Toán 12 bài 3 giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Hoạt động 1 trang 20 Toán lớp 12 Giải tích Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số a) y = x2 trên đo[.]

Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hoạt động 1 trang 20 Toán lớp 12 Giải tích: Xét tính đồng biến, nghịch biến

và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x2 trên đoạn [-3; 0];

b) y x 1

x 1





 trên đoạn [3; 5]

Lời giải:

a) Ta có: y' = 2x ≤ 0 trên đoạn [-3; 0] Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [-3,0]

Khi đó trên đoạn [-3,0]: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = -3 và giá trị lớn nhất bằng 9, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 và giá trị nhỏ nhất = 0

b) Ta có:

 2  2

   

  trên đoạn [3; 5] Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [3; 5]

Khi đó trên đoạn [3; 5]: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 3 và giá trị lớn nhất bằng 2, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 5 và giá trị nhỏ nhất bằng 3

2

Hoạt động 2 trang 21 Toán lớp 12 Giải tích: Cho hàm số

2

y

 có đồ thị như Hình 10 Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] và nêu cách tính

Lời giải:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] là điểm thấp nhất của đồ thị trên đoạn đó Vậy quan sát đồ thị ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -2 Thay

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] là điểm cao nhất của đồ thị trên đoạn

đó Vậy quan sát đồ thị ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 3 Thay x = 3 vào hàm số y đã cho ta có giá trị lớn nhất là 3

Hoạt động 3 trang 23 Toán lớp 12 Giải tích: Lập bảng biến thiên của hàm số

1 x

 

 Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định

Lời giải:

1.TXĐ: D =

2 Ta có

 22

2x y

1 x

 



y' = 0 thì

 22

2x

0

1 x

 

3 Bảng biến thiên:

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là – 1 tại x = 0

Bài tập

Bài 1 trang 23, 24 Toán lớp 12 Giải tích: Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên các đoạn [– 4; 4] và [0; 5] ;

b) y = x4 – 3x2 + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5] ;

c) y 2 x

1 x





 trên các đoạn [2; 4] và [– 3; – 2] ;

d) y 54x trên đoạn [– 1; 1]

Lời giải:

a) TXĐ: D =

Ta có: y' = 3x2 – 6x – 9;

Có y' = 0  3x2 – 6x – 9 = 0 x = – 1 hoặc x = 3 + Xét hàm số trên đoạn [– 4; 4] :

y(– 4) = – 41 ;

y(– 1) = 40 ;

y(3) = 8;

y(4) = 15

Suy ra

4; 4

    + Xét hàm số trên [0 ; 5]

y(0) = 35 ;

y(3) = 8 ;

y(5) = 40

Suy ra

0;5

min yy 3 8;

0;5

max yy 5 40 b) TXĐ: D =

Ta có: y' = 4x3 - 6x

Có y' = 0  2x.(2x2 – 3) = 0

x 0

3 x

2







   



+ Xét hàm số trên [0 ; 3]:

y(0) = 2;

y

Suy ra

  0;3

0;3

max yy 3 56

+ Xét hàm số trên [2; 5]

y(2) = 6;

y(5) = 552

Suy ra

2;5

min yy 2 6;

2;5

max yy 5 552 c) TXĐ: D = (-∞; 1)  (1; +∞)

Ta có:

 2

1

1 x

    

 Suy ra hàm số đồng biến trên (-∞; 1) và (1; +∞)

Do đó hàm số đồng biến trên [2; 4] và [-3; -2]

Vậy

2;4

min yy 2 0;

2;4

2

m ax y y 4

3

3; 2

5 min y y 3

4

     ;

3; 2

4

3

    

d) TXĐ: D ;5

4

  

4

2 5 4x 5 4x

       

Suy ra hàm số nghịch biến trên ;5

4

 

Do đó hàm số nghịch biến trên [-1; 1]

Vậy

1;1

   ;

1;1

   

Bài 2 trang 24 Toán lớp 12 Giải tích: Trong số các hình chữ nhật có cùng chu

vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 16 : 2 = 8 cm

Gọi độ dài 1 cạnh của hình chữ nhật là x (cm) (0 < x < 8)

Suy ra độ dài cạnh còn lại là : 8 – x (cm)

Diện tích của hình chữ nhật là:

S = x(8 – x) = 8x – x2

Xét hàm số S(x) = 8x – x2 trên (0; 8)

Ta có: S' = 8 – 2x; S' = 0 8 – 2x = 0  x = 4

S(0) = 0; S(4) = 16; S(8) = 0

Do đó: Smax = 16 khi x = 4

Suy ra độ dài cạnh còn lại là 8 – 4 = 4 (cm)

Vậy trong các hình chữ nhật có chu vi 16 cm thì hình vuông cạnh bằng 4 cm có diện tích lớn nhất bằng 16cm2

Cách khác:

Ta có: S = x(8 – x) = 8x – x2 = 16 – (16 – 8x + x2) = 16 – (x – 4)2 ≤ 16

Suy ra: Smax = 16

Dấu bằng xảy ra khi (x – 4)2 = 0  x = 4

Bài 3 trang 24 Toán lớp 12 Giải tích: Trong tất cả các hình chữ nhật có diện

tích 48 m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất

Lời giải:

Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (m) (điều kiện: x > 0)

Suy ra độ dài cạnh còn lại là: 48

x (m)

Do đó chu vi hình chữ nhật:

P(x) = 2 x 48 2x 96

   

Xét hàm số P(x) = 2x 96

x

 trên (0; +∞)

Ta có:   962

P x 2

x

  

x

    

2

x 48 x 4 3

Bảng biến thiên trên (0; +∞):

Suy ra

min P x P 4 3 2.4 3 16 3

4 3

Suy ra cạnh của hình chữ nhật là x = 4 3 và 48 48 4 3

x  4 3  Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 m2 thì hình vuông cạnh 4 3

m có chu vi nhỏ nhất

Bài 4 trang 24 Toán lớp 12 Giải tích: Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

a) y 4 2;

1 x





b) y = 4x3 – 3x4

Lời giải:

a) TXĐ: D =

Ta thấy: 1 + x2 ≥ 1 với mọi số thực x

2

4

1 x



Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất là 4 tại 1 + x2 = 1 hay x = 0

b) TXĐ : D =

Ta có: y' = 12x2 - 12x3 = 12x2(1 - x)

y' = 0 x = 0 hoặc x = 1

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: max y = y(1) = 1

Bài 5 trang 24 Toán lớp 12 Giải tích: Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = |x|;

b) y = x + 4

x (x > 0)

Lời giải:

a) TXĐ D =

- Cách 1:

Ta có: y = |x| ≥ 0 với mọi x

Suy ra hàm số có giá trị nhỏ nhất là min y = 0 khi x = 0

- Cách 2:

x khi x 0;

y | x |

x khi x ;0



  



Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: min y = 0

b) TXĐ: D = (0; +∞)

Ta có: y 1 42

x

  

y' = 0 1 42 0 x2 4

x

    

 x = 2 (loại x = - 2 vì không thuộc TXĐ)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: min y = y(2) = 2 4 4

2

 