Lý thuyết ôn tập chương 4 (mới 2022 + bài tập) – toán 12

Ôn tập chương 4 A Lý thuyết 1 Số phức 1 1 Số i Số i là số thỏa mãn i 2 = – 1 1 2 Định nghĩa số phức Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó a; b ; i 2 = – 1 được gọi là một số phức Đối với số phức z = a[.]

Ôn tập chương 4

A Lý thuyết

1 Số phức

1.1 Số i

Số i là số thỏa mãn: i2 = – 1

1.2 Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó a; b ; i2 = – 1 được gọi là một số phức Đối với số phức z = a + bi, ta nói: a là phần thực, b là phần ảo của z

Tập hợp các số phức kí hiệu là

Ví dụ 1 Các số sau là những số phức: 2 – 3i; –8 + 4i; 5i 2; 3 2i

Ví dụ 2

Số phức 6 – i có phần thực là 6, phần ảo là – 1

1.3 Số phức bằng nhau

– Định nghĩa: Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng

tương ứng bằng nhau :

a + bi = c + di  a = c và b = d

Ví dụ 3 Tìm các số thực x và y biết :

(2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i

Lời giải :

Ta có : (2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i

Vậy x = 2 và y = 3

– Chú ý :

a) Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0 : a = a + 0i

Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức Ta có : 

b) Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi : bi = 0 + bi

Đặc biệt: i = 0 + 1.i

Số i được gọi là đơn vị ảo

Ví dụ 4 Số phức z có phần thực là 1

2

 và phần ảo là 1

2 là



1.4 Biểu diễn hình học số phức

Điểm M(a ; b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi

Ví dụ 5

Điểm A biểu diễn số phức 2 – 2i

Điểm B biểu diễn số phức 4

Điểm C biểu diễn số phức – 2

Điểm D biểu diễn số phức 2 + 3i

Điểm E biểu diễn số phức 2

Điểm F biểu diễn số phức – 3 + 2i

Điểm G biểu diễn số phức –2 – 3i

1.5 Môđun của số phức.

Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) trên mặt phẳng tọa

độ

Độ dài của vecto OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|

Vậy z  OM hay a bi  OM

Ta thấy : abi  a2b2

Ví dụ 6

2 2

1.6 Số phức liên hợp

– Định nghĩa : Cho số phức z = a + bi Ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và

kí hiệu là z a bi

Ví dụ 7

Nếu z = –3 + 5i thì z  3 5i

Nếu z = –4 + 4i thì z  4 4i

– Nhận xét :

+ Trên mặt phẳng tọa độ các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox + Từ định nghĩa ta có : z z; z  z

2 Cộng, trừ và nhân số phức

2.1 Phép cộng và phép trừ

– Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức

– Tổng quát:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d).i (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d).i

2.2 Phép nhân

– Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân hai đa thức, rồi thay

i2 = – 1 vào kết quả

– Tổng quát:

(a + bi).(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci – bd

Vậy (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc).i

– Chú ý: Phép cộng và phép nhân số phức có tất cả các tính chất của phép cộng

và phép nhân các số thực

3 Phép chia số phức

3.1 Tổng và tích của hai số phức liên hợp

Cho số phức z = a + bi, ta có:

zz = (a + bi) + (a – bi) = 2a;

z z = (a + bi) (a – bi) = a2 – (bi)2 = a2 + b2 = z2

+ Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của

số phức đó

+ Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương mô đun của số phức đó

Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực

3.2 Phép chia hai số phức

Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho

c + di = (a + bi).z Số phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a +

bi và kí hiệu là: z c di

a bi





Ví dụ 8 Thực hiện phép chia 4 – 6i cho 1 + i

Lời giải:

Giả sử z 4 6i

1 i







Theo định nghĩa ta có: (1 + i).z = 4 – 6i

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của 1 + i ta được:

(1 – i) (1 + i).z = (1 – i).(4 – 6i)

Suy ra: 2z = – 2 – 10i

Do đó, z = –1 – 5i

Vậy 4 6i 1 5i

1 i

– Tổng quát:

Giả sử z c di

a bi





 Theo định nghĩa phép chia số phức, ta có:

(a + bi).z = c + di

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của a + bi, ta được:

(a – bi)(a + bi).z = (a – bi)(c + di)

Hay (a2 + b2).z = (ac + bd) + (ad – bc).i

Nhân cả hai vế với số thực 2 1 2

a b ta được:

2 2

1

z (ac bd) (ad bc)i

Vậy c di ac2 bd2 ad2 bc2.i

– Chú ý Trong thực hành để tính thương c di

a bi



 , ta nhân cả tử và mẫu với số

phức liên hợp của a + bi

Ví dụ 9 Thực hiện phép chia 2 – 4i cho 2 + i

Lời giải:

