50 bài toán về bất phương trình logarit (có đáp án 2022) – toán 12

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit 2 Phương trình và bất phương trình lôga[.]

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

I LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit

2 Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho a, b0, a1

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng:

log f (x)b; log f (x)b; log f (x)b; log f (x) b

3 Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit

+ Đưa về cùng cơ số

Nếu a 1 thì log f (x)a log g(x)a g(x) 0

f (x) g(x)







Nếu 0  thì a 1 log f (x)a log g(x)a f (x) 0

f (x) g(x)







+ Đặt ẩn phụ

+ Mũ hóa

+ Phương pháp hàm số và đánh giá

II CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 Bất phương trình logarit cơ bản

A Phương pháp giải

Ta có BPT log xa m log xa m,log xa m,log xa m

m

m

x 0

x a a 1

x a 0 a 1

B Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình 3 1

2 log log x 1



  là:

8

8

Hướng dẫn giải

3

Vậy tập nghiệm của BPT 1;1

8

Chọn B

Câu 2: Bất phương trình ( 2 )

2 log x −2x+3 1 có tập nghiệm là

Hướng dẫn giải Chọn A

2

log x −2x+  3 1 x −2x+  3 2 x −2x 1 0+   x 1−    0 x 1 Vậy tập nghiệm S= \ 1 

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình 1( )

2

log 2x 1−  −1 là:

A 1;3

2

3

; 2

1 3

;

2 2

3

; 2

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: 1( )

2

3 x

x 2

 



− 

− 



Vậy tập nghiệm của BPT là: S 1 3;

2 2

Câu 4: Điều kiện xác định của bất phương trình

2

x

là:

A 1 x 0

−  



 

 −



 

Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]

Điều kiện: x2 1 0 1 x 0

x

−  



−



[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính

2

ln X

−

Nhấn CALC và cho X= −0,5 (thuộc đáp án A và B) máy tính hiển thị 0,4054651081

Vậy loại đáp án C và D

Nhấn CALC và cho X=0,5(thuộc đáp án B) máy tính không tính được Vậy loại B, Chọn A

Câu 5: Bất phương trình ( 2 )

2 3 log 2x − + x 1 0có tập nghiệm là:

A S 0;3

2

2

2

2

Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]

2

3

x 2







 



Vậy tập nghiệm của BPT ( ) 1

2

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính ( 2 )

2 3

Nhấn CALC và cho X= − (thuộc đáp án A và D) máy tính hiển thị – 9,9277… 5

Vậy loại đáp án A và B

Nhấn CALC và cho X 1= (thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 1,709511291

Chọn C

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình log3 4x 6 0

x +  là:

A S 2; 3

2

C S= −( ;2 D S \ 3;0

2

Hướng dẫn giải Chọn A

[Phương pháp tự luận]

3

3 0

1 x

+



Vậy tập nghiệm của BPT là S 2; 3

2

= − −  .

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính log3 4X 6

X

+

Nhấn CALC và cho X 1= (thuộc đáp án C và D) máy tính hiển thị 2,095903274 Vậy

loại đáp án C và D

Nhấn CALC và cho X= −1(thuộc đáp án B) máy tính không tính được Vậy loại B

Dạng 2 Phương pháp đưa về cùng cơ số

A Phương pháp giải

Xét bất phương trình log f (x)a log g(x)a (a0,a1)

 Nếu a 1 thì log f (x)a log g(x)a f (x)g(x) (cùng chiều khi a > 1)

 Nếu 0 a 1  thì log f (x)a log g(x)a f (x)g(x) (ngược chiều khi 0  ) a 1

 Nếu a chứa ẩn thì

log f (x) log g(x)



hợp của cơ số)

B Ví dụ minh họa

Câu 1: Điều kiện xác định của bất phương trình 1 1 1

log (4x+2)−log (x 1)− log xlà:

A x 1

2

 − B x  0 C x 1 D x −1

Hướng dẫn giải Chọn C

BPT xác định khi:

1

2

x 1 0







Câu 2: Điều kiện xác định của bất phương trình

log (x 1) 2log (5 x) 1 log (x+ − −  − − là: 2)

A 2  x 5 B 1 x 2 C 2 x 3 D −  4 x 3

Hướng dẫn giải Chọn A

BPT xác định khi:

