50 bài toán về bất phương trình mũ (có đáp án 2022) – toán 12

Bất phương trình mũ và cách giải bài tập I LÝ THUYẾT • Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a 1 f x g x a a 0 a 1 f[.]

Bất phương trình mũ và cách giải bài tập

I LÝ THUYẾT

• Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

a 1

f x g x

0 a 1

f x g x

 









Tương tự với bất phương trình dạng:













• Trong trường hợp cơ sốa có chứa ẩn số thì: M N ( )( )

a a  a 1 M− −N  0

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

+ Đưa về cùng cơ số

+ Đặt ẩn phụ

+ Sử dụng tính đơn điệu:

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên D thì: f u( ) ( )f v  u v

Hàm số y = f(x) đồng biến biến trên D thì: f u( ) ( )f v  u v

II CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 Bất phương trình mũ cơ bản

A Phương pháp

Xét bất phương trình có dạng:

ax b

- Nếu b , tập nghiệm của bất phương trình là , vì 0 x

a    b, x

- Nếu b thì bất phương trình tương đương với 0 x log b a

a a

+Với a 1 , nghiệm của bất phương trình là x log b.a +Với 0  , nghiệm của bất phương trình là a 1 xlog b.a

Chú ý

+ Xét bất phương trình: f x( ) ( )

a b 1

Nếu 0 a 1

b 0

 



 

 thì ( )1 luôn đúng

Nếu b 0

0 a 1





  

 thì ( )1 f x( )log ba

Nếu b 0

1 a





 

 thì ( )1 f x( )log ba

+ Xét bất phương trình: f x ( ) ( )

a b 2

Nếu 0 a 1

b 0

 



 

 thì ( )2 vô nghiệm

Nếu b 0

0 a 1





  

 thì ( )2 f x( )log ba

Nếu b 0

1 a





 

 thì ( )2 f x( )log ba : °aABC

B Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình 2x 3x 1+ là

A (−;log 32  B 2

3

;log 3

−

3

log 3;

+

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

x

2 3

2

3

Vậy tập nghiệm của BPT là 2

3

S  ;log 3

= − 

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình 2x +2x 1+ 3x +3x 1−

A x2;+) B x(2;+) C x −( ;2) D (2; +)

Hướng dẫn giải

2 +2 + 3 +3 − x 4 x

3.2 3

3

x

 

  

    x 2 Vậy tập nghiệm của BPT là S=2;+)

Chọn D

Câu 3: Nghiệm của bất phương trình

x x

3

3

3 2

− là:

A

3

x 1

x log 2





 

C x 1 D log 23  x 1

Hướng dẫn giải

x

3

x 1

3 3

x log 2

−

Chọn A.

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình: 81.9x 2 3x x 2.32 x 1 0

3

− + + − +  là:

A S= + 1; )  0 B S= +1; )

C S=0;+) D S=2;+ )  0

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: x 0

BPT

x

3 3 0 do 3 2.3 0, x 0

x 0

x 0

Vậy tập nghiệm cảu BPT là S= + 1; )  0

Chọn A

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình 2x +4.5x − 4 10x là:

A x 0

x 2





 

C x 2 D 0 x 2

Hướng dẫn giải

2 +4.5 − 4 10

 −   

 −   

x 2

x 0





    −  +

Chọn A.

Dạng 2 Phương pháp đưa về cùng cơ số

A Phương pháp

Xét bất phương trình af (x ) ag(x )

 Nếu a > 1 thì f ( x ) g( x )

a a f (x)g(x) (cùng chiều khi a > 1)

 Nếu 0 < a < 1 thì f ( x ) g( x )

a a f (x)g(x)(ngược chiều khi 0 < a < 1)

 Nếu a chứa ẩn thì f (x) g(x)  

a a  −(a 1) f (x)−g(x) 0(hoặc xét 2 trường hợp của cơ số)

B Ví dụ minh họa

Câu 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

1 x

2

16

  

 

A S=(2;+ ) B S= −( ;0)

C S=(0;+ ) D S= − + ( ; )

Hướng dẫn giải

Chọn C

1

x

−

Vậy tập nghiệm của BPT là S=(0;+ )

Câu 2: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình

2

x 2 x

−

 

Hướng dẫn giải

Chọn A

2

x 2x

2

−

 

 

Vì phương trình tìm nghiệm nguyên dương nên các nghiệm là x=1;2;3 Vậy có tất cả ba nghiệm nguyên dương của BPT

Câu 3: Giải bất phương trình

2

3x

2 x 1

1

3 3

−

+

 

  ta được tập nghiệm:

3

− − 

C 1;1

3

− 

3

− −  +

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

2

3x

−

+

 

Vậy tập nghiệm của BPT là S 1;1

3

= − 

 

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình

x

2

4

  

  là

3

− − 

  B (0;+)  \ 1

3

− +

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

x

+    +  −  +  −   −

 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ; 2

3

= − − 

Câu 5: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

   

   

   

A S= −( ;3) B S=(3;+)

C S= − −( ; 3) D S 1;3

2

= − 

 

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

2x 1 3x 2

     +  −

   

1

2

  )   x 3 Vậy tập nghiệm của BPT có dạng S= −( ;3)

Dạng 3 Phương pháp đặt ẩn phụ

A Phương pháp giải:

Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số

B Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình: 32x 1+ −10.3x + 3 0 là