2 2

2 4i (2 4i).( 2 i)

2 i (2 i)(2 i)

[2.2 ( 4).( 1)] + 2.( 1) ( 4).2 i

10i

2i

5







4 Phương trình bậc hai với hệ số thực

4.1 Căn bậc hai của số thực âm

Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ i2

= –1, ta nói i là một căn bậc hai của – 1; –i cũng là một căn bậc hai của –1 vì (– i)2 = –1

Ta đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn

Căn bậc hai của –16 là 4i vì  2

Căn bậc hai của –5 là  5i vì  2

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là i a

4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax2

+ bx + c = 0 với a; b ; c ;a 0 Xét biệt số ∆ = b2 – 4ac của phương trình Ta thấy:

 Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực x b

2a



 Khi ∆ > 0, có hai căn bậc hai thực của ∆ là   phương trình có hai

nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức x1;2 b

2a

  

 Khi ∆ < 0, ta có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ là i  Khi đó, phương

trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức x1;2 b i

2a

– Nhận xét:

Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt)

Tổng quát: Mọi phương trình bậc n ( n 1) :

a0.xn + a1.xn–1 + ….+ an–1.x + an = 0 Trong đó; a0 ; a1;… ; an ; a0 0 đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt)

B Bài tập tự luyện

Bài 1 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết :

a) – 2 + 2i ;

b) 8i 3 ;

c) – 8 ;

d) – 10i

Lời giải :

a) Phần thực là – 2 ; phần ảo là 2

b) Phần thực là 8 ; phần ảo là  3

c) Ta có : – 8 = –8 + 0.i nên có phần thực là – 8 ; phần ảo là 0

d) Ta có : –10i = 0 – 10i nên có phần thực là 0 ; phần ảo là –10

Bài 2 Tìm các số thực x ; y biết :

a) (6 – 3x) + (x – y)i = 3 + 2i ;

b) (7 – y) + (x – 4)i = (y – 2).i

Lời giải :

a) Để (6 – 3x) + (x – y)i = 3 + 2i

6 3x 3 3x 3 x 1



Vậy x = 1 và y = –1

b) Để (7 – y) + (x – 4)i = (y – 2).i

Vậy x = 9 và y = 7

Bài 3 Tính z , với :

a) z 2 3i ;

b) z  5i ;

c) z  7i ;

d) z 5

Lời giải :

a) z  22 ( 3)2  7

b) z  ( 5)2  12 6

c) Ta có : z  7i 0  7i

z 0  ( 7)  7

d) Ta có : z 5  5 0.i

2 2

z  ( 5)  0 5

Bài 4 Tìm z , biết :

a) z 2 3i ;

b) z  3 i 5;

c) z = –5i;

d) z = 6

Lời giải:

a) Số phức liên hợp của z là z 2 3i ; b) Số phức liên hợp của z là z  3 i 5

c) Số phức liên hợp của z là z5i;

d) Số phức liên hợp của z là z 6

Bài 5 Thực hiện các phép tính:

a) (2 + 3i) + (– 3 + 6i);

b) (– 6 + 2i) + (3 – 7i);

c) (3 – 2i) – (8 – 4i);

d) (– 4 + 2i) – (2 – 3i)

Lời giải:

a) (2 + 3i) + (– 3 + 6i)

= [2 + ( –3)] + (3 + 6).i

= –1 + 9i

b) (– 6 + 2i) + (3 – 7i)

= (– 6 + 3) + (2 – 7).i

= –3 – 5i

c) (3 – 2i) – (8 – 4i)

= (3 – 8) + [– 2 – (–4)].i

= –5 + 2i

d) (– 4 + 2i) – (2 – 3i)

= (– 4 – 2) + [2 – ( – 3)].i

= – 6 + 5i

Bài 6 Thực hiện các phép tính sau:

a) (3 – i) (4 – 2i);

b) (4 + 2i) (– 3 – i);

c) 4.(– 4 + 2i);

d) (– 3 + 4i) 2i

Lời giải:

a) (3 – i) (4 – 2i)

= [3 4 – (– 1) (–2)] + [3 (–2) + (–1).4].i

= 10 – 10i

b) (4 + 2i) (– 3 – i)

= [4.(–3) – 2.(–1)] + [4.(–1) + 2.(–3)].i = –10 –10i

c) 4.(– 4 + 2i)

= 4.(–4) + 4.2i

= –16 + 8i

d) (– 3 + 4i) 2i

= –3 2i + 4i 2i

= –6i + 8i2

= – 6i – 8

Bài 7 Tính

a) (2 – 2i)2;

b) (1 – 2i)3;

c) (–2 + 5i) (– 2 – 5i)

