Toán 12 bài 5 phương trình mũ và phương trình lôgarit

Bài 5 Phương trình mũ và phương trình lôgarit Hoạt động 1 trang 80 Toán lớp 12 Giải tích Giải phương trình 62x – 3 = 1 bằng cách đưa về dạng aA(x) = aB(x) và giải phương trình A(x) = B(x) Lời giải Ta[.]

Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit Hoạt động 1 trang 80 Toán lớp 12 Giải tích: Giải phương trình 62x – 3 = 1 bằng cách đưa về dạng aA(x) = aB(x) và giải phương trình A(x) = B(x)

Lời giải:

Ta có: 6(2x - 3) = 1  6(2x - 3) = 60  2x – 3 = 0 x = 3

2

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3

2

Hoạt động 2 trang 81 Toán lớp 12 Giải tích: Giải phương trình 1

5 5 2x + 5

5x = 250 bằng cách đặt ẩn phụ t = 5x

Lời giải:

Đặt t = 5x (t > 0), ta có:

1

5 5

2x + 5 5x = 250

5.t

2 + 5t = 250

 t2 + 25t – 1250 = 0

 t = 25 hoặc t = – 50 (loại)

Khi đó 5x = 25  5x = 52  x = 2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2

Hoạt động 3 trang 81 Toán lớp 12 Giải tích: Tính x, biết log3x = 1

4

Lời giải:

ĐKXĐ: x > 0

Theo định nghĩa logarit ta có:

log3x = 1

4  x =

1 4

3 (t/m)

Vậy x =

1

4

3

Hoạt động 4 trang 82 Toán lớp 12 Giải tích: Cho phương trình log3x + log9x

= 6 Hãy đưa các lôgarit ở vế trái về cùng cơ số

Lời giải:

Ta có:

log9x = log x = 3 2 1

2 log3x

Vây phương trình đã cho tương đương với phương trình:

log3x + 1

2 log3x = 6

Hoạt động 5 trang 83 Toán lớp 12 Giải tích: Giải phương trình

2

log x3log x 2 0 bằng cách đặt ẩn phụ t = log2x

Lời giải:

Đặt t = log2x

Ta có: log x22 3log x2  2 0

t2 – 3t + 2 = 0 t 1

t 2





  

Với t = 1 thì log x 12  x = 21 = 2

Với t = 2 thì log x2   2 x 22 4

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2, x = 4

Hoạt động 6 trang 83 Toán lớp 12 Giải tích: Giải phương trình

2

2

log xlog x2

Lời giải:

ĐKXĐ: x > 0

2

2

log xlog x2

 

1

2 2 2

log  x log x 2

log x log x 2

    (*)

Đặt tlog x2

Khi đó (*) – t + t2 = 2  t2 – t – 2 = 0

t 2

t 1





   

Với t = 2 thì log x2   2 x 22 4 (t/m)

Với t = -1 thì log x2 1 x 2 1 1

2



Vậy x = 4, x = 1

2 là nghiệm của phương trình đã cho

Bài tập

Bài 1 trang 84 Toán lớp 12 Giải tích: Giải các phương trình mũ:

a)  3x 2

0,3  1;

b)

x

1

25

5

  

 

c) 2x2 3x 2 4;

d)    x 7 1 2x

0,5  0,5  2

Lời giải:

a)  3x 2

0,3  1

 3x 2  0

0,3  0,3

3x 2 0

2

x

3

 

Vậy phương trình có nghiệm là x 2.

3



b)

x

1

25

5

  

 

 

 1 x 2

5 5

5 5

 - x = 2 x = -2

Vậy phương trình có nghiệm là x = - 2 c) 2x2 3x 2 4

2

x 3x 2 2

2   2

 2

x 3x 2 2

 x2 – 3x = 0

 x(x – 3) = 0

x 0

x 3





  

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {0; 3} d)    x 7 1 2x

0,5  0,5  2

 x 7 1 2x

8 x

1

2 2



 

 

  1 8 x

2  2

2  2

x – 8 = 1

x = 9

Vậy phương trình có nghiệm x = 9

Bài 2 trang 84 Toán lớp 12 Giải tích: Giải các phương trình mũ :

a) 32x – 1 + 32x = 108;

b) 2x+1 + 2x – 1 + 2x = 28;

c) 64x – 8x – 56 = 0;

d) 3.4x – 2.6x = 9x

Lời giải:

a) 32x – 1 + 32x = 108

32x – 1 + 32x – 1 3 = 108

32x – 1 (1 + 3) = 108

 32x – 1 = 108 : 4

 32x – 1 = 27

32x – 1 = 33

 2x – 1 = 3

 2x = 4  x = 2

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2

b) 2x+1 + 2x – 1 + 2x = 28

 2x – 1 22 + 2x – 1 + 2x – 1 2 = 28

 2x – 1 .(4 + 1 + 2) = 28

 2x – 1 = 28 : 7

 2x – 1 = 4

 2x – 1 = 22

x – 1 = 2

 x = 3

Vậy phương trình có nghiệm x = 3 c) 64x – 8x – 56 = 0

 (82)x – 8x – 56 = 0

(8x)2 – 8x – 56 = 0 (*)

