Lý thuyết phương trình mặt phẳng (mới 2022+ bài tập) – toán 12

Bài 2 Phương trình mặt phẳng A Lý thuyết I Vecto pháp tuyến của mặt phẳng 1 Định nghĩa Cho mặt phẳng (α) Nếu vecto n 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì n được gọi là vecto pháp tuyến của (α)[.]

Bài 2 Phương trình mặt phẳng

A Lý thuyết

I Vecto pháp tuyến của mặt phẳng

1 Định nghĩa:

Cho mặt phẳng (α) Nếu vecto n 0và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì

n được gọi là vecto pháp tuyến của (α)

2 Chú ý Nếu n là vecto pháp tuyến của một mặt phẳng thì kn (k 0) cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó

3 Tích có hướng của hai vectơ

- Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a(a ;a ;a )1 2 3 ,

1 2 3

b(b ;b ;b ) Tích có hướng của hai vectơ a và b kí hiệu là a,b , được xác

định bởi

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

- Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ

là một số

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1;1); B(1; 2; 0) và C(0; 1;

-2)

Hãy tìm tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

Lời giải:

Ta có: AB ( 3;1; 1); AC ( 2;0; 3)   

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là :

n AB; AC   ( 3; 7;2)

II Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1 Định nghĩa

- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời

bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

- Nhận xét

a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là n (A;B;C)

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x0; y0; z0) và nhận vectơ n ( A;B;C) khác 0 là vecto pháp tuyến là: A(x- x0 ) + B( y – y0) + C(z – z0) = 0

Ví dụ 1 Mặt phẳng 2x – y + 3z – 10 = 0 có một vecto pháp tuyến là n (2; -1; 3)

Ví dụ 2 Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(0; 1; -2); B(2;

1; 0); C ( -2; 1; 1)

Lời giải:

Ta có: AB( 2;0;2); BC ( 4;0;1)

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là n  AB; BC (0; 10;0)

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) là:

0(x – 0) – 10(y – 1) + 0(z + 2) = 0 hay y – 1 = 0

2 Các trường hợp riêng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0

a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O

b)

- Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox

- Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy

- Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz

c)

- Nếu A = B = 0; C 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy)

- Nếu A = C = 0; B0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz)

- Nếu B = C = 0; A0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz)

- Nhận xét:

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn   x y z

    Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với abc 0

Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0); N(0; 3; 0); P(0; 0; 1)

Phương trình đoạn chắn của mp(MNP) là:

x y z

1

2  3  1

III Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:

(α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0

(β): A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là:

1 1 1 1 2 2 2 2

n (A ; B ;C ); n (A ; B ;C )

1 Điều kiện để hai mặt phẳng song song

1 2

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

n k.n ( ) / / ( )

(A ;B ;C ) k(A ; B ;C )













1 2

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

n k.n ( ) ( )

(A ;B ;C ) k(A ; B ;C )



    











- Chú ý: Để (α) cắt (β) n1 k.n2 (A ;B ;C )1 1 1 k(A ; B ;C )2 2 2

Ví dụ 4 Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(2; 1; 2) và song song với mặt

phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0

Lời giải:

Vì mp(α) song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0 nên n (1; 1;2)

Mặt phẳng (α) đi qua A(2;1; 2) nên có phương trình:

1( x – 2) – 1(y – 1) + 2( z – 2) = 0 hay x – y + 2z – 5 = 0

2 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

1 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) n n

A A B B C C 0

Ví dụ 5 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 1); B( 2; 1; -1) và

vuông góc với mặt phẳng (Q): x – y + 2z – 1 = 0

Lời giải:

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: nQ(1; 1;2)

Và AB (1;1; 2)

Vì nP n ; nQ P AB nên nP n ; ABQ  (0;4;2)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

0(x – 1) + 4(y – 0) + 2(z – 1) = 0 hay 4y – 2z – 2 = 0

IV Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x0; y0; z0) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0

Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α) được tính:

| Ax By Cz D | d(M ,( ))



Ví dụ 6 Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 0) và N( 1; 1; 1) đến mặt phẳng (P):

2x – y + 2z + 1 = 0

Lời giải:

Theo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có:

2.2 3 2.0 1 2 d(M; (P))

3

2 ( 1) 2

2.1 1 2.1 1 4 d(N; (P))

3

2 ( 1) 2

Ví dụ 7 Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được cho bởi phương

trình: (P): x – 2y +2z + 3 = 0 và (Q): x – 2y + 2z – 7= 0

Lời giải:

Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

Lấy điểm A(-3; 0; 0) thuộc mặt phẳng (P)

Ta có:

3 2.0 2.0 7 10 d((P);(Q)) d(A;(Q))

3

1 ( 2) 2

B Bài tập tự luyện

Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz

Bài 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) biết:

a) Đi qua điểm M(0; 1; 2) và nhận n (2; 1; 1) làm vecto pháp tuyến

b) Đi qua ba điểm A(1; 0; 0); B(0; -2: 0) và C (0; 0; - 3)

c) Đi qua ba điểm A(1; 1; 2); B(1; 0; 0) và C(0; 2; 1)

Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

2(x – 0) + 1(y – 1) + 1.(z – 2) = 0 hay 2x + y + z – 3 = 0

b) Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (P) là:

1

1  2 3 

c) Ta có: AB(0; 1; 2);AC( 1;1; 1)   

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là :

n AB; AC (3;2; 1)

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

3(x – 1) + 2(y -1) – 1(z – 2) = 0 hay 3x + 2y – z – 3 = 0

Bài 2 Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn:

a) Đi qua M(2; 1; 1) và song song với mặt phẳng (Q): x – 2y + z – 3 = 0

b) Đi qua A(1; 2; 0); B( 0; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q); 2x + z – 3 =

0

Lời giải:

a) Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: nP (1; 2;1)

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

1( x – 2) – 2(y – 1) + 1(z – 1) = 0 hay x – 2y + z – 1 = 0

b) Ta có: nQ (2;0;1); AB( 1; 4;1)

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) thỏa mãn: nPn ; nQ PAB

n n ;AB (4; 3; 8)

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

4( x – 1) – 3( y -2) – 8(z – 0) = 0 hay 4x – 3y – 8z + 2 = 0

Bài 3 Tính khoảng cách từ điểm M(-3; 2; 1) đến mỗi mặt phẳng sau:

a) Mặt phẳng (P): 2x + 2y - 3z – 1 = 0;

b) Mặt phẳng (Q): x + z – 4 = 0

c) Mặt phẳng (H): x – 6 = 0

Lời giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta được:

a)

2.( 3) 2.2 3.1 1 6 d(M; (P))

17

2 2 ( 3)

b)

2 2 2

d(M; (Q))

2

  

c)

2 2 2

3 6

 