Lý thuyết hệ tọa độ trong không gian (mới 2022 + bài tập) – toán 12

Bài 1 Hệ tọa độ trong không gian A Lý thuyết I Tọa độ của điểm và của vecto 1 Hệ tọa độ Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O Gọ[.]

Bài 1 Hệ tọa độ trong không gian

A Lý thuyết

I Tọa độ của điểm và của vecto

1 Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng

đôi một và chung một điểm gốc O Gọi i; j ; k lần lượt là các vectơ đơn vị, trên

các

trục x’Ox; y’Oy; z’Oz

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không

gian,

hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các

mặt

phẳng tọa độ

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz

- Vì i; j; k là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:

i  j k 1 và i j j k k.i 0

2 Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý Vì ba vecto i; j; k không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:

OM x.i y j z.k 

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian

thỏa mãn hệ thức OM x.iy j z.k

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã

cho và viết: M = (x; y; z) hoặc M (x; y; z)

3.Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto a , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1;

a2 ; a3) sao cho a a i1 a j a k2  3

Ta gọi bộ ba số (a1; a2 ; a3) là tọa độ của vecto a đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết a (a1; a2 ; a3) hoặc a (a1; a2 ; a3)

- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của

vecto OM

Ta có: M(x; y; z) OM (x; y; z)

II Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

a(a ;a ;a ), b(b ;b ;b ), k , ta có:

a) a b (a  1b ; a1 2 b ; a2 3 b )3

b) a b (a  1b ; a1 2 b ; a2 3 b )3 ;

c) ka (ka ; ka ; ka )1 2 3

Ví dụ 1 Cho u (2;3;4); v ( 4; 2;0)

a) Tính u  v;

b) 2v ;

c) u 2 v

Lời giải:

a) u  v (2 4; 3 2;4 0) (6; 5; 4) ;

b) Ta có: 2v = ( 2.4; 2 (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0)

c) Ta có: u 2 v= ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)

- Hệ quả:

a) Cho hai vecto a(a ;a ;a ), b1 2 3 (b ;b ;b )1 2 3 , ta có:







 



b) Vecto 0 có tọa độ ( 0; 0; 0)

c) Với b0thì hai vecto a; b cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

 akb (k )







 



d) Cho A(x ; y ; z ), B(x ; y ; z ) A A A B B B

+ AB (x B x ; yA By ;zA B z )A

+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: xA xB yA yB zA zB

Ví dụ 2 Cho u (2m;3; 1); v(4; 3;n 2)  Tìm m và n để u v

Lời giải:

Để u  v

2m 4

3 3

n 1

1 n 2











    



Vậy m = 2 và n = 1

Ví dụ 3 Các cặp vecto sau có cùng phương không?

a) u( 2;3;7); v ( 4; 6; 14)  ;

b) a (1;0; 2); b( 3;0; 6)

Lời giải:

4  6 14

Do đó, hai vecto trên không cùng phương

b) Ta thấy: b 3anên hai vecto trên cùng phương

Ví dụ 4 Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8)

a) Tính AB ;

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB

Lời giải:

a) Ta có: AB = ( -1 + 3; 0 - 4; 8 -0) = ( 2; -4; 8)

b) Tọa độ trung điểm M của AB là:

M

M

M

3 ( 1)

2

4 0

2

2

  















III Tích vô hướng

1 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

- Định lí:

a(a ;a ;a ), b(b ;b ;b )

được xác định bởi công thức:

a.ba b a b a b

Ví dụ 5 Cho a (1; 3;4); b (1;2;1) Tính a.b ?

