Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải A LÝ THUYẾT Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C1) và y = g (x) có đồ thị (C2) Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là f (x) = g (x) Khi đó[.]
Trang 1Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải
A LÝ THUYẾT.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C1) và y = g (x) có đồ thị (C2)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là f (x) = g (x)
Khi đó:
- Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng với số nghiệm của phương trình (1)
- Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ x0 của giao điểm
- Để tính tung độ y0 của giao điểm, ta thay hoành độ x0 vào y = f (x)
- Điểm M (x0 ; y0) là giao điểm của (C1) và (C2)
B CÁC DẠNG TOÁN HAY GẶP VÀ CÁC KỸ NĂNG CẦN THIẾT.
Dạng 1 Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị hàm số cho trước.
1 Phương pháp giải.
Cho 2 hàm số yfx,ygx==( ) ( )có đồ thị lần lượt là (C) và (C’)
Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): fxgx=( ) ( ) Bước 2: Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và toạ độ giao điểm
Bước 3: Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’) Thay trở lại
( )
yfx(yg(x))== , ta sẽ được toạ độ giao điểm
2 Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1 Biết rằng đường thẳng y2x2=-+ cắt đồ thị hàm số yxx2=++3 tại điểm duy nhất có toạ độ (x;y00 ) Tìm y0
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: -+=++2x2xx2 3
3
x3x0x0y2
Chọn C.
Trang 2Ví dụ 2. Biết rằng đồ thị hàm số
2x1 y
x
+
=
và đồ thị hàm số yxx1=++2 cắt nhau tại hai điểm Kí hiệu (x;y, x;y1122 ) ( ) là toạ độ của hai điểm đó Tìm yy+12
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 2x1 2 ( )
xx1 x0 x
+
=++¹
3232
xxx2x1xxx10
Û++=+Û+ =
( ) ( )
x1y13
x1y11
é =¾¾®=
Û ê
=-¾¾®-=
ê
Khi đó yyy1y1412+=+-=( ) ( )
Chọn A.
3 Bài tập tự luyện.
yx2x1=-+ có đồ thị ( )C Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. ( )C không cắt trục hoành B ( )C cắt trục hoành tại một điểm
C. ( )C cắt trục hoành tại hai điểm.D. ( )C cắt trục hoành tại ba điểm
Câu 2. Biết rằng đồ thị hàm số yx3x2x1=-+-32 cắt đồ thị hàm số yx3x1=-+2
tại hai điểm phân biệt A và B Tính độ dài đoạn thẳng AB
A AB3.= B AB22.= C AB2.= D AB1.=
Câu 3 Đồ thị hàm số yx2x=-+42 có bao nhiêu điểm chung với trục hoành?
Câu 4 Tìm toạ độ giao điểm M của đồ thị hàm số
x2018 y
2x1
-=
+ với trục tung
A M0;0( ) B M0;2018( - )
C M2018;0( ) D M2018;2018( - )
Trang 3Câu 5 Đường thẳng y2x2016=+ và đồ thị hàm số
2x1 y
x1
+
=
- có tất cả bao nhiêu điểm chung?
Câu 6 Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng d:yx1=+ và đồ thị ( )C:y 2x4
x1
+
=
-
Tìm hoành độ trung điểm xI của đoạn thẳng MN
A I
5
x
2
=
B x2= I C x1= I D I
5 x
2
=-
Câu 7. Tìm trên đồ thị hàm số yx3x2=-++3 ( )C hai điểm A, B mà chúng đối xứng nhau qua điểm I1;3(- )
A A1;0(- ) và B1;6(- ) B A0;2( ) và B2;4(- )
C A1;4( ) và B3;2.(- ) D Không tồn tại
Câu 8. Tìm trên đồ thị hàm số
3 2
x11 yx3x
33
hai điểm phân biệt A, B mà chúng đối xứng nhau qua trục tung
A
16
A3;
3
æö
-ç÷
16 B3;
3
æö ç÷
16 A3;
3
æö -ç÷
16 B3;
3
æö -ç÷
C
16
A;3
3
æö
ç÷
èø và
16 B;3 3
æö -ç÷
èø D Không tồn tại
Câu 9. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số
x2 y x1
+
=
- sao cho khoảng cách từ
M đến trục Oy bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox?
Câu 10 Tìm trên đồ thị hàm số
2x1 y
x1
+
=
- những điểm M sao cho khoảng cách từ
M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến trục hoành
A M2;1( ), M4;3( ) B M0;1-( ), M4;3( )
Trang 4C M0;1-( ), M3;2( ) D M2;1( ), M3;2( ).
