là 2 2( 2)

16y =x 25−x như hình vẽ

Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét

A 125( )2

6

4

=

C 250 ( )2

3

3

=

Câu 10 Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến

đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là:

C 6.750.000 đồng D 3.750.000

Đáp án

D C

B

x y

B B B D B C C C D C

C BÀI TOÁN THỰC TẾ TÍNH THỂ TÍCH

1 Phương pháp giải

a) Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm a a ≤ x ≤ b Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Thể tích của B là: b ( )

a

V=S x dx

b) Thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số y = f(x) liên tục; không âm trên [a; b] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục

Ox tạo nên một khối tròn xoay Thể tích của nó là: b 2( )

a

V= f x dx

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục tung và hai đường thẳng y = c; y = d quay quanh trục Oy là: d 2( )

c

V= g y dy

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục Ox:

( ) ( )

b

a

V= f x −g x dx

2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau

qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng 3

4 chiều cao của bên đó (xem hình)

Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 2.90 cm3/phút Khi chiều cao của cát còn 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi 8π cm (xem hình) Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài

là bao nhiêu cm ?

Lời giải

Xét thiết diện chứa trục theo phương thẳng đứng của đồng hồ cát là parabol Gọi (P) là đường Parabol phía trên Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ

Đường tròn thiết diện có chu vi bằng 8π = 2πR → R = 4

Do (P) có đỉnh là O(0; 0) nên phương trình (P) : y=ax2

(P) đi qua A(4; 4) nên ta có: 4=a.42 = a 14

Vậy phương trình (P) : y 1x2

4

=