Câu 3: Điều kiện xác định của bất phương trình 5 1 5

5

log (x− +2) log (x+2)log x−3 là:

A x 3 B x2 C x −2 D x 0

Hướng dẫn giải Chọn B

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện:

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính 5 1 5

5

log (X− +2) log (X+2)−log X+3

Nhấn CALC và cho X 1= máy tính không tính được Vậy loại đáp án C và D

Nhấn CALC và cho X 5

2

= (thuộc đáp án B) máy tính hiển thị 1,065464369

Câu 4: Điều kiện xác định của bất phương trình ( 2 )

log (5x 15)+ log x +6x+8 là:

 −



  −

 C x − 3 D −   −4 x 2

Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]

Điều kiện:

2

x 3 5x 15 0

x 2

x 6x 8 0

x 4

 −

 + 

   −   −

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính log (5X 15)0,5 + −log (X0,5 2 +6X 8)+

Nhấn CALC và cho X= −3,5 máy tính không tính được Vậy loại đáp án C và D

Nhấn CALC và cho X= − (thuộc đáp án B) máy tính không tính được 5

Vậy loại B,

Chọn A

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình ( 2 ) ( )

3 log x −6x+5 +log x 1− 0là:

A S= 1;6 B S=(5;6 C S=(5;+) D S=(1;+)

Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]

3

2

2



 



  



Vậy tập nghiệm của BPT là S=(5;6

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính ( 2 ) ( )

3

Nhấn CALC và cho X=2 (thuộc đáp án A và D) máy tính không tính được Vậy loại

đáp án A và D

Nhấn CALC và cho X= (thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 0,6309297536 7

Vậy loại C,

Chọn B

Câu 6: Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log0,2x−log5(x−2)log0,23 là:

A x= 6 B x= 3 C x= 5 D x=4

Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]

Điều kiện: x2

( ) ( )

log x−log x−2 log 3log x x−2 log 3

x 2x 3 0

x 3

 −



 − −    



So điều kiện suy ra x 3

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của BPT là x = 4

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính log0,2X−log5(X−2)−log0,23

Nhấn CALC và cho X= (nhỏ nhất) máy tính hiển thị 0 Vậy loại đáp án B 3

Nhấn CALC và cho X=4 máy tính hiển thị -0.6094234797

Chọn D

Dạng 3 Phương pháp đặt ẩn phụ

A Phương pháp giải

Tương tự với phương pháp giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ nhưng lưu ý tới chiều biến thiên của hàm số

B Ví dụ minh họa

Câu 1 :Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình

( )

1

3

2

A x= 7 B x= 8 C x=4 D x 1=

Hướng dẫn giải Chọn A

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện: x 0 

( )

1

3

2

 

 

2 2

2

2

 





Vậy giá trị nguyên lớn nhất của x thỏa mãn ĐK trên là: x = 7

[Phương pháp trắc nghiệm]

Lần lượt thay x=7;x=8;x=4;x 1= thấy x 7= đúng

Câu 2: Bất phương trình log20,2x−5log0,2x −6có tập nghiệm là:

A S 1 ; 1

125 25

25

=   D S=( )0;3

Hướng dẫn giải Chọn A

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện: x 0

2

Vậy tập nghiệm của BPT là S 1 ; 1

125 25

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính ( )2

Nhấn CALC và cho X=2,5 (thuộc đáp án B và D) máy tính hiển thị 9.170746391 Vậy

loại đáp án B và D

Nhấn CALC và cho X 1

200

= (thuộc đáp án C) máy tính hiển thị 0,3773110048

Câu 3: Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình x x

3

log 3 log 3− 0 là:

A x= 3 B x 1= C x=2 D x=4

Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]

Điều kiện: x 0;x 1;x 3  

3

3

1

log x log x 1

−

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của BPT là x = 4

[Phương pháp trắc nghiệm]

Loại B, A vì x 1;x  3

Loại C vì 2 2

3

x= 2 log 3 log 3− 0

Chọn D

Câu 4: Nếu đặt t log3 x 1

x 1

−

=

+ thì bất phương trình 4 3 1 1

4 3

thành bất phương trình nào?

