Lý thuyết hàm số lũy thừa (mới 2022 + bài tập) – toán 12

Bài 2 Hàm số lũy thừa A Lý thuyết I Khái niệm – Hàm số y x , với  , được gọi là hàm số lũy thừa Ví dụ 1 Các hàm số 3 1 5 3 2 1 y x ; y ; y x ; y x x      là những hàm số lũy thừa – Chú ý Tậ[.]

Bài 2 Hàm số lũy thừa

A Lý thuyết

I Khái niệm

– Hàm số y x , với  , được gọi là hàm số lũy thừa

Ví dụ 1 Các hàm số y x 3 1; y 12; y x ; y x5 3

x

    là những hàm số lũy thừa

– Chú ý:

Tập xác định của hàm số lũy thừa y x tùy thuộc vào giá trị của α Cụ thể: + Với α nguyên dương, tập xác định là

+ Với α nguyên âm hoặc bằng 0; tập xác định là \{0}

+ Với α không nguyên, tập xác định là (0;)

II Đạo hàm của hàm số lũy thừa

– Hàm số lũy thừa y x (   ) có đạo hàm với mọi x > 0 và   1

x ' .x

– Ví dụ 2

a)

5 2 5

5





 



 

 

b)  7 7 1

x  7 x 

– Chú ý: Công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa có dạng:

u ' .u.u '

– Ví dụ 3 Tính đạo hàm của hàm số

1

y(2x 3x2)

Lời giải:

Ta có:

2

2

1

3

1

3





III Khảo sát hàm số lũy thừa y = x α

Tập xác định của hàm số lũy thừa yx luôn chứa khoảng (0;) với  Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y x  trên khoảng này (gọi là tập khảo sát)

yx ;  0 y x ;   0

1 Tập khảo sát: (0;)

2 Sự biến thiên

1

y' .x   0; x 0

Giới hạn đặc biệt:

x

xlim x0  0; lim x



Tiệm cận: Không có

3 Bảng biến thiên

4 Đồ thị (với α > 0)

1 Tập khảo sát: (0;)

2 Sự biến thiên

1 y' .x   0; x 0 Giới hạn đặc biệt:

x

xlim x0  ; lim x 0



Tiệm cận:

Trục Ox là tiệm cận ngang

Trục Oy là tiệm cận đứng của đồ thị

3 Bảng biến thiên

4 Đồ thị (với α < 0)

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm (1; 1)

– Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó

trên toàn bộ tập xác định của nó

Ví dụ 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 5





Lời giải:

1 Tập xác định: D0;

2 Sự biến thiên

Chiều biến thiên

7 5 2

y ' x 5







Ta có: y’ < 0 trên khoảng D0; nên hàm số đã cho nghịch biến

Tiệm cận:

x

xlim y0 ; lim y 0

 

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung

Bảng biến thiên

3 Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa yx trên khoảng (0;)

α > 0   0

y' .x

Chiều biến thiên Hàm số luôn đồng biến Hàm số luôn nghịch biến Tiệm cận Không có Tiệm cận ngang là trục Ox;

Tiệm cận đứng là trục Oy

Đồ thị Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1)

B Bài tập tự luyện

Bài 1 Tìm điều kiện xác định của các hàm số

a)

4 9



b) y(x25x 6) 2 1 ;

c) y(4x )2 5

Lời giải:

a) Vì 4

9



là số hữu tỉ nên điều kiện của hàm số là:

2x – 8 > 0 hay x > 4

b) Vì 21là số vô tỉ nên điều kiện của hàm số là:

x2 – 5x + 6 > 0 x 3





  

 c) Vì – 5 là số nguyên âm nên điều kiện của hàm số là 4 – x2 > 0 hay – 2 < x <

2

Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số

a)

1

3

y x ;

b)

2 7

y(42x) ;

c) y(x32x21) 3

d) y(x2 4x 2) 4

Lời giải:

a)

1

y' x x





b)

1

y' (4 2x) (4 2x)' (4 2x) ( 2) (4 2x)

c)

y' 3 (x 2x 1) (x 2x 1)'

3 (x 2x 1) (3x 4x)





d) y’ = – 4.(x2

– 4x + 2)–4 – 1 (x2 – 4x + 2)’ = – 4.(x2 – 4x + 2)–5 (2x – 4)

Bài 3 Hãy so sánh các cặp số sau :

a) (3,5)2,1 và (3,5)3,4;

b) ( 2 1) 2,3 và ( 2 1) 3,1

c) (0,7) 3 2 và 1

Lời giải:

a) Ta có: 3,5 > 1 và 2,1 < 3,4

Do đó; (3,5)2,1

< (3,5)3,4 b) Vì 0 2 1 1  và 2,3 < 3,1

Suy ra: ( 2 1) 2,3 > ( 2 1) 3,1

c) Ta có: (0,7) 3 2 1 3 2 (vì 0,7 < 1)

Nên (0,7) 3 2 < 1

Bài 4 Tìm điều điện của a để các biểu thức sau có nghĩa

a)

2

3

(a 1)

b) (2 – a)– 3

c) (2a 2)1

Lời giải:

a) Ta có: 2

3 là số hữu tỉ nên để biểu thức đã cho có nghĩa thì a + 1 > 0 hay a > –

1

b) Vì – 3 là số nguyên âm nên để biểu thức đã cho có nghĩa thì 2 – a ≠ 0 hay a ≠

2

c) Vì  1là số vô tỉ nên để biểu thức đã cho có nghĩa thì 2a – 2 > 0 hay a > 1