Lời giải:

Ta có: a.b = 1.1 + ( -3) 2 + 4.1 = -1

2 Ứng dụng

a) Độ dài của một vecto

Cho vecto a(a ;a ;a )1 2 3

Ta biết rằng: a2a2 hay a  a2 Do đó,

a  a a a

b) Khoảng cách giữa hai điểm

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(xA ; yA ; zA)

và B(xB; yB ; zB) Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto AB Do đó, ta có:

2 2 2

AB AB  (x x ) (y y ) (z z )

c) Góc giữa hai vecto

Nếu là góc góc giữa hai vecto a (a ;a ;a )1 2 3 và b(b ;b ;b )1 2 3 với a; b 0 thì

Từ đó, suy ra a b a b1 1a b2 2 a b3 30

Ví dụ 6 Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2)

a) Tính AB; AC

b) Tính cosin của góc A

Lời giải:

a) Ta có:

b) Ta có: AB(0; 2; 1); AC( 2;   4;1)

Cosin của góc A là:

IV Phương trình mặt cầu

- Định lí

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là: ( x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2

- Nhận xét Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 – r2

Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > 0 là

r A  B C D

Ví dụ 7 Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

cos(a, b)

a) x2 + y2 + z2 – 4x + 2y - 1 = 0;

b) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 2z + 2 = 0

Lời giải:

a) Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1

Tâm mặt cầu là I(2; -1; 0) và bán kính R 22  ( 1)2    02 ( 1) 6

b) Ta có: a = 4; b = 1; c = -1; d = 2

Tâm mặt cầu là I( 4; 1; -1) và bán kính R 42   12 ( 1)2 2 4

B Bài tập tự luyện

Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz

Bài 1 Cho ba vecto a (1;2;0); b(0; 2;3); c(3; 3;0) 

a) Tính a 2b c;

b) Tính 2a b 1c

3

 

Lời giải:

a) Ta có: 2b (0; 4;6)  a 2b (1 0; 2 4;0 6)     (1; 2;6)

Do đó; a 2b c  = (1 -3; -2+ 3; 6 – 0) = ( -2; 1; 6)

b) Ta có: 1c (1; 1; 0)

2a (2; 4;0) 2a  b (2 0;4 2;0 3)  (2;6; 3)

Suy ra: 2a b 1c ( 2 1; 6 1; 3 0) (3;5; 3)

3

Bài 2 Cho tam giác MNP biết M(0; -2; 1); N( -2; 1; 2) và P( -1; -2; 3) Tìm tọa

độ trọng tâm G của tam giác

Lời giải:

Tọa độ trọng tâm G của tam giác là:

G

G

0 ( 2) ( 1)

3

2 1 ( 2)

3

1 2 3

3

   





   





 



Vậy tọa độ trọng tâm G là ( -1; -1; 2)

Bài 3 Cho các vecto a (1;2; 3); b ( 2;0;3); c ( 1;2;1) 

Tính a.b; b.c

Lời giải:

Bài 4 Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau:

a) x2 + y2 + z2 + 6x - 2y + 4z - 3 = 0;

b) 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x – 8y + 12z + 2 = 0

Lời giải:

a) Ta có: a = -3; b = 1; c = -2; d = -3

Tâm mặt cầu là I( -3; 1; -2) và bán kính R ( 3) 2   12 ( 2)2  ( 3) 17 b) Ta có: 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x – 8y + 12z + 2 = 0

 x2 + y2 + z2 - 2x - 4y + 6z + 1 = 0;

a = 1; b = 2; c = -3; d = 1

Tâm mặt cầu là I(1; 2; -3) và bán kính R 12   22 ( 3)2 1 13

Bài 5 Lập phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện:

a) Đường kính MN trong đó M(2; 2; 2); N ( 4; 4; 0);

b) Tâm I(2; -1; 0) và đi qua A( 2; 3; 0)

Lời giải:

a) Tâm của mặt cầu chính là trung điểm I của MN

Tọa độ điểm I là

I

I

I

2 4

2

2 4

2

2

















Bán kính mặt cầu là: R MI  (3 2) 2 (3 2) 2 (1 2)2  3

Phương trình mặt cầu là: ( x – 3)2

+ ( y – 3)2 + (z – 1)2 = 3

b) Vì mặt cầu đi qua A nên bán kính R = IA = (22)2  (3 1)2 (0 0) 2 4 Phương trình mặt cầu là( x – 2)2

+ ( y + 1)2 + z2 = 16