A

2

t 1

0

t

− 

B t2 − 1 0 C

2

t 1

0 t

− 

D

2

t 1

0 t

+ 

Hướng dẫn giải Điều kiện: x − −  +( ; 1) (1; )

Sau khi đưa về cùng cơ số 4, rồi tiếp tục biến đổi về cùng cơ số 3 ta được bất phương trình

3

3

x 1

x 1

−

+

+

Chọn A

Dạng 4 Phương pháp mũ hóa

A Phương pháp giải

Tương tự với giải phương trình logarit bằng phương pháp mũ hóa

B Ví dụ minh họa

Câu 1: Bất phương trình ( ( x ) )

log log 9 −72  có tập nghiệm là: 1

A S= log3 73;2 B S=(log3 72;2

C S=(log3 73;2 D S= −( ;2

Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]

Điều kiện xlog3 73

log log 9 −72  1 log 9 −72  x 9 −3 −72 0 3    9 x 2 Kết hợp với điều kiện log3 73 x 2

Vậy tập nghiệm của BPT là: S=(log3 73;2

Chọn A

[Phương pháp trắc nghiệm]

Thay x=log3 73(thuộc B, C, D) vào biểu thức ( ( x ) )

log log 9 −72 được log (0)x

không xác định, vậy loại B, C, D

Chọn A

Câu 2: Điều kiện xác định của phương trình log23log 3x 12( − − =) 1 x là:

A

3 2 1

x

3

+

3



C x 0 D x(0;+) \ {1}

Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]

Biểu thức log23log 3x 12( − − =) 1 x xác định khi và chỉ khi:

2

3x 1 0



− 



2

1 log 3x 1

3 1

x 3



 

 



1

1

1 x

x 3

3



[Phương pháp trắc nghiệm]

Thay x 1

3

= (thuộc B, C, D) vào biểu thức log2(3x 1− ) được log (0)2 không xác định, vậy loại B, C, D

Chọn A

Câu 3: Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình ( x 1)

3 log 4.3 − 2x 1− là:

A x= 3 B x=2 C x 1= D x= −1

Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của BPT là: x = 1

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính ( X 1)

3

Nhấn CALC và cho X= (lớn nhất) máy tính hiển thị –1.738140493 Vậy loại đáp án3

A

Nhấn CALC và cho X=2 máy tính hiển thị – 0.7381404929 Vậy loại B

Nhấn CALC và cho X 1= máy tính hiển thị 0.2618595071

Chọn C

Dạng 5 Phương pháp hàm số, đánh giá

A Phương pháp giải

Cho hàm số y=f t( ) xác định và liên tục trên D:

Nếu hàm số f t( ) luôn đồng biến trên D và u, v D thì f u( ) ( )f v  u v

Nếu hàm số f t( ) luôn nghịch biến trên D và u, v D thì f u( ) ( )f v  u v

B Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình ( 2 ) 2

log x −4x 16+ −log (x) −5x +40x−74

là:

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D=(0;+)

Bất phương trình ( 2 ) 2

log x −4x 16+ −log (x) −5x +40x−74 tương đương với:

2

2 2

x 4x 16

x

 − +  − + −

( )

2

2 2

2 2

x 16

x

Theo Bất đẳng thức Cauchy ta có: VT(1) 2







Khi đó dấu “=” trong (1) xảy ra

2

  = x 4

So với điều kiện xác định ta nhận nghiệm x=4

So bốn đáp án, chỉ có đáp án C thỏa mãn

Chọn C

Câu 2: Cho bất phương trình

2

  Phát biểu nào sau đây là Sai:

A Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là T=(− −  −; 2) ( 1;1

B Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là T= −( ;0) ( 1;+)

C Tập xác định của phương trình đã cho là (− −  − +; 2) ( 1; )

D Bất phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

Hướng dẫn giải

Bất phương trình

2

  xác định khi và chỉ khi:

2

2

2

0







2

x

1 x





 −

 −





Tập xác định: D= − −  − +( ; 2) ( 1; )

Bất phương trình

2

  tương đương với:

2

2 2

x 2x 3

x 3x 2

 + + 

 − +

 + + 

Xét f (t)=log t2 −2t với t − −  − +( ; 2) ( 1; )

1

t ln 2

= −  −   − −  − +t ( ; 2) ( 1; )f (t)nghịch biến

  − −  − +

So với điều kiện ta nhận nghiệm (− −  −; 2) ( 1;1

Chọn B

Câu 3: Bất phương trìnhlog (22 x + +1) log (43 x +2)2 có tập nghiệm là:

Hướng dẫn giải Chọn C

x 0 2 2 = 1 2 +  1 2 log 2 + 1 log 2 1 1=

x 0 4 4 = 1 4 +  + = 2 2 1 3 log 4 +2 log 3 1 2=

Cộng vế với vế của( )1 và( )2 ta được: x x

log (2 + +1) log (4 +2)2

Mà BPT: log (22 x + +1) log (43 x +2)2 nên x0 loai( )

x 0 2 2 = 1 2 +  1 2 log 2 + 1 log 2 1 3=

x 0 4 4 = 1 4 +  + = 2 2 1 3 log 4 +2 log 3 1 4=

Cộng vế với vế của( )3 và( )4 ta được: x x ( )

log (2 + +1) log (4 + 2) 2 tm

Vậy x hay 0 x −( ;0

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình 1 2

2

log x  − là 1

A  2;+)

C − 2; 2  D (0; 2 

Câu 2: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: 1

2

2

A S=(1;1+ 2) B S=( )1; 9

C S= +(1 2;+ ) D S=(9;+ )

Câu 3: Tìm tập nghiệm của bất phương trình ( 2 )

1 2

log x −3x+2  −1

A (−; 1) B 0; 1) ( 2; 3 C 0; 2) ( 3; 7 D 0; 2)

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình 1( )

2

log x 1− 0 là:

A ( )1; 2 B (1; 2 C (−;2 D 2;+)

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình 1( 2( ) )

2

log log 2x 1−  là: 0

A S 1;3

2

2

2

=  

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình log (x2 2 −3x 1)+ 0 là:

C S 3 5 3; 5

Câu 7: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ( 2 )

3 1

Câu 8: Điều kiện xác định của bất phương trình 1 2 2

2

log log (2−x )0là:

A x [ 1;1] − B x −( 1;0) ( ) 0;1

C x −( 1;1) ( 2;+) D x −( 1;1)

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log (52 x − 1) m

có nghiệm x 1 ?

A m 2 B m 2 C m 2 D m 2

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( 2)

2

nghiệm?





  −

Câu 11: Bất phương trình ( 2 ) ( )

log x − −x 2 log x 1− +1 có tập nghiệm là:

A S= −1 2;+) B S= +1 2;+)

Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình ( 2 ) ( )

log 2x +3x 1+ log 2x 1+ là:

A S 1;1

2

1

2

1

2

1

2

Câu 13: Bất phương trình 3 3

log (2x 1)+ log (x+ có tập nghiệm S là 2)

A S 1;1

2

2

1

2

Câu 14: Xác định tập nghiệm S của bất phương trình ln x2 ln(4x−4)

A S=(1;+)  \ 2 B S= \ 2   C S=(2;+) D S=(1;+)

Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình ( 2 ) ( )

log x +25 log 10x là

Câu 16: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 1( ) 1( )

A S=(2;+) B S= −( ;2) C S 1;2

2

=   D S= −( 1;2)

Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình ( 2 ) ( )

log x +x log −2x+4 là:

A ( )1; 2 B (− − ; 4) ( )1;2 C (− − ; 4) (1;+) D (−4;1) Câu 18: Tập nghiệm của bất phương trình ( 2 ) ( )

log x −2x 1+ log x 1− là

Câu 19: Nghiệm của bất phương trình 2 ( ) ( )

2

log x +log x+2 log 2x+ là 3

A x 3

2

2

 −

2

−   − Câu 20: Tìm tập nghiệm của bất phương trình 2 ( ) ( )

2

log x +log x+2 log 2x+ 3

A S 3; 1

2

3

2

C S= − + 1; ) D S 3;

2

Câu 21: Tìm m để bất phương trình ( 2 ) ( 2 )

với mọi x 

Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình

2

+ +

A 1;

4

5

;log 5 16

C 1;log 5 \4 5

 

1 5

;

4 16

Câu 23: Tập nghiệm của bất phương trình

3

9 3 3 4 log 2x 1 log 81 9 9

+

A 1;log 4 \3 2

 

2

;log 4 3

1 2

;

2 3

1

; 2

Câu 24: Tập nghiệm của bất phương trình ( x x ) ( ) x x ( )

2

A T=(1;+ ) B T ;3

2

  C T =  D

3

2

=  

Câu 25: Cho a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn ( 3 )

Tìm phần nguyên của log2(2017a)

ĐÁP ÁN