Lý thuyết nguyên hàm (mới 2022 + bài tập) – toán 12

Bài 1 Nguyên hàm A Lý thuyết I Nguyên hàm và tính chất 1 Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của ) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x[.]

Bài 1 Nguyên hàm

A Lý thuyết

I Nguyên hàm và tính chất

1 Nguyên hàm

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của )

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x)

với mọi x  K

Ví dụ 1

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng

   ;  vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với     x  ; 

- Hàm số F(x) x 2

x 3





 là một nguyên hàm của hàm số 2

5

f (x)

(x 3)





 trên khoảng (; 3)(3;)



  với x  ( ; 3)(3;)

- Định lí 1

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K

- Định lí 2

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số

Do đó F(x) C; C  là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K

Kí hiệu: f (x)dx  F(x)C

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx

Ví dụ 2

a) Với x     ;  ta có:

4

4

b) Với x     ;  ta có: x x

e dx  e  C

c) Với x   0;   ta có: 1 dx x C

2 Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1

f '(x)dx  f (x)  C



Ví dụ 3

(4 )'dx  4 ln 4.dx  4  C

- Tính chất 2

kf (x)dx  k f (x)dx

  (k là hằng số khác 0)

- Tính chất 3

f (x)  g(x) dx  f (x) dx  g(x) dx

Ví dụ 4 Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  3x2  2sin x trên khoảng

   ; 

Lời giải:

Với x     ;  ta có:

(3x 2sin x)dx 3x dx 2 sin xdx

x 2.( cosx) + C = x 2cosx + C

3 Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Ví dụ 5

a) Hàm số y x có nguyên hàm trên khoảng  0;  

xdx x dx x C x x C

b) Hàm số y = 1

x có nguyên hàm trên khoảng   ; 0    0;  

1



4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

0dx  C

a dx C (a 0;a 1)

ln a



dx x C

α 1 α 1

α 1





 sin xdx  cosx + C

1

dx ln x C

1

dx tan x C



e dx  e  C



Ví dụ 6 Tính:

a)  4 3 

3x  x dx



(5e  4  )dx



Lời giải:

a)

1

3 x dx x dx

4

3

b) x x 2

(5e 4  )dx

(5e 16.4 )dx

x x

5 e dx 16 4 dx

4

ln 4

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó

II Phương pháp tính nguyên hàm

1 Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1

Nếu f (u)du  F(u)  C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

f (u(x)).u '(x)dxF(u(x)) C

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

1

f (ax b)dx F(ax b) C

a

Ví dụ 7 Tính 3

(3x2) dx

Lời giải:

Ta có:

4

4

 nên theo hệ quả ta có:

4

3 (3x 2)

4



Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x)

Ví dụ 8 Tính 2

sin x.cos xdx

Lời giải:

Đặt u = cosx Suy ra: du = – sinx dx

Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành:

3

u ( du) u du C

3

Thay u = cosx vào kết quả ta được:

3

2 cos x

sin x.cos xdx C

3



2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

- Định lí 2

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

u(x).v'(x).dx u(x).v(x) u '(x).v(x)dx

- Chú ý

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

udv  uv  vdu

Đó là công thức nguyên hàm từng phần

Ví dụ 9 Tính

a) x ln xdx;

b) x sin xdx;

(5x).e dx



Lời giải:

a) x ln xdx

Đặt

2

1

v 2





Ta có:

2 2

x ln xdx ln x dx

b) x sin xdx;

Khi đó:

x sin xdx x.cosx + cos x dx

x.cosx + sin x + C



 

(5 x).e dx 



Đặt u 5 xx du xdx







Khi đó:

(5 x).e dx  (5 x).e  e dx

(5 x).e e dx

   

   

B Bài tập tự luyện

Bài 1 Trong các cặp hàm số sau, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số

còn lại

a) x3 và

4

x

10

4  ;

b) 2 x 10 và 1

x ; c) e–2x + 2 và – 2e–2x

Lời giải:

a) Ta có:

3

Do đó, F(x) =

4

x 10

4  là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x3

Do đó, F(x) = 2 x 10 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1

x c) Ta có: (e–2x + 2)’ = – 2e–2x nên F(x) = e–2x + 2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = – 2e–2x

Bài 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f (x) x 1

x



b) f (x) 2x e  x 2 ;

c) f(x) = sinx + cosx;

d) f (x) 21





Lời giải:

a) Ta có:

x dx x dx

b)

 x 2 2 x



c) f(x) = sinx + cosx

(sin x cosx ) dx sin xdx cosx dx

cos x sin x C

d)

2







Bài 3 Sử dụng phương pháp đổi biến, tính:

a) (2x3).(x2 3x) dx7 ;

b) (3x2 2x)sin(x3 x2 1)dx;

c) 4 ex 2x 1 dx

Lời giải:

a) (2x3).(x2 3x) dx7 ;

Đặt t = x2

+ 3x Suy ra: dt = (2x + 3)dx

Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành:

8

8

 



Thay t = x2 + 3x vào kết quả ta được:

8



b) (3x2 2x)sin(x3 x2 1)dx

Đặt t = x3

– x2 + 1 Suy ra: dt = (3x2 – 2x)dx

Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành: sin tdt cost C Thay t = x3 – x2 + 1 vào kết quả ta được:

(3x 2x)sin(x x 1)dx  cos(x x  1) C

c) 4 ex 2x 1dx 2 e.e dx e (2e) dx2x 2x   2x (*)

Đặt t = 2x thì dt = 2dx

Nguyên hàm trên trở thành:

t dt e (2e)

2  2 ln(2e) 



Thay t = 2x vào kết quả ta được:

2x

x 2x 1 e (2e)

2 ln(2e)

Bài 4 Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, tính:

a) (x 2).sin xdx ;

b) (x 1).ln xdx 

Lời giải:

a) (x 2).sin xdx

dv sin xdx v cos x



Khi đó:

(x 2).sin xdx (x 2).cos x  cos xdx

(x 2).cosx + sin x + C

b) (x 1).ln xdx

Đặt

2

1

2

 









2

      

 

     