Đặt 8x = t (t > 0, do 8x > 0 với mọi x) Khi đó (*)  t2 – t – 56 = 0

 t 8 (tm)

t 7 (ktm)





  



Với t = 8 thì 8x = 8 = 81

Suy ra x = 1

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

d) 3.4x – 2.6x = 9x

 3.4x – 2.6x – 9x = 0

3 2 1 0

    (do 9x > 0)

x

2

Đặt 2 x  

t t 0 3

 

 

(*) 3t2 – 2t – 1 = 0

 

t 1 tm 1

3

 



   



Với t = 1 thì

x

2

1 x 0 3

    

 

 

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

Bài 3 trang 84 Toán lớp 12 Giải tích: Giải các phương trình lôgarit:

a) log 5x3  3 log 7x3 5;

b) log x 1   log 2x 11  log 2;

c) log2x 5 log2x23;

log x 6x7 log x3

Lời giải:

a) log 5x3  3 log 7x3 5 (1)

ĐKXĐ: 5x 3 0

7x 5 0

 





3 x

3

5 x

x 7

  





 



Khi đó: (1) 5x + 3 = 7x + 5

 7x – 5x = 3 – 5

 2x = - 2

 x = -1 (không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình vô nghiệm

b) log x 1   log 2x 11  log 2 (2)

ĐKXĐ: x 1 0

2x 11 0

 





x 1

11 x 11

2 x

2











Khi đó: (2)  log x 1 log 2

2x 11







x 1

2 2x 11





x 1 2 2x 11

 x – 1 = 4x – 22

 4x – x = - 1 + 22

 3x = 21

 x = 7 (t/m)

Vậy phương trình có nghiệm x = 7

c) log2x 5 log2x23 (3)

ĐKXĐ: x 5 0 x 5

x 2 0 x 2



Khi đó: (3) log2 x5 x 2 3

 (x – 5)(x + 2) = 23

 x2 – 5x + 2x – 10 = 8

 x2 – 3x – 18 = 0

 

x 6 tm

x 3 ktm





 

 



Vậy phương trình có nghiệm là x = 6

log x 6x7 log x3 (4)

ĐKXĐ:

x 6x 7 0

x 3 2

x 3 0

x 3

  









x 3 2

  

Khi đó: (4) x2 – 6x + 7 = x – 3

x2 – 7x + 10 = 0

 

x 5 tm

x 2 ktm





 





Vậy phương trình có nghiệm là x = 5

Bài 4 trang 85 Toán lớp 12 Giải tích: Giải các phương trình lôgarit:

log x x 5 log 5x log

2     5x;

b) 1  2 

log x 4x 1 log8x log 4x;

c) log 2 x4log x4 log x 138 

Lời giải:

log x x 5 log 5x log

2     5x (1)

ĐKXĐ:

2

x x 5 0

5x 0

1

0 5x



   











1 21 x

2

1 21 x

2

x 0





















1 21 x

2

 

 

log x x 5 log 5x

5x

2

log x x 5 log1

2

x x 5 1

x2 + x – 5 = 1

 x2 + x – 6 = 0

 

x 2 tm

x 3 ktm





 

 



Vậy phương trình có nghiệm là x = 2

b) 1  2 

log x 4x 1 log8x log 4x

ĐKXĐ:

2

x 4x 1 0

8x 0

4x 0





x 2 5

x 2 5

x 0

  









x 2 5

  

Khi đó: (2) 2 8x

log x 4x 1 log

4x

2

log x 4x 1 log 2

2

x 4x 1 2

 x2 – 4x – 1 = 4

x2 – 4x – 5 = 0

 

x 5 tm

x 1 ktm





 

 



Vậy phương trình có nghiệm x = 5

2

log x4log xlog x 13 (3)

ĐKXĐ: x > 0

Khi đó: (3) 1 2 3

2

log x 4log x log x 13

2log x 4 log x log x 13

2

4 1

2 log x 13

2 3

2

13

log x 13

3

2

log x 3

 x = 23

 x = 8 (t/m)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 8