A −1;0) B (−1;1) C (0;1 D −1;1

Hướng dẫn giải

Chọn D

Tập xác định: D =

( )2

3 + −10.3 +  3 0 3 3 −10.3 +  3 0

Đặt x

t=3 , t0

BPT 3t2 10t 3 0 1 t 3 3 1 t 3 3 1 3x 31 1 x 1

3

Vậy tập nghiệm của BPT là S= − 1;1

Câu 2: Nghiệm của bất phương trình ex e x 5

2

−

+  là

A x 1

2

2 

C ln 2−  x ln 2 D x −ln 2 hoặc xln 2

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

( )2

x

−

Câu 3: Nghiệm của bất phương trình9x 1− −36.3x 3− + 3 0là

A x 1  B x  3 C 1 x   3 D 1 x  2

Hướng dẫn giải

Chọn D

 

2

Câu 4: Bất phương trình 9x −3x −  có tập nghiệm là 6 0

A (−;1) B (− − ; 2) (3;+) C (1;+)

D (−2;3)

Hướng dẫn giải

Chọn A

( )2

9 −3 −  6 0 3 −3 −   − 6 0 2 3    3 x 1

Vậy tập nghiệm của BPT là S= −( ;1)

Câu 5: Tập hợp nghiệm của bất phương trình 33x 2 1x 2

3

 

 

  D ( )2;3

Hướng dẫn giải

Chọn C

2

3

Vậy tập nghiệm của BPT là S 1

3

 

=  

 

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình x1 x 11

3 5 3 + 1 + − là:

A 1 x 1.−   B x − 1 C x 1. D 1 x  2.

Hướng dẫn giải

Đặt x

t=3 (t0), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

3t 1 0

t 3 1 x 1

3t 1 t 5

− 



  −  +     −  

Chọn A.

Dạng 4 Phương pháp logarit hóa

A Phương pháp

Xét bất phương trình dạng: af ( x ) bg( x )(*) với 1 a;b  0

 Lấy logarit 2 vế với cơ số a > 1 ta được:

f ( x ) g( x )

(*)log a log b f (x)g(x)log b

 Lấy logarit 2 vế với cơ số 0 < a < 1 ta được:

f ( x ) g( x )

(*)log a log b f (x)g(x)log b

B Ví dụ minh họa

Câu 1: Tìm tập S của bất phương trình: 3 5x x2  1

A (−log 3;05  B log 5;03 )

C (−log 3;05 ) D (log 5;03 )

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: 3 5x x2 1 ( x x 2) 2

S= −log 3;0

Câu 2: Cho hàm số f (x)=2 3x x2 Khẳng định nào sau đây là sai?

3

f (x) 1 x log 2−x  0

B f (x) 1  +x x log 32 2 0

C f (x) 1 x log 23 +x2 0

D f (x) 1 x ln 2+x ln 32 0

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có

2

2 2 2

2

x x

3

2

x x

log (2 3 ) log 1 x log 2 x 0

log (2 3 ) log 1 x x log 3 0

f (x) 1

x log 2 x 0 log (2 3 ) log 1

x ln 2 x ln 3 0 ln(2 3 ) ln1







Đáp án sai là B

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình

2.3 2

1

3 2

+

− là:

2

x 0;log 3 

2

x 0;log 3 

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình 4x +4x 2+ +4x 4+ 5x +5x 2+ +5x 4+ là:

5

31

13

= − 

31

13

= + 

5

31

13

= − 

31

13

= + 

Câu 3: Cho bất phương trình: x x 1 x 2 x x 1 x 2 ( )

3 +3 + +3 + 4 +4 + +4 + 1 Tập nghiệm của bất phương trình( )1 là:

4

21

log ;

13

+ 



21

;log 13

−

4

21

log ;

13

+ 

21

;log 13

−

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình 3 xx 2 +54x+5.3x 9x2+6x.3x +45 là:

A (− ;1) (2;+) B (− ;1) ( )2;5

C (− ;1) (5;+) D ( ) (1;2  5;+)

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình ( x )( 2 )

2 −4 x −2x−  là 3 0

A (− − ; 1) ( )2;3 B (− ;1) ( )2;3

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình 3x 2 1

9

+  là:

A x − 4 B x 0 C x  0 D x 4

Câu 7: Tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình: 2 x 1

8

A x hoặc x3  − 3 B −  3 x 3 C x − 3 D x 3

Câu 8: Giải bất phương trình 2− +x2 3x 4

A  x 2x 1 B 2  x 4

C 1 x  2 D 0 x 2

Câu 9: Tìm tập nghiệm của bất phương trình 0,3x2+x 0,09

A (− −; 2) B (− −; 2) ( 1;+ )

Câu 10: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

5

+

   

   

   

5

−

= − 

5

−

= −  +

5

−

= +

Câu 11: Tập các số x thỏa mãn

−

   

   

    là:

A ;2

3

− 

2

; 3

− + 

2

; 5

− 

2

; 5

+ 

Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình ( ) (2x )

x

x 1

5−2 −  5+2 là:

A (− − ; 1  0;1 B −1;0

C (− − ; 1) 0;+) D −1;0 +(1; )

Câu 13: Nghiệm của bất phương trình

2

A x 2

3

3

3

3

=

Câu 14: Tậpnghiệmcủabấtphươngtrình 2

x

x 2x

0 2

2 −

−  là

A 0; 2 B (−; 1 C (−; 0 D 2;+)

Câu 15: Bất phương trình 2.5x 2+ +5.2x 2+ 133 10x có tập nghiệm là S= a;b thì

b−2a bằng

Câu 16: Bất phương trình 2.5x 2+ +5.2x 2+ 133 10x có tập nghiệm là S= a;b thì

b−2a bằng

Câu 17: Giải bất phương trình

A

1

x

2

x 1

  −









2

−   C x 1 D x 1

2

 −

Câu 18: Tìm m để bất phương trình m.9x −(2m 1).6+ x +m.4x 0 nghiệm đúng với mọi x( )0;1

A 0 m 6 B m 6 C m 6 D m 0

ĐÁP ÁN

10B 11C 12D 13D 14D 15B 16B 17B 18B