Lời giải:

a) (2 – 2i)2

= 22 – 2 2.2i + (2i)2

= 4 – 8i + 4i2

= 4 – 8i – 4

= – 8i

b) (1 – 2i)3

= 13 – 3 12.2i + 3.1.(2i)2 + (2i)3

= 1 – 6i + 3 4i2 + 8i2.i

= 1 – 6i – 12 – 8i

= –11 – 14i

c) (–2 + 5i) (– 2 – 5i)

= (–2)2 – (5i)2

= 4 – 25i2

= 4 + 25

= 29

Bài 8 Thực hiện các phép chia sau:

a) 4 i

3 i



 ;

b) 2i

1 i

  ;

c) 8 2i

2i



Lời giải:

a)

4 i (4 i).(3 i)

3 i (3 i).(3 i)

2 2

4.3 ( 1).( 1) 4.( 1) ( 1).3 i

3 1





11 7i 11 7

i

10 10 10



b) 2i

1 i

 

2

2 2

2i.( 1 i) 2i 2i

( 1 i).( 1 i) ( 1) 1

2i 2

i 1 1 i 2

 

c) 8 2i

2i



2

2

(8 2i).( 2i) 16i 4i

16i 4

4i 1 1 4i 4

Bài 9 Tìm nghịch đảo 1

z của số phức z, biết: a) z = 3 –2i;

b) z 2 2i;

c) z = 4i

Lời giải:

a) Ta có: 1 1

z 3 2i



2 2

(3 2i)(3 2i) 3 2

i

13 13 13



b) Ta có: 1 1

z  2 2i

 

 

6 ( 2) ( 2)

i



c) Ta có: 1 1

z 4i

i 4i.( 4i) 16 4

Bài 10 Giải các phương trình sau:

a) (2 + i).z – (–1 + 4i) = 5 – 2i; b) (4 – 4i)z – (6 – 8i) = (3 – i).z;

c) z (4 8i) 6 10i

4 3i    

Lời giải:

a) (2 + i).z – ( –1 + 4i) = 5 – 2i

(2 + i).z = 5 – 2i + (–1 + 4i)

(2 + i) z = 4 + 2i

4 2i

z

2 i

2(2 i)

2 i



 







Vậy z = 2

b) (4 – 4i)z – (6 – 8i) = (3 – i).z

(4 – 4i)z – (3 – i)z = 6 – 8i

[(4 – 4i) – (3 – i)]z = 6 – 8i

(1 – 3i).z = 6 – 8i

6 8i

z

1 3i

(6 8i).(1 3i)

z

(1 3i)(1 3i)



 



 

   

2 2

6.1 ( 8).3 6.3 ( 8).1 i

z

30 10i

10

 





Vậy z = 3 + i

c) z (4 8i) 6 10i

4 3i    



z

6 10i (4 8i)

4 3i

z

2 2i

4 3i

z (2 2i).(4 3i)





z = [2 4 – (–2) 3] + [2 3 + (–2) 4].i

z = 14 – 2i

Vậy z = 14 – 2i

Bài 11 Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: – 10; – 15; – 73; –144 Lời giải:

Căn bậc hai của –10 là  10i vì  2

10.i 10

Căn bậc hai của – 15 là  15.i vì  2

15.i 15

Căn bậc hai của – 73 là  73.i vì  2

73.i 73

Căn bậc hai của –144 là 12i vì  2

Bài 12 Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) 2z2 + 4z + 3 = 0;

b) 5z2 – 3z + 1 = 0;

c) –z2 – 4z – 8 = 0

Lời giải:

a) 2z2 + 4z + 3 = 0 có a = 2; b = 4; c = 3

∆ = 42

– 4 2.3 = – 8 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

1;2

 

b) 5z2 – 3z + 1 = 0 có a = 5; b = –3; c = 1

∆ = (–3)2

– 4 5.1 = –11 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

1;2



c) – z2 – 4z – 8 = 0 có a = –1; b = – 4; c = –8

∆ = (– 4)2

– 4.(–1).(–8) = 16 – 32 = –16 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

1;2

4 4i

2.( 1)



Bài 13 Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z4 + 3z2 + 2 = 0;

b) z4 – 3z2 – 18 = 0

Lời giải:

a) z4 + 3z2 + 2 = 0;

 z4 + z2 + 2z2 + 2 = 0;

z2.(z2 + 1) + 2(z2 +1) = 0

(z2 + 2) (z2 + 1) = 0

2

2



      

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là Si;i;i 2;i 2 b) z4 – 3z2 – 18 = 0

 z4 + 3z2 – 6z2 – 18 = 0

 z2.(z2 +3) – 6.(z2 + 3) = 0

(z2 – 6) (z2 + 3) = 0

2

2

  

      

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là là S  i 3; 6