Câu 11 Số giao điểm của đồ thị hàm số yxx=-32 và đồ thị hàm số yx5x=-+2
là
Câu 12 Số giao điểm của đồ thị hàm số yx3x=-+2 và đồ thị hàm số yxx=-32 là
Đáp án
Dạng 2 Tìm m để sự tương giao của các đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện cho
trước.
1 Phương pháp giải.
BÀI TOÁN 1: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3.
Phương pháp 1: Bảng biến thiên (đồ thị hàm số).
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng Fx,m0 =( ) (phương trình ẩn x tham
số m)
+) Cô lập m đưa phương trình về dạng mfx= ( )
+) Lập BBT cho hàm số yfx= ( )
+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m
* Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên khi m độc lập với x
Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm Fx,m0 =( )
+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử xx= là 1 nghiệm của phương trình 0
Trang 5+) Phân tích:
( )
0 0
xx Fx,m0xx.gx0
gx0
= é
=
ë (là gx0 =( ) là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m )
+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2: gx0 =( )
Phương pháp 3: Cực trị.
* Nhận dạng: Khi bài toán không cô lập được m và cũng không nhẩm được
nghiệm
* Quy tắc:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm Fx,m0 =( ) (1) Xét hàm số yFx,m= ( )
- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì đồ thị yFx,m= ( ) cắt trục hoành tại đúng 1 điểm
(2TH)
+ Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R Û hàm số không có cực trị Û=y'0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ÛD£y' 0
+ Hoặc hàm số có CĐ, CT và y.y0 >cdct (hình vẽ)
y
x
q x ( ) = x3 + x + 1
O
y
x
f x ( ) = x3 3∙x 3
O
- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì đồ thị yFx,m= ( ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Û Hàm số có cực đại, cực tiểu và y.y0 <cdct .
y
x
f x ( ) = x3 3∙x + 1
O
y
x
f x ( ) = x3 + 3∙x + 1
O
Trang 6- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị yFx,m= ( ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt
Û Hàm số có cực đại, cực tiểu và y.y0 = cdct
y
x y
x
g x ( ) = x3 3∙x + 2 f x ( ) = x3 + 3∙x + 2
O O
Mở rộng: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp
số cộng.
1 Định lí Vi - ét.
*) Cho bậc 2: Cho phương trình axbxc02 ++= có 2 nghiệm x,x thì ta có: 12 12
12
b
xx
a
c
xx
a
+=-=
*) Cho bậc 3: Cho phương trình axbxcxd032+++= có 3 nghiệm x,x,x123 thì ta có:
123
122331
123
b xxx,
a c xxxxxx,
a d
xxx
a
++=-++=
=-2.Tính chất của cấp số cộng: Cho 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng thì: ac2b+=
3 Phương pháp giải.
+) Điều kiện cần: 0
b x
3a
là 1 nghiệm của phương trình Từ đó thay vào phương trình để tìm m
+) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra
BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC.
Trang 7Phương pháp : Cho hàm số yC axb ( )
cxd
+
= + và đường thẳng d:ypxq=+ Phương
trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): axb pxqFx,m0( )
cxd
+
=+Û=
trình bậc 2 ẩn x tham số m)
* Các câu hỏi thường gặp:
1 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Û( )1 có 2 nghiệm phân biệt khác
d c
-
2 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C) Û( )1 có
2 nghiệm phân biệt x,x và thỏa mãn 12 12
d :xx c
-<<
3 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) Û( )1 có
2 nghiệm phân biệt x,x và thỏa mãn 12 12
d xx
c
<<-
4 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C) Û ( )1 có 2
nghiệm phân biệt x,x và thỏa mãn 12 12
d xx
c
<-<
5 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho
trước:
+) Đoạn thẳng ABk=
+) Tam giác ABC vuông
+) Tam giác ABC có diện tích S0
* Chú ý: Công thức tính khoảng cách:
2 2
AABBBAA
Ax;y,Bx;y:ABxxyy
=-+-+)
22 00
dM,
ÞD=
í
î
BÀI TOÁN 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4.
Phương pháp 1: Nhẩm nghiệm.
Trang 8- Nhẩm nghiệm: Giả sử xx= là một nghiệm của phương trình.0
- Khi đó ta phân tích:
( )
0 22
0
xx fx,mxxgx0
gx0
=±
é
= ë
- Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2 : gx0 =( )
Phương pháp 2: Ẩn phụ - tam thức bậc 2.
- Đặt tx,t0=³2 ( ) Phương trình: atbtc02++= (2)
- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm t,t thỏa mãn: 12
12 12
t0t tt0
<=
é
ê ==
ë
- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm t,t thỏa mãn: 12
12 12
t0t 0tt
<<
é
ê <=
ë
- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t,t thỏa mãn: 12 0tt=<12
- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t,t thỏa mãn: 12 0tt<<12
Mở rộng: tìm m để ( )C:yaxbxc=++42 cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
- Đặt tx,t0=³2 ( ) Phương trình: atbtc02++= (2)
- Để (1) cắt (Ox) tại 4 điểm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dương t,ttt1212 ( < ) thỏa mãn t9t=21
- Kết hợp t9t=21 vơi định lý vi – ét tìm được m
bac 9
=
2 Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
yx1xmxm=-++
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
11 m;;0
22
æöæö Î-¥-È-ç÷ç÷
èøèø
Trang 9C m0;4.Î( ) D m;;04; 11 ( )
22
æöæö Î-¥-È-È+¥ç÷ç÷
èøèø
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
x1 x1xmxm0
xmxm01
= é
++=
ë Yêu cầu bài toán Û Phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt khác
2
2
1m.1m0
1
m4m0
ì ++¹
ï
Û í
D=->
ï
m4 1
m
m m4
m0m0
>
ìé
¹-ïê +¹
¹->
é
ê ï<<ëî
Chọn D.
Ví dụ 2 Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x2x2017m042-+-= có đúng ba nghiệm
A m2015= B m2016= C m2017= D m2018=
Lời giải
Ta có x2x2017m0x2xm20174242-+-=Û-=-
Xét hàm số yx2x=-42 , có
( ) ( )
y'4x4xy'0
x1y11
é =¾¾®=
=±¾¾®±=-ê
Trang 10-1 -1
Yêu cầu bài toánÛ-=Û-=Û=m2017ym20170m2017.CD
Chọn D.
Ví dụ 3 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d:y2mxm1=++ cắt đồ thị hàm số
2x2 y
2x1
-= + ( )C tại hai điểm phân biệt
A m1.= B m0.= C m1.> D m0.<
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
2x21
2mxm1 x 2x12
2x22mxm12x14mx4mxm30
Để d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt Û phương trình ( )* có hai nghiệm phân biệt
m0
m0 '12m0
¹
ì
ÛÛ<í
D=->
Chọn D.
3 Bài tập tự luyện.
Câu 1 Với giá trị nào của m thì đường thẳng ym= cắt đường cong yx3x=-32
tại ba điểm phân biệt?
A 4m0.-<< B m0.> C m4.<- D
m4
m0
<-é
ê >
ë
Câu 2 Cho phương trình 2x3x2203212m-+-= - Với giá trị nào của m thì
phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt
A
1
m4
3 << B
3 1m
2
<<
C
1 0m
2
<<
D
3 1m
4
-<<
Câu 3 Cho phương trình 2x3x2m132-=+ Với giá trị nào của m thì phương trình
đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt:
A
1
m
2
hoặc m1=- B
1 m
2
hoặc
5 m
2
=-
Trang 11C
1
m
2
=
hoặc
5 m 2
= D. m1= hoặc
5 m
2
=-
Câu 4 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số yxmx4=-+32 cắt trục hoành tại
ba điểm phân biệt?
A m0.¹ B m3.> C m3.¹ D m0.>
Câu 5 Phương trình x3mx203 -+= có một nghiệm duy nhất khi điều kiện của m là:
A 0m1<< B m1< C m0£ D m1.>
Câu 6 Đồ thị hàm số yx2m1x3m1xm1=-+++ 32 ( ) ( ) luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
A x2= B x1= C xm= D x0=
Câu 7 Tìm m để đường thẳng d:ymx11=-+( ) cắt đồ thị hàm số
3
yx3x1=-+- tại ba điểm phân biệt A1;1, B, C.( )
A m0.¹ B
9 m
4
<
C
9 0m
4
¹<
D m0= hoặc
9 m
4
>
Câu 8 Tìm m để đồ thị hàm số yx3x2=-+32 cắt đường thẳng d:ymx1=- ( ) tại ba điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2, x3 thỏa mãn xxx5123222++=
A m3.>- B m3.=- C m2.>- D m2.
yx2mxm3x4=++++
tại ba điểm phân biệt A(0;4), B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4, với M(1;3) Tập tất cả các giá trị của m nhận được là:
A m2= hoặc m3= B m3=
C m2=- hoặc m3=- D m2=- hoặc m3=
Câu 10 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng ymxm1=-+
cắt đồ thị của hàm số yx3xx2=-++32 tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho AB
= BC
A m(;0)[4;)Î-¥È+¥ B mΡ
Trang 12C
5
m;
4
æö
Î-+¥ç÷
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng ymx=- cắt đồ thị của hàm số yx3xm2= +32 tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
Î-¥-C m(;)Î-¥+¥ D. m(1;)Î+¥
Câu 12 Với điều kiện nào của k thì phương trình 22( )
4x1x1k
có bốn nghiệm phân biệt?
A 0k2<< B k3< C 1k1-<< D 0k1<<
Câu 13 Cho phương trình x2x2017m042-+-= Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có đúng ba nghiệm ?
A m2015= B m2016=
C m2017= D m2018=
Câu 14 Đường thẳng ym= và đường cong yx2x3= 42 có hai điểm chung khi:
A m3>- hoặc m4=- B m4<- hoặc m3=-
C 4m3-<<- D m4>-
Câu 15 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
xm y
x1
+
=
- cắt đường thẳng y2x1=+ tại hai điểm phân biệt
A
3
m
2
>-B m1.¹- C m1.>- D
3 m1
2
-<¹-Câu 16 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng yx2m=- cắt đồ thị hàm số
x3 y
x1
-=
+ tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương
Trang 13A 0m1<< B
m2 m5
<-é
ê >
3 1m
2
<<
D
1 0m
3
<<
Câu 17 Gọi d là đường thẳng đi qua A1;0( ) và có hệ số góc m Tìm các giá trị của tham số m để d cắt đồ thị hàm số
x2 y x1
+
=
- tại hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh của đồ thị
A m0.¹ B m0.> C m0.< D 0m1.<¹
Câu 18 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d:yxm=-+ cắt đồ thị hàm số
2x1 y
x1
-+
= + tại hai điểm A, B sao cho AB22=
A m1;m2==- B m1;m7==-
C m7;m5=-= D m1;m1==-
Câu 19 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d:yxm2=-+ cắt
đồ thị hàm số
2x y x1
=
- tại hai điểm phân biệt A và B sao cho độ dài AB ngắn nhất
A m3=- B m1=- C m3= D m1=
Câu 20 Tìm tất cả các giá trị của tham số k sao cho đường thẳng d:yx2k1=++
cắt đồ thị hàm số
2x1 y
x1
+
= + tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ
A và B đến trục hoành là bằng nhau
A k1=- B k3=- C k4=- D k2=-
Câu 21 Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d:yxm=+ cắt đồ thị hàm số 2x1
y
x1
-=
- tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O(0;0)
A m2.=- B
1 m
2
=-C m0.= D m1.=
Trang 14Câu 22 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d:y3xm=-+ cắt đồ thị hàm số
2x1 y
x1
+
=
- tại hai điểm A và B phân biệt sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng :x2y20D = , với O là gốc tọa độ
A m2=- B
1 m
5
=-C
11 m
5
=-D m0.=
Câu 23 Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d:y2x3m=+ cắt đồ thị hàm
số
x3
y
x2
+
=
+ tại hai điểm phân biệt A và B sao cho OA.OB4=-uuuruuur , với O là gốc tọa độ
A
7
m
2
=
B
7 m
12
=-C
7 m
12
=
D
7 m
2
=-Câu 24 Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d:yxm=+ cắt
đồ thị hàm số ( )C:y 2x1
x1
+
=
- tại hai điểm phân biệt M và N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4, với I là tâm đối xứng của (C)
A m3;m5==- B m3;m3==-
C m3;m1==- D m3;m1=-=-
Câu 25 Cho hàm số yfx= ( ) xác định trên ¡ \1{} và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như sau:
+¥
2
+¥
1
-¥
y'
y x
1
-¥
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yfx= ( ) cắt đường thẳng y2m1=- tại hai điểm phân biệt
Trang 153
1m
2
£<
B 1m2.<< C.
3 1m
2
££
D.
3 1m
2
<<
Câu 26 Cho hàm số yfx= ( ), xác định trên ¡ \1;1{- }, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:
-3
-3
-¥
0
x
y
y'
-¥
+¥
2
+¥
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng y2m1=+ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt
A. m2.£- B m1.³ C. m2£- , m1.³ D. m2<- , m1.>
Câu 27. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
32
yx3mx6mx8=-+- cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
A m1.= B m2, m1.==- C m1.=- D m2.=
Câu 28. Cho hàm số yxmm1xm=-++423 ( ) với m là tham số thực Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
A. m1.> B m2.>- C. m2.> D. 0m1.<¹
yx22mx4m=-++ với m là tham số thực Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số đã cho không có điểm chung với trục hoành?
Câu 30. Cho hàm số yx2m4xm=-++422 ( ) với m là tham số thực Tìm tất cả các giá trị của m đề đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành
độ lập thành một